Gleichungen im Mathematikunterricht der Klassen 5 bis 10 Teil II Didaktik der Algebra (12) Gleichungen im Mathematikunterricht der Klassen 5 bis 10 Teil II

Das Erlernen des Lösens von Gleichungen ist ein langfristiger Prozess, an den die Schüler bereits in der Grundschule herangeführt werden, z.B. 3+5=__ 5+ __=7 __ +3 =8. Dabei stehen allerdings nicht Lösungsverfahren im Vordergrund, sondern es geht um den Aufbau des Zahlenverständnisses und der Grundrechen-arten.

Aufgaben der Art 5+ __=7 werden in der Grundschule dabei übersetzt in „Welche Zahl muss ich zu 5 addieren um 7 zu erhalten?“

In Jahrgang 5 werden ebenfalls noch einfache Gleichungen behandelt, wobei beim Lösen allerdings verstärkt argumentativ vorgegangen wird, z.B. durch den Übergang zur Gegen-aufgabe: Aufgabe: 5 + x = 7, Gegenaufgabe: 7 - 5 = x.

In Jahrgang 6 gibt es für die Gleichungen Änderungen durch die Zahlbereichs-erweiterung auf die Bruchzahlen. Es können also Brüche als Lösung einer Gleichung auftreten.

In Klasse 7 ergibt sich durch die Einführung der negativen Zahlen ebenfalls eine Erweiterung für die Gleichungen. Auch hier werden Gleichungen zunächst noch argumentativ gelöst. Dann jedoch wird im Rahmen der Termumformungen begonnen, Gleichungen mit Äquivalenzumformungen zu lösen.

Bis Klasse 7 entwickeln sich die Gleichungen angelehnt an die Zahlenbereiche. Sind die Voraussetzungen für das Rechnen in einem Körper gegeben, so orientiert sich die weitere Gleichungslehre an die Entwicklung des Funktionsbegriffs, d.h. lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen usw..

Im Folgenden wird ein Überblick über die Behandlung von Gleichungen in den verschiedenen Zahlbereichen gegeben.

Gleichungen und Ungleichungen in N Gleichungen treten im Zusammenhang mit den natürlichen Zahlen in Klasse 5 in drei verschiedenen Arten in Erscheinung: Formulierung von Rechengesetzen, Formulierung von Rechenaufgaben, Formeln.

Formulierung von Rechengesetzen Ein wichtiges Themengebiet in Klasse 5 ist die Wiederholung und Vertiefung des Rechnens mit natürlichen Zahlen. Dabei spielen die Rechengesetze eine wichtige Rolle, die auf verschiedene Weise dargestellt werden, z.B. verbal, an Beispielen, mit Variablen oder anschauliche Darstellungen.

Formulierung von Rechenaufgaben Rechenaufgaben haben vor allem die Funktion des Sicherns und Vertiefens der Grundrechenarten. Dabei spielt auch das Rechnen mit Unbekannten eine Rolle.

Nach und nach wird von dem einfachen „Bestimme das x“ zu Formulierungen wie „Löse die Gleichung“ oder „Löse die Ungleichung“ übergegangen und so das Lösen von Gleichungen durch Lösungs-techniken in den Vordergrund gerückt.

Mögliche Lösungstechniken sind: 1) Gedankliches Lösen, z. B Mögliche Lösungstechniken sind: 1) Gedankliches Lösen, z.B. 3·x =12 zu lösen bedeutet die Frage „Mit welcher Zahl muss ich 3 multiplizieren, um 12 zu erhalten?“ zu beantworten. 2) Gegenaufgabe, z.B. 3·x =12 über 12 : 3 = x zu lösen.

3) Termvergleich, z. B. 3·x + 2 = 14. 3·x + 2 = 12 +2 also. 3·x = 12 3) Termvergleich, z.B. 3·x + 2 = 14 3·x + 2 = 12 +2 also 3·x = 12 3·x = 3·4 damit x = 4, denn: wenn gleiche Produkte in einem Faktor übereinstimmen, dann ist auch der zweite Faktor gleich.

3) Gegenoperatoren, z.B. x·3 + 2 = 14 Damit ist x = 4.

4) Probieren, z.B. x·3 + 2 = 14 Aufgrund des Anwachsens der Werte kann man schließen, dass x=4 die einzige Lösung ist.

