Seminar Tourenplanung Lehrstuhl für Anwendungen des Operation Research Universität Karlsruhe (TH) Briefträgerproblem in gemischten Graphen Prof. Dr. G. Hammer Dipl.-math. P. Giemsch  

Gliederung 1. Einführung 2. Vorüberlegung und Definitionen 3. Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen a) Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G b) Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit c) Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G d) Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G e) Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus 4. Aussagekraft der Heuristik 5. Zeitkomplexität und Rechenaufwand

Einführung Das Briefträgerproblem wird in der englischen Literatur nach dem Chinesen Mei-Ko Kwan „The Chinese Postman Problem“genannt. Grundvoraussetzung zur Lösung von Briefträgerproblemen schuf Leonhard Euler im Jahre 1736 mit dem Königsberger Brückenproblem. Pregel

Einführung Anwendungsmöglichkeiten: Ausliefern von Post Durchführung der Müllabfuhr Straßenreinigung Winterdienst

Einführung Skizzierung am Beispiel des Winterdienstes. Ziel: Jede Straße muss von den anfallenden Schneemassen befreit werden. Dabei muss dass Einsatzfahrzeug jede Straße mindestens einmal bei mehrspurigen Straßen mehrmals durchfahren. Es kann erforderlich werden Straßen erneut - ohne das eine Aufgabe erledigt wird – zu durchfahren, um ein anderes Gebiet zu erreichen. Gesucht ist ein minimaler Weg, der jede zu räumende Straße enthält und in dem die Länge der unproduktiven Strecken so gering wie möglich ist .

Einführung Auftretende Nebenbedingungen: Verschiedene Einsatzfahrzeuge (Schneefräsen, Schneepflüge, Schneetransporter, Salzstreuer, etc.) Verschiedene Straßenarten (Ein-, Mehrspurig, Einbahnstraßen, Autobahnen, etc.) Verschiedene Witterungsbedingungen (Schnee, Matsch, überfrierende Nässe, Schneefallstärke, etc.) Kapazitätsrestriktionen (Ladekapazität) Zeitrestriktionen (Einsatzzeit, Räumintervalle, etc.) Prioritäten (Hauptstraße, Nebenstraße, etc.)

Einführung Lösungssoftware: CASPAR (Computer Aided System for Planning Efficient Routs): Ersparnisse im Staat Indiana durch den Einsatz von CASPAR: Anzahl der Routen: -7,9% Anzahl der unproduktiven Strecken: -4,3% Anzahl der hinzugenommenen Strecken: +79,3% Kostenersparnis im ersten Jahr: $ 10 Millionen

Vorüberlegung und Definitionen Gegeben sei ein bewerteter gemischter Multigraph G=[V,E,P,c]. V sei die Menge der Knoten mit V≠Ø E die Menge der Kanten zwischen den Knoten [i,j] P die Menge der Pfeile <i,j> c die Kosten mit c(e)≥0 für alle e Element E und P cij i j cij

Vorüberlegung und Definitionen Ein Graph G heißt stark zusammenhängend, wenn gilt, dass für alle i,j Element V eine Kanten-Pfeil-Folge (KP-Folge) von i nach j und eine KP-Folge von j nach i existiert . i j Ein Graph G heißt schwach zusammenhängend, wenn für alle i,j Element V eine Semi-Kanten-Pfeilfolge (SKP-Folge) mit den Endpunkten i und j existiert. i j

Vorüberlegung und Definitionen Die Entfernung zwischen zwei Knoten i und j wird als dij bezeichnet und drückt die Länge einer kürzesten SKP-Folge aus. Zusätzlich soll gelten: dij=∞, falls i und j nicht verbunden sind

Vorüberlegung und Definitionen Definition 1: Eine Briefträgertour in einem Graphen G, ist eine geschlossene KP-Folge, die jede Kante und jeden Pfeil mindestens einmal enthält.   Definition 2: Ein geschlossener (gemischter) Eulerscher Zyklus in einem Graphen G ist eine geschlossene KP-Folge, die jede Kante und jeden Pfeil genau einmal enthält. Definition 3: Ein Graph G heißt Eulersch, falls G einen geschlossenen Eulerschen Zyklus enthält.

