27.03.2017 Universität Karlsruhe (TH) Institut für Anwendungen des Operations Research (ANDOR) Seminar: Heuristische Verfahren WS 03/04 „A Genetic Algorithm for Solving the Container Loading Problem“ H. Gehring und A. Bortfeldt Int. Trans. Opl. Res., Vol.4, No. 5/6, pp. 401-418, 1997 13.01.2004 Raphael Paschke

Agenda Einleitung Containerbeladeproblem Heuristiken Genetische Algorithmen (GA) Umsetzung Optimierungsproblem Heuristik GA Hybridisierung Test, Ergebnisse und Kritik Einhalten der Restriktionen Vergleich mit anderen Verfahren Kritik Diskussion Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion 13.01.2004

Containerbeladeproblem Im heutigen Warenumschlag, insbesondere im Seehandel, nimmt der nach DIN/ISO 830 genormte Standardcontainer aufgrund seiner Be- und Entladegeschwindigkeit, sowie seiner Kostenersparnisse eine überragende Stellung ein. 13.01.2004

Aufgabenstellung Ein einziger, in seinen Abmessungen gegebener Container ist mit kleineren, in ihrer Anzahl und Abmessungen bekannten Packstücken zu beladen. Gesucht ist die Anordnung der Packstücke, wobei i.A.nur eine Teilmenge der Packstücke verwendet wird. In Bezug auf die gewählte Zielfunktion soll der vorhandene Stauraum möglichst effizient genutzt werden. Weiterhin sind verschiedene Restriktionen einzuhalten, z.B. Befestigung Bodendruck Maß Zusammenstaubarkeit Plazierungsrestriktion Orientierung der Kisten Überstaubarkeit Geamtgewicht Gleichgewicht 13.01.2004

Heuristiken Einordnung in Verschnitt- und Packunsprobleme 3-dimensionales Packungsproblem Kombinatorisches Problem Da bei NP-vollständigen Problemen das Zeitverhalten eines exakten Verfahrens nicht für alle möglichen Instanzen des Problems garantiert werden kann, verwendet man suboptimale Verfahren, die in akzeptabler Zeit, höchstens jedoch innerhalb der angegebenen Grenzen, Lösungen finden. 13.01.2004

Genetischer Algorithmus I (GA) Prinzipielle Funktionsweise Anlehnung an Natur Wichtige Designentscheidungen für Algorithmus Repräsentation Initialisierung Zielfunktion & Fitnessfunktion Operatoren Selektion der Eltern Rekombination Mutation Umweltselektion Abbruchbedingung Wichtige Parameter Population: Struktur, Grösse, etc. Wahrscheinlichkeiten für Operatoren Anzahl der Generationen 13.01.2004

Genetischer Algorithmus II (GA) Vorteile Verständlichkeit Flexibilität Integration von problemspezifischem Wissen Möglichkeit der Parallelverarbeitung wenig formale Voraussetzungen Nachteile keine formale Entwurftechniken Parameter und Operatorenwahl entscheidend für Lösungsgüte, i.A. nur empirisch bestimmbar Trade-Off zwischen Konvergenz und Lösungsgüte unklar, bzw. a priori schwer bestimmbar keine allgemeinen Konvergenzbeweise 13.01.2004

Optimierungsproblem Beschreibung Container Packstücke Zielfunktion rechteckiges Objekt c beschrieben durch Vektor der Abmessungen (xc, yc, zc) ausgehend von linker, unterer Ecke des Containers als Koordinatenursprung eines kartesischen Systems Packstücke rechteckige Objekte (Kisten) b=1,...,nb, beschrieben durch (bdim1, bdim2, bdim3; bvalue, bweight) falls viele Kisten mit gleichen Maßen: Kistenvorrat schwach heterogen ansonsten stark heterogen Zielfunktion Verstautes Kistenvolumen Summierter Frachtwert andere sinnvolle Möglichkeiten 13.01.2004

Optimierungsproblem Zulässigkeit Restriktionen F1: Kisten auf Containerboden oder auf Deckfläche einer anderen Kiste, geometrische Mittelpunkt einer Kiste unterstützt durch untere Kiste F2: Kiste seitenparallel zu Grenzflächen des Containers F3: Kisten vollständig innerhalb des Containers Restriktionen C1: Orientierung bestimmter Kisten eingeschränkt C2: Verbot der Überstapelung C3: Gesamtgewicht des Containers C4: Stabilität der Kisten unterstützte Fläche zu Gesamtbodenfläche der Kiste C5: Gleichgewichtsrestriktion für Container 13.01.2004