Das Probieren bietet sich vor allem bei Ungleichungen an, bei denen es mehr als eine Lösung gibt. Termvergleich und Gegenaufgabe sind nicht als Vorgriff auf die üblichen Äquivalenzumformungen zu verstehen! Bei 3·x =12 zu 12 : 3 = x geht es nicht um eine beidseitige Division durch 3, sondern um die Äquivalenz von a · b = c zu c : a = b.

Ungleichungen bieten sich als Kontrastbeispiele von Gleichungen an Ungleichungen bieten sich als Kontrastbeispiele von Gleichungen an. Sie sind vor allem deshalb interessant, weil sie mehrere Lösungen haben können. Außerdem können leicht Umweltsituationen einbezogen werden, z.B. „Ein Fahrstuhl ist für bis zu 13 Personen zugelassen“ bedeutet 0  x  13 für die Personenzahl x.

Bei der Behandlung von Gleichungen sollten auch die beiden Sonderfälle auftreten, dass keine Lösung existiert, oder dass jede natürliche Zahl Lösung ist, z.B. 2 + x = 3 + x bzw. 2·x = x+x. Die Aufgaben sollten so formuliert sein, dass die Schüler auf solche Lösungen gefasst sein müssen, z.B. „Für welche x gilt ...?“ oder „Überlege, ob es Zahlen x gibt, so dass ... .“

Gleichungen, für die keine Lösung in N existiert, sind vor allem darauf zurückzuführen, dass N gegenüber der Subtraktion und Division nicht abgeschlossen ist. Gleichungen bieten hier das adäquate Mittel, diese „Nichtabgeschlossenheit“ auszudrücken und den Schülern das Problem bewusst zu machen.

Formeln Einen ersten Eindruck von Formeln bekommen die Schüler bei der Ermittlung des Flächen-inhalts eines Rechtecks. Besteht ein Rechteck aus a Streifen zu je b Einheitsquadraten, so gilt für den Flächeninhalt A, dass A = a ·b Quadrate groß ist.

Gleichungen und Ungleichungen in B Die im Zusammenhang mit den natürlichen Zahlen in Klasse 5 behandelten Bereiche von Gleichungen und Ungleichungen setzen sich bei der Behandlung der Bruchzahlen fort.

Die Bruchrechenregeln werden durch Gleichungen formuliert, z. B Die Bruchrechenregeln werden durch Gleichungen formuliert, z.B. Probleme bereiten könnte die Tatsache, dass die Variablen nicht für Brüche, sondern für natürliche Zahlen stehen. Dies verdeutlich aber andererseits noch einmal, dass die Bruchzahlen aus den natürlichen Zahlen aufgebaut sind.

Die Rechenregeln, die unabhängig von der Darstellung der Zahlen sind wie das Kommutativgesetz o.ä., sollten durch andere Buchstaben ausgedrückt werden, um mögliche Irritationen in dieser Alterstufe zu vermeiden.

Bei Rechenaufgaben zur Bruchrechnung können zwei Formen von Gleichungen unterschieden werden. Dies sind die Gleichungstypen wobei x einmal aus N und einmal aus B ist.

Als Lösungsmethode kommt vor allem das Lösen durch Gegenoperatoren in Frage:

Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks (A = a·b) kann nach der Einführung von Dezimalbrüchen hergeleitet werden. Dabei können die Seitenlängen eines Rechtecks gemessen werden. Entsprechendes gilt für den Rauminhalt eines Quaders (V = a·b·c).

Ungleichungen spielen z. B Ungleichungen spielen z.B. eine Rolle bei der Abgeschlossenheit von B bzgl. der Subtraktion: r - s  B genau dann, wenn s < r. Auch die Tatsache, dass B dicht ist, lässt sich mit Ungleichungen zeigen:

Gleichungen und Ungleichungen in Q Nach der Erarbeitung der rationalen Zahlen sind die Voraussetzungen gegeben, (lineare) Gleichungen mit den üblichen Umformungen zu lösen. Dazu werden zunächst Terme und Termumformungen behandelt und dann die notwendigen Begriffe für die Gleichungslehre eingeführt.

Ein immer wieder genannter Kritikpunkt an der Gleichungslehre ist der hohe Begriffs-aufwand (vgl. Neue Mathematik), der den Blick für das Wesentliche und Inhaltliche verdeckt. Die einzuführenden Begriffe sind deshalb auf das notwendige Minimum zu beschränken.