Vorüberlegung und Definitionen Definition 4: Der Gesamtgrad eines Knoten i in einem gemischten Graphen G sei wie folgt definiert:  δx=δ(i)+ δ+(i)+δ-(i)   Mit: δ(i) der Grad aller in einem Knoten i endenden Kanten δ+(i) den Eingangsgrad eines Knoten i δ-(i) den Ausgangsgrad eines Knoten i

Vorüberlegung und Definitionen Definition 5: Ein gemischter Multigraph Ĝ ist eine Vergrößerung von G, wenn Ĝ aus G durch Umwandlung von Kanten in Pfeile, Ersetzung von Kanten durch Paare entgegengesetzt gerichteter Pfeile, und Vervielfachung von Kanten bzw. Pfeilen entstanden ist. Definition 6: Ĝ ist eine Eulersche Vergrößerung, wenn Ĝ Eulersch ist und eine Vergrößerung von G.

Vorüberlegung und Definitionen Definition 7: Eine optimale Eulersche Vergrößerung Ĝ von G ist eine Vergrößerung von G und hat unter allen möglichen Vergrößerungen von G die kleinste Summe der Bewertungen der hinzugefügten Kanten und Pfeile.

Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen Generelles Vorgehen: Schritt 1: Untersuche ob der Graph G stark zusammenhängend ist.Falls der Graph G stark zusammenhängend ist, fahre fort mit Schritt 2. Falls nicht terminiere. Schritt 2: Untersuche ob der Graph G von sich aus Eulersch ist. Falls der Graph G Eulersch ist fahre fort mit Schritt 4. Ansonsten weiter mit Schritt 3.

Vorgehen zur Untersuchung eines gemischten Graphen Schritt 3: Bestimme eine optimalen Eulerschen Vergrößerung Ĝ von G indem man die Verfahren Gerade-Gesamtgrad-Vergrößerung(GG-Vergrößerung) und Ausgangsgrad-Gleich-Eingangsgrad-Vergrößerung (AGE-Vergrößerung) auf den Graphen G anwendet. Schritt 4: Bestimme einen geschlossenen Eulerschen Zyklus in einem Eulerschen Graphen.

Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G Der Graph ist nicht stark zusammenhängen wenn er, isolierte Knoten, Knotenpaare oder Sackgassen besitzt. Algorithmus zur Identifikation von Sackgassen: Schritt 1: Starte mit dem Knoten i:=1und j:=2. Schritt 2: Untersuche ob für i eine KP-Folge nach j und von j eine KP-Folge nach i existiert. Falls nicht, terminiere. Schritt 3: Falls j≠n. Setze j:=j+1 und gehe zu Schritt 2. Sonst terminiere.

Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G 1 1 1 2 3 Gesucht ist eine Briefträgertour im Graphen A. 1 1 1 Der Graph A ist stark zusammenhängend, da es keine isolierten Knoten oder Knotenpaare gibt und er keine Sackgassen besitzt. 1 4 5 6 1,5 2 2,5 1 1,5 7 8 9 Beispiel:

Die Bedingung des stark zusammenhängenden Graphen G 2 Durch die Untersuchung erkennt man weiterhin, dass der Graph A in einen Graphen G transformiert werden kann. 2 1 1 4 5 6 2 2,5 8 Beispiel:

Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit Satz 1: Sei G ein gemischter zusammenhängender Multigraph, dann ist G Eulersch, wenn gilt: δx(i) ist geradzahlig für alle i Element V Für jede Zerlegung (V1,V2) von V gilt: |#< V1,V2> - #< V2,V1>| ≤ #[ V1,V2] δ+(i)=δ-(i) für alle i Element V Die Bedingungen a) und c) sind notwendige Voraussetzungen dafür, dass der Graph G Eulersch ist.