Idee des Verfahrens Einteilung der Menge der Kisten in disjunkte Türme mittels Greedy-Algorithmus, der die Stauraumverluste innerhalb der Basiskiste minimiert;  kombinatorische Komponente Bedeckung des Containerbodens mit den Türmen mittels GA, der den Gesamtwert aller verpackten Kisten maximiert;  geometrische Komponente Wiederholung der obigen Schritte mit neuem Parameter für Greedy-Algorithmus, bis Abbruchbedingung erfüllt und Ausgabe der besten Lösung.  Iteration 13.01.2004

Heuristik Definition Turm Beschreibung Definition Turmmenge Genau eine Kiste als Basis eines Turmes möglich Jede weitere Kiste steht vollständig auf unterer Kiste Beschreibung Turm it als Menge von Kisten TBoxes(j) j=1,...,ntboxes beschrieben durch (b, bdimx, bdimy, bdimz; bconerx, bcornery, bcornerz) Definition Turmmenge Menge, besthend aus allen erzeugten Türmen, die zusammen alle verfügbaren Kisten beinhalten Turmmenge TSet(it) it=1,...,ntowers beschrieben durch (tvalue, tloss, ntboxes, tdim1, tdim2; TBoxes) 13.01.2004

Illustration Turm 13.01.2004

Illustration Turmraumkonzept Bestimmen des freien Raumes oberhalb einer Kiste und Speicherung in Datenstruktur Keller (Stack) 13.01.2004

Illustration Turmraum 13.01.2004

Alg. Turmerzeugung I 13.01.2004

Alg. Turmerzeugung II 13.01.2004

Genetischer Algotihmus (GA) Noch 2-dimensionales, geometrisches Problem zu lösen Einführung „Eckenkonzept“ Definition: Ecke (cornerx, cornery, cwidth) Punkt auf virtuellem Containerboden. Anordnungsecke, falls cornerx mit x-Koordinate der vorderen Kante der Turmfläche eines bereits plazierten Turmes übereinstimmt cornery mit y-Koordinate der linken Kante eines bereits plazierten Turmes übereinstimmt höchstens durch vordere oder rechte Kante einer plazierten Grundfläche bedeckt wird Die sogenannte „freie Breite einer Ecke“ wird definiert als y-Abstand zur nächsten Kiste bzw. Containerseite 13.01.2004

Illustration „Eckenkonzept“ Anordnungseckenmenge CSet Enthält alle möglichen Plazierungen von Türmen, zunächst nur (0,0,yc) Aktualisierung nach jedem Setzen eines Turmes Wird durch lineare Relation geordnet corner1corner2 : corner1.x<corner2.x  corner1.x=corner2.y  corner1.y<corner2.y 13.01.2004

Beschreibung GA I Repräsentation Initialisierung Decodierung/Phänotyp Genotyp Chrom(i), i=1,...,ntowers: Sequenz der Plazierung der Türme beschrieben durch Vektor (it, trot) trot :=0, wenn grössere Dimension des Turmes in y-Achse Initialisierung zufällige Permutationen des Indexes it Decodierung/Phänotyp Lösung Sol(i), i=1,...,ntowers: Sequenz der Plazierungen beschrieben durch Vektor (it, trot,tcornerx,tcornery) Evaluierung und Fitnessfunktion 13.01.2004