Die notwendigen Begriffe sind Gleichung, Ungleichung, Lösung, Lösungsmenge und Äquivalenzumformungen. Äquivalenzumformungen sind dabei als die Umformungen einer (Un)-Gleichung definiert, bei der sich die Lösungsmenge nicht ändert.

Die Begriffe Gleichung, Ungleichung, Lösung, Lösungsmenge sind für die Schülerinnen und Schüler schon bekannt oder schnell einsichtig. Bei der Lösungsmenge stellt sich die Frage der Notation.

Gibt es nur eine Lösung, so reicht eine Form wie z. B. x = 2 aus Gibt es nur eine Lösung, so reicht eine Form wie z.B. x = 2 aus. Bei mehreren Lösungen können die weniger oder mehr formalen Varianten wie 2  x  5 oder L = { x | 2  x  5 } gewählt werden.

Nicht erwähnt wurden hier die Begriffe Aussageform, Aussage, Grundmenge. Aussageform ist eher ein Begriff der Logik als der Mathematik. Auf ihn kann verzichtet werden. Ebenso auf den Begriff Grundmenge, wenn man immer den gesamten bekannten Zahlbereich als Grundmenge annimmt.

Schwieriger ist es mit dem Begriff Aussage Schwieriger ist es mit dem Begriff Aussage. Aussagen spielen in der Mathematik eine große Rolle, so dass der Begriff von wichtiger Bedeutung ist. Andererseits reicht hier auch der Rückgriff auf den Begriff (wahre/falsche) Aussage, den die Schüler aus dem Alltag kennen.

Eine explizite Diskussion des Begriffs Aussage ist aber im Hinblick auf die Struktur der Mathe-matik (Definition, Satz, Beweis), die sich auch im Mathematikunterricht wiederspiegelt, von Bedeutung. Es muss aber nicht im Rahmen des Begriffsapparates für die Gleichungslehre passieren.

Ziele der Gleichungslehre sind u.a. : Das sichere Beherrschen der Umformungs-regeln und Lösungsstrategien, die Zielsicherheit beim Umformen, das Beherrschen der Umkehrung der Umformungen, das effiziente Lösen von Gleichungen.

Das letzte Ziel beschreibt dabei die Reduktion der Schritte bis zur Lösung einer Gleichung. Dabei muss der Lehrer sehr sensibel und auf die individuellen Fähigkeiten der Schüler bezogen vorgehen, um nicht ein Überspringen von Schritten aufzuzwingen oder ein unökonomisches Vorgehen zu lange zuzulassen.

Zum Lösen von Gleichungen wird ein allgemeines Verfahren hergeleitet Zum Lösen von Gleichungen wird ein allgemeines Verfahren hergeleitet. Die Strategie ist dabei, die Gleichung so lange umzuformen, bis man die Lösungsmenge unmittelbar ablesen kann.

Die einzelnen Umformungen dürfen die Lösungsmenge demnach nicht verändern. Derartige Umformungen werden Äquivalenz-umformungen genannt. Einige Äquivalenzumformungen können mit dem (bereits diskutierten) Waagemodell erklärt werden.

Hahn/Dzewas, Mathematik 7, Westermann 1994

Es werden zunächst beidseitige Addition und Subtraktion behandelt und festgestellt, dass es sich um Äquivalenzumformungen handelt. Schließlich folgt die beidseitige Multiplikation und Division mit einer Zahl ungleich Null. Diese Umformungstypen sollten auch mit Variablen formuliert werden.

Bei den Ungleichungen hat man die gleichen Äquivalenzumformungen Bei den Ungleichungen hat man die gleichen Äquivalenzumformungen. Allerdings muss bei einer beidseitigen Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgedreht werden! Dieser Sachverhalt sollte anhand von Beispielen verdeutlicht werden.

Es bietet sich an, die Schüler aufzufordern, zu Beginn des Gleichungslösen die Äquivalenzumformungen und ihre Lösungsstrategie zu kommentieren, d.h. anzugeben, warum sie welche Umformung durchführen.

Es stellt sich die Frage, ob neben Äquivalenzumformungen auch einfache Folgerungen beim Umformen zugelassen werden sollen. In der Regel wird man sich zunächst an die Äquivalenzumformungen halten und erst später z.B. bei Wurzelgleichungen einfache Folgerungen verwenden.