Untersuchung des Graphen G auf Eulerschheit 2 Da der Graph zum Beispiel im Knoten 2 sowohl gegen a) δx(i) geradzahlig als auch gegen c) δ+(i)=δ-(i) des Satzes 1 verstößt, muß er erst noch durch eine geeignete Umwandlung Eulersch gemacht werden. 2 1 1 4 5 6 2 2,5 8 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G

Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G 2 Schritt 1: 2 1 i 2 4 5 8 δx(i) 3 1 4 5 6 2 2,5 8 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G 2 Schritt 2: 2 1 i j Fij dij 2 4 [2,4] [2,5,4] 5 [2,5] 1 8 [2,5,8] 3 [4,5] [4,8] 2,5 [5,8] 1 4 5 6 2 2,5 8 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G 2 2 4 Schritt 3: Resultierender Graph G‘ 2,5 1 1 3 5 8 2 2 2 4 Minimales Summen-Matching X*={[2,5][4,8]} 2,5 1 1 3 5 8 2 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale GG-Vergrößerung von G 2 Schritt 4: Resultierender Graph Ĝ 2 1 1 1 4 5 6 2,5 2 2,5 8 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G 2 Schritt 1: Orientiere [4,5] von 4 nach 5. Man erhält den Graphen Ğ 2 1 1 1 4 5 6 2,5 2 2,5 8 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G 2 2 Schritt 2: 2 1 1 i 2 4 5 8 ai -2 1 4 5 6 2,5 2 2,5 8 -2 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G 2 2 Schritt 3: 2 1 1 Resultierender Multigraph 1 4 5 6 2,5 2 2,5 8 -2 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G 2 2 Schritt 4: Festlegung der Kosten und Kapazitäten in der Form: γ(e);κ(e) 2; 1; 1; 1; 1; 4 5 6; 0;2 2,5; 2; 2,5; 8 -2 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G 2 2 Schritt 5: Lösung des Umladeproblems: X*(<2,8>), X(*)=0 2; 1; 1; 1; 1; 4 5 6; 0;2 2,5; 2; 2,5; 8 -2 Beispiel:

Algorithmus für eine optimale AGE-Vergrößerung von G 2 Zu <2,8> zwei parallele Pfeile einfügen. Die Kante [4,5] wird durch den Pfeil <4,5> ersetzt. Man erhält den Resultierenden Graphen Ĝ‘ 2 1 1 1 4 5 6 6 6 2,5 2 2,5 8 Beispiel:

Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus Schritt 1: Starte mit einem beliebigen Knoten i0 von G. Suche ausgehend von i0, eine schlichte geschlossene Folge L=[ i0, i1, i2,.... i0].   Schritt 2: Eliminiere die Kanten/Pfeile von L aus G. Daraus ergibt sich der Graph G’. Wähle einen Knoten i0 auf L, für den in G’ δ(i0)≥2 gilt. Gibt es keinen solchen Knoten, so terminiere. Anderenfalls suche in G’ ausgehend von i0 eine schlichte geschlossenen Kantenfolge L’. Schritt 3: Füge die Kantenfolge L’ in L ein. Die resultierende Kantenfolge sei wieder L. Setze G:=G’ und gehe zu Schritt 2.

Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus 2 Start mit i0:=2 L1=<2,8,5,2> 2 1 1 1 4 5 6 6 6 2,5 2 2,5 8 Beispiel:

Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus 2 Start mit i0:=2 L1=<2,8,5,2> L2=<2,8,4,2> 2 1 1 4 5 6 6 2,5 2,5 8 Beispiel:

Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus 2 Start mit i0:=2 L1=<2,8,5,2> L2=<2,8,4,2> L3=<2,8,4,5,2> Resultierende Folge L: L=<2,8,5,2,8,4,2,8,4,5,2> 1 1 4 5 6 2,5 8 Beispiel:

Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus 1 1 1 2 3 Rücktransformation in den Graphen A: L=<2,3,6,9,8,5,2,3,6,9,8,7,4,1,2,3,6,9,8,7,4,5,2> Länge der Briefträgertour: C(L)= 30 1 1 1 1 4 5 6 1,5 2 2,5 1 1,5 7 8 9 Beispiel:

Aussagekraft der Heuristik Es existieren zwei Möglichkeiten: Möglichkeit 1: Der Graph G wird durch den GG-Algorithmus auf Ĝ gebracht und danach der AGE-Algorithmus auf Ĝ angewandt. Man erhält einen Eulerschen Graphen Ĝ’. Daraus ergibt sich dann die Briefträgertour LA.   Möglichkeit 2: Der Graph G wird über die AGE-Vergrößerung in Ĝ überführt und dann mit der GG-Vergrößerung der Eulerschen Graphen Ĝ’ konstruiert. Hieraus ergibt sich die Briefträgertour LB.

Aussagekraft der Heuristik 2 Untersuchung des Graphen G nach Möglichkeit 2 Erster Schritt: AGE- Vergrößerung Zweiter Schritt: GG- Vergrößerung 2 1 1 4 5 6 2 2,5 8 Beispiel:

Aussagekraft der Heuristik 2 Resultierender Graph nach der AGE-Vergrößerung durch [4,5] orientiert zu <4,5> ai Bestimmung Lösung des Umladeproblems mit dem Ergebnis X*(<2,8>)=1; X*(<5,4>‘)=1 und X(*)=0 => Verdopplung von <2,8> und beibehalten von [4,5] 2 1 1 4 5 6 6 2 2,5 8 Beispiel:

Aussagekraft der Heuristik 2 Resultierender Graph nach der GG-Vergrößerung durch Bestimmung von δx(i) Berechnen der dij Lösen des minimalen Summen-Matching X* => Hinzufügen der Kante [4,5] 2 1 1 4 5 6 6 1 2 2,5 8 Beispiel:

Aussagekraft der Heuristik 2 Bestimmung eines geschlossenen Eulerschen Zyklus L=<2,8,5,2,8,4,5,4,2> Mit den Gesamtkosten C(L)=21,5 2 1 1 4 5 6 6 1 2 2,5 8 Beispiel:

Aussagekraft der Heuristik Annahme: L+ ist die kürzeste der beiden gefunden Briefträgertouren LA und LB und L* die nicht bekannte optimale Briefträgertour. Fredrickson bewies 1979 mit der worst-case Analyse und das gilt:

Zeitkomplexität und Rechenaufwand Maßgeblich abhängig vom minimalen Summen-Matching der GG-Vergrößerung und dem Umladeproblem der AGE-Vergrößerung. Es seien |V|=n und |E|+|P|=m . Zeitkomplexität der GG-Vergrößerung: O(n3+m) im Multigraphen O(n3) sonst Zeitkomplexität der AGE-Vergrößerung: O(mn2) Zeitkomplexität zu Bestimmung eines Eulerschen Zyklus: O(m)

Literaturverzeichnis [1] P. Bruckner. The Chinese Postman Problem for Mixed Graphs.H. Noltemeier. Graphtheoretic Concepts in Computer Science. S.355–366. Springer Verlag. 1981 [2] H.A. Eiselt, M. Gendreau, G. Laporte. Arc Routing Problems, Part I: The Chinise Postman Problem. S. 213-242. Operation Research, Vol.43, No. 2. 1995   [3] H.A. Eiselt, M. Gendreau, G. Laporte. Arc Routing Problems, Part II: The Rural Postman Problem. S. 399-413. Operation Research, Vol.43, No. 2. 1995    [5] Domschke. Logistik: Rundreisen und Touren. 2.Auflage. Briefträgerprobleme. S. 108-129, R. Oldenburg Verlag. 1985 [6] M. Dror. Arc Routing: Theory, Solutions and Applications. Kluwer Academic Publisher. 2000