Beschreibung GA II Genetische Operatoren 27.03.2017 Genetische Operatoren Selektion der Eltern: stochastisch Wahrscheinlichkeit direkt aus Fitnessfunktion Umweltselektion:deterministisch sofortiges Ersetzen der schlechtesten Lösung Crossover: Permutationserhaltende Operatoren Uniform Order Based Partially Mapped Cycle Drehungsvarianten werden von Eltern übernommen Mutation Inversion Scramble Sublist Drehungsvarianten zufällig aus (0,1) gewählt A priori kaum zu entscheiden, welcher Operator am besten;  Verfahrenstest Permutationserhaltende Operatoren; Pfadrepr. Uniform OX p1: 123 4567 89 p2: 452 1876 93 o1: xxx 4567 xx p2: xxx 1876 xx 93218 ab 2Schnitt von anderem ohne dupl o1: 218 4567 93 p2: 345 1876 92 Pfadrepr.: relative Ordnung entscheidend Patially PMX o1: xxx 1876 xx o2: xxx 4567 xx o1: x23 1876 x9 o2: xx2 4567 93 1vs4 8vs5 7vs6 6vs7 o1: 423 1876 59 o2: 182 4567 93 Ähnlichkeiten in Wert und Reihenfolge ausnutzen Cycle CX p1: 123 456 789 o1: (123 4xx x8x) ein Zyklus Rest von anderem o1: 123 476 985 p2: 412 876 935 o2: 412 856 739 absolute position in Eltern entscheidend Inversion Scramble 2Schnitte, zufällige Vertauschungen 13.01.2004

Beschreibung GA III Parameter Eltern- und Nachkommenpopulation: Anzahl der Individuuen konstant: npop=50 Struktur Inkrementeller GA Wahrscheinlichkeiten für Operatoren: pm=0,5 pc=0,5 Anzahl der Generationen fest, somit zugleich Abbruchbedingung: ngen=300 13.01.2004

Alg. Decodierung&Evaluation 13.01.2004

Hybridisierung Problemspezifisches Wissen miteinbringen: Startpopulation Türme der Grösse nach mittels „Eckenkonzept“ setzen Decodierung „Nachbesserung“ mittels heuristischer Regeln: R1: aktuelle Plazierung direkt nicht möglich, allerdings nach 90° Drehung möglich, dann drehen und setzen R2: falls aktuelle Plazierung nicht in realem Container, aber eine andere Plazierungsmöglichkeit in realem Container besteht, dann wähle erste Alternative R3: falls plazierbarer, alternativer Turm mit nicht-kleinerer Grundfläche, aber geringerem Stauraumverlust existiert, dann wähle entsprechende Alternative R4: falls durch Plazierung eine zu kleine Fläche entstehen sollte und eine Drehung möglich ist, dann plaziere dementsprechend 13.01.2004

Einhalten der Restriktionen C1: Orientierung bestimmter Kisten eingeschränkt C2: Einschränkung der Überstapelung C3: Gesamtgewicht des Containers C4: Stabilität der Kisten, definiert als unterstützte Fläche zu Geamtbodenfläche der Kiste C5: Gleichgewichtsrestriktion für Container C1 leicht bei Erzeugung der Turmsets zu erreichen C2 Stauraum oberhalb Kiste im Kellerspeicher gesperrt C3: bei Erzeugung der Türme Gewicht berechnen bei Decodierungsprozess jeweils vor dem Setzen auf zulässiges Gesamtgewicht prüfen C4 ist immer erfüllt C5 kann nur durch Verschiebung verbessert werden, allerdings nicht strikt erfüllt werden 13.01.2004

Verfahrenstest Parameter Vergleich Operatoren Verkleinern der Populationsgrösse npop führt zu schlechteren Ergebnissen Vergrösserung der Generationenanzahl ngen führt zu keiner wesentlichen Verbesserung Vergleich Operatoren Rechenzeiten nahezu identisch Auslastungen differieren kaum Auswahl: Uniform order based Crossover mit sramble sublist Mutation Vergleich mit reiner Zufallssuche ohne Hybridisierung ist GA schlechter, allerdings bei weniger als der halben Rechenzeit mit Hybridisierung zeigt GA vor allem bei mittleren und maximalen Auslastungen signifikante Verbesserungen gegenüber reiner Zufallssuche bei leicht erhöhter Rechenzeit 13.01.2004

Verfahrensvergleich Implementiert in C , P130; nbmax=500 Vergleich gegenüber Verfahren des selben Autors „einfache“ Heuristik Bortfeldt(90): signifikant schlechtere Ergebnisse, z.T. mehr als 5% weniger Volumenauslastung, vor allem bei stark heterogenem Kistenvorrat nur GA erfüllt nur C4 (Stabilität) Rechenzeitvorteil: 4-10 TabuSearch Bortfeldt/Gehring(98): bessere Ergebnisse, im Schnitt 3% fallen monoton mit zunehmender Heterogenität deutlich erhöhte Rechenzeiten GA(Turm) streut weniger, findet häufiger optimale Lösungen GA Bortfeldt/Gehring(01): mit „Schichtenkonzept“ durchgängig leicht verbesserte Ergebnisse erfüllt alle Restriktionen, C5 nur schwach GA(Schicht) streut weniger, aber höhere Anzahl unverstauter Kisten 13.01.2004