Im Folgenden soll auf die verschiedenen Gleichungstypen in Q eingegangen werden: lineare Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme, Bruchgleichungen und Bruchungleichungen, Formeln.

Bei den linearen Gleichungen und Ungleichungen wird man mit einfachen Fällen beginnen, um nach und nach komplexere Gleichungen zu bearbeiten. Von Bedeutung ist jeweils das sichere Beherrschen der Umformungsregeln und der Lösungsstrategien.

Zunächst bieten sich deshalb einfache Aufgaben an, z. B Zunächst bieten sich deshalb einfache Aufgaben an, z.B. von der Form ax +b = c, wobei a,b,c für Zahlen stehen. Schließlich werden auch Umformungen behandelt, wo a,b,c Terme sind und deshalb im Verlauf des Gleichungsumformungsprozesses verschiedene Termumformungen durchzuführen sind.

Zudem sollte eine Beziehung zwischen linearen (Un-)Gleichungen und linearen Funktionen bzw. deren Graphen hergestellt werden.

Hahn/Dzewas, Mathematik 7, Westermann 1994

Lineare Gleichungssysteme werden zumeist in der 9. Klasse behandelt Lineare Gleichungssysteme werden zumeist in der 9. Klasse behandelt. Begonnen wird dabei mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, später wird dann auf drei Gleichungen mit drei Unbekannten erweitert.

Von großer Bedeutung ist, dass die Schülerinnen und Schüler verstehen, dass die Lösungen linearer Gleichungssysteme Paare (x;y) bzw. Tripel (x;y;z) sind.

Bei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, können die beiden Gleichungen auch als Geraden dargestellt werden. Die Lösungsmenge besteht demnach aus den gemeinsamen Punkten dieser Geraden.

Auftreten können dabei folgende Fälle: 1) es gibt genau einen Schnittpunkt, 2) es gibt keinen Schnittpunkt, die Lösungsmenge ist leer, 3) die beiden Geraden fallen zusammen, alle Werte der Grundmenge sind Lösungen.

Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen wird man immer die Strategie versuchen, durch geschicktes Umformen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen zu machen. Die zweite Variable muss bei diesen Umformungen aber mit eingehen.

Dazu werden in der Regel drei verschiedene Verfahren eingeführt: das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren.

Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991

Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991

Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991

Bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten wird man die Gleichungen wie beim Additions-verfahren umformen, so dass man eine sog. Dreiecksform erhält (diese entspricht der Zeilenstufenform der zugehörigen Matrix!). Das Verfahren lässt sich verallgemeinern zu linearen Gleichungssystemen mit mehr als drei Gleichungen bzw. Unbekannten.

Hahn/Dzewas, Mathematik 9, Westermann 1991

Bei Bruchgleichungen tritt das bereits im Rahmen der Termumformungen diskutierte Problem auf, dass bestimmte Einsetzungen nicht möglich sind, d.h. auftretende Bruchterme nicht definiert sind. Diese Zahlen werden von dem Definitionsbereich der Bruchgleichung herausgenommen.

Zur Lösung von Bruchgleichungen können die auftretenden Bruchterme im ersten Schritt mit dem gemeinsamen Hauptnenner multipliziert und somit beseitigt werden. Diese Umformung ist eine Äquivalenzumformung, da der Hauptnenner aufgrund des vorher festgelegten Definitionsbereiches nicht Null sein kann.

Hahn/Dzewas, Mathematik 8, Westermann 1990

Bei den Formeln ergeben sich vier verschiedene Aspekte: Das Aufstellen von Formeln aus einer Sachsituation wurde schon diskutiert. Daneben gibt es noch die funktionalen Aspekte von Formeln, d.h. die Interpretation von Formeln mit Hilfe von Funktionen.

Das Auflösen von und Einsetzen in Formeln sind schließlich noch zwei weitere Aspekte zum Umgang mit Formeln. In der Regel wird man aus einer Aufgaben-stellung heraus eine Formel aufstellen, sie nach einer gesuchten Variable auflösen und schließlich gegebene Werte einsetzen.

Bei schwächeren Schülern kann es evtl Bei schwächeren Schülern kann es evtl. sinnvoll sein, schon vor dem Umformen der Formel die gegebenen Werte einzusetzen und dann nach der einzig verbleibenden, zu bestimmenden Variable umzuformen. Als Aufgabenbereiche bieten sich hier z.B. Flächenberechnungen , wirtschaftliche Zusammenhänge o.ä. an.