Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen - Sommersemester Winfried Kurth Universität Göttingen, Lehrstuhl Computergrafik und Ökologische Informatik 7. Vorlesung:

zuletzt: stochastische Ausbreitungsmodelle kontextsensitive L-Systeme Interpretationsregeln

als nächstes: Graphen als mathematische Grundstruktur topologische Analyse von Verzweigungsstrukturen Graph-Ersetzungsregeln zwei Regeltypen: L-System- und SPO-Regeln

Der Schritt zu Graph-Grammatiken Nachteil von L-Systemen: in L-Systemen mit Verzweigungen (über Turtle-Kommandos) nur 2 mögliche Relationen zwischen Objekten: "direkter Nachfolger" und "Verzweigung" Erweiterungen: Zulassen weiterer Relationstypen (beliebig wählbar) Zulassen von Zyklen Graph-Grammatik

Ein Graph: eine Art, Daten zu organisieren Def.: eine Menge von Knoten, (teilweise) verbunden durch (gerichtete) Kanten (Relationen). T I I T I T TI Knoten (T = Trieb, I = Internodium) Kantentypen (Relationen): Nachfolgerbeziehung Verfeinerungsbeziehung

Eine Zeichenkette (string): ein sehr einfacher Graph Eine Zeichenkette kann man als 1- dimensionalen Graphen mit nur einem Kantentyp auffassen Nachfolger-Kanten (successor relation) A B A A A C C A B

Finden Sie so eine Struktur irgendwo im realen Leben wieder? S RS B S B B B S B B B S B B S B S B B B S B B B S B B S B S B B B S B B B S B B

vielleicht jetzt? Bu d Shoot Bu d Shoot Bud Shoot Bu d Shoot Bu d Shoot Bu d Shoot Bud Shoot Bu d Shoot Bu d Root

3 Knotentypen Wurzelkompartiment Jahrestriebe Knospen 2 Kantentypen Nachfolgerrelation (selbe Achse) Verzweigungsrelation (neue Achse) es handelt sich um einen Baum. Bäume sind spezielle Graphen

zugrundeliegendes Teilgebiet der Mathematik: Topologie

zwei isomorphe Graphen:

dichotomFischgräten

Graph-Grammatik (Beispiel) Regel: nun werden die Graphen zeitlich veränderlich gemacht!

Graph-Grammatik (Beispiel) Regel: Anwendung: hier nicht anwendbar! (falscher Kantentyp)

Eine relationale Wachstumsgrammatik (RGG)* (spezieller Typ von Graph-Grammatik) enthält: ein Alphabet –die Definition aller erlaubten Knotentypen Kantentypen (Typen von Relationen) das Axiom –ein initialer Graph, der aus Elementen des Alphabets zusammengesetzt ist eine Menge von Graphersetzungsregeln. * relational growth grammar

Erinnern Sie sich? Bu d Shoot Bu d Shoot Bud Shoot Bu d Shoot Bu d Shoot Bu d Shoot Bud Shoot Bu d Shoot Bu d Root

Eine relationale Wachstumsgrammatik enthält: ein Alphabet –die Definition aller erlaubten Knotentypen Typen von Relationen das Axiom –ein initialer Graph, der aus den Elementen des Alphabets zusammengesetzt ist eine Menge von Graphersetzungsregeln Shoot Root Bu d RootShoot Bu d Nachfolger Verfeinerung

Was sind nun diese Graphersetzungsregeln (RGG-Regeln) ? und wie wendet man sie an?

Graphersetzungsregeln sind Regeln für die Transformation eines Graphen (Teilgraphen) in einen anderen Graphen. eine Regel besteht im wesentlichen aus: linker Regelseite ==> rechter Regelseite

Wie eine RGG-Regel angewandt wird jede linke Regelseite beschreibt einen Teilgraphen (ein Muster aus Knoten und Kanten, das im Gesamtgraphen gesucht wird), welches ersetzt wird bei der Regelanwendung. jede rechte Regelseite definiert einen neuen Teilgraphen, der als Ersatz für den entfernten Teilgraphen eingefügt wird.

einfaches Beispiel mit Zeichenkette Jedes Vorkommen des in der linken Regelseite definierten Teilgraphen wird ersetzt! ABCA DBCD AD wird ersetzt durch 2 Regelanwendungen im selben Zeitschritt. C C

eine vollständige RGG-Regel kann 5 Teile enthalten: (* Kontext *), Linke Regelseite, ( Bedingung ) ==> Rechte Regelseite { imperativer XL-Code }

Kontext-Beispiel (* Kontext *), Linke Regelseite, (Bedingung) ==> Rechte Regelseite { imperativer XL-Code } ABCA DC D A wird ersetzt durch B A Beispiel: (* *) B C C

Bedingungs-Beispiel (* Kontext *), Linke Regelseite, ( Bedingung ) ==> Rechte Regelseite { imperativer XL-Code } ABCA DC D a:A wird ersetzt durch B A Beispiel: ( a[length] > 10 ) ABCA 2 mögliche Ergebnisse, abhängig vom aktuellen Längenparameter des A-Knotens C C C

RELATIONALE WACHSTUMSGRAMMATIKEN (RGG: Relational Growth Grammars, parallele Graph-Gramm.) Zusammenfassung: Aufbau einer Regel einer RGG

RGG als Verallgemeinerungen von L-Systemen: Zeichenketten entsprechen speziellen Graphen In Textform schreiben wir allgemeine (selbstdefinierte) Kanten als -kantensorte-> Kanten des speziellen Typs "Nachfolger" werden meist als Leerzeichen geschrieben (statt -successor-> )

Grammatik modifiziert direkt den Graphen, Umweg über String-Codierung entfällt (bzw. wird nur noch für Regel-Eingabe gebraucht)

2 Regeltypen für Graph-Ersetzungsregeln in XL: L-System-Regel, Symbol: ==> sorgt für Einbettung der rechten Seite in den Graphen (d.h. ein- und ausgehende Kanten werden beibehalten) SPO-Regel, Symbol: ==>> Ein- und ausgehende Kanten werden gelöscht (sofern ihre Beibehaltung nicht explizit in der Regel angegeben wird) SPO von single pushout - ein Fachbegriff aus der universellen Algebra

a:A ==>> a C (SPO-Regel) B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ) C ==> A Ausgangs- graph: ABC Beispiel:

a:A ==>> a C (SPO-Regel) B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ) C ==> A ABC DEA

a:A ==>> a C (SPO-Regel) B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ) C ==> A ABC DEA a:

a:A ==>> a C (SPO-Regel) B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ) C ==> A AADE a: C = Endergebnis

Testen Sie das Beispiel sm09_b27.rgg : module A extends Sphere(3); protected void init() [ Axiom ==> F(20, 4) A; ] public void runL() [ A ==> RU(20) F(20, 4) A; ] public void runSPO() [ A ==>> ^ RU(20) F(20, 4, 5) A; ] ( ^ bezeichnet den Wurzelknoten im aktuellen Graphen)

Hausaufgabe zum (Dienstag, 9:15 Uhr): - Frischen Sie Ihre Kenntnisse zum dtd-Code wieder auf (siehe Teil 1 des Folienskripts) - Studieren Sie auf der Grogra-CD ( goettingen.de/grogracd/index.htm ) den Abschnitt Vom Messen zum Modell (ohne den Unterabschnitt Umsetzen). goettingen.de/grogracd/index.htm