Vergleich zu anderen Autoren: LOH&NEE(92) 15 eigene Probleme Mass für Auslastung auf Basis Frachtrate im Mittel der Beste (Maß!?) GA findet 13 Optima, Loh&Nee 11 NGOI(94) BISCHOFF&RATCLIFF(95) 15 Testfälle zu je 100 numerischen Beispielen Algorithmus für schwach heterogene Kisten GA besser v.a. bei stark heterogenem Vorrat besser Streuung durchgängig erheblich niedriger nur Orientierungsrestriktion 13.01.2004

Illustration Schichtenkonzept 13.01.2004

Kritik I Annahmen&Idee Turmkonzept F2: kann einschränkend sein F1&F2&F3 sollen Verpackungsmaterial einsparen homogener Inhalt der Kisten Minimierung des Stauraumverlustes für Heuristik fragwürdig Heuristik ist in Richtung Anzahl und Volumen getrimmt Vielleicht: Heuristik entscheidend für Lösungsgüte C5 nur von bedingter Wichtigkeit Turmkonzept Türme verschlanken nach oben hin horizontale und vertikale Freiräume / „Löcher“ Lückenstabilität C4: Überdeckungen Verschiedene Turmräume existent 13.01.2004

Kritik I Eckenkonzept GA&Hybridisierung Allgemein Richtung der Befüllung durch „einseitigen“ virtuellen Container Andere Ordnungen / zufällig initialisiert GA&Hybridisierung Starke Streuung durch Operatoren und Wahrscheinlichkeiten Hybridisierung entscheidender Teil Allgemein Stark heterogener Kistenvorrat überhaupt sinnig für eine Optimierung? 13.01.2004

Kritik II Inhaltliches Formales Sicherlich interessanter Ansatz F2 sicherlich nur bedingt einschränkend Turm- und Eckenkonzept machen trotz Komplexität schnelle Lösungsfindung möglich für schwach homogener Kistenvorrat sicherlich eine brauchbare Lösung Formales Arbeit in Anbetracht der notwendigen Aufwandes an Nomenklaturen übersichtlich und strukturiert Verfahren (eigentlich) direkt aus Arbeit implementierbar, alle notwendigen Angaben sind vorhanden Testfälle nachvollziehbar 13.01.2004

Verpackungsmaterial? 13.01.2004

Verpackungsmaterial? 13.01.2004

Diskussion Weitere Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 13.01.2004

Literaturverzeichnis A Genetic Algorithm for Solving the Container Loading Problem H. Gehring und A. Bortfeldt Int. Trans. Opl. Res., Vol.4, No. 5/6, pp. 401-418, 1997 Ein Tabu Search-Verfahren für Containerbeladeprobleme mit schwach heterogenem Kistenvorrat. A. Bortfeldt und H. Gehring OR Spektrum, Band 20, S. 237-250, 1998, A parallel tabu search algorithm for solving the container loading problem H. Gehring und A. Bortfeldt Diskussionsbeitrag Nr. 324, Fachbereichs Wirtschaftswissenschaft, FernUniversität Hagen, 2002. A hybrid genetic algorithm for the container loading problem. European Journal of Opl. Research, Vol. 131 No. 1, pp.143-16, 2001. Ein verteilt-paralleler genetischer Algorithmus für Containerbeladeprobleme Diskussionsbeiträge Nr. 271, Fachbereich Wirtschaftswissenschaften, FernUniversität Hagen, 1999 13.01.2004

Literaturverzeichnis Das Containerbeladeproblem Max Schäfer Universität Saarbrücken, Seminar Evolutionäre Algorithmen / Genetisches Progammieren, WS 97/98 Cutting and Packing in Production and Distribution H. Dyckhoff und U. Finke Physica-Verlag 1992 How to Solve It: Modern Heuristics Z. Michalewicz und D. Fogel Springer,2002 13.01.2004