Wir suchen ‘ mit m = m    ‘ c  ‘ mod 26 d.h. wir suchen ein ‘ mit   ‘  1 mod 26 Ein solches ‘ heißt multiplikatives Inverses zu  .

Zu welchen  findet man ein ‘ mit  • ‘  1 mod 26 ? Vorüberlegung: Zu welchen  findet man ein ‘ mit  • ‘  1 mod 26 ? Vielfache der einzelnen Zahlen modulo 26 Zahlen : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 1... Vielfache der 2: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 2 4 ... Vielfache der 3: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1 4 7 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23 0 3 ... Vielfache der 4: 0 4 8 12 16 20 24 2 6 10 14 18 22 0 4 8 ... Vielfache der 5: 0 5 10 15 20 25 4 9 14 19 24 3 8 13 18 23 2 7 12 17 22 1 6 11 16 21 0 5 ... Vielfache der 6: 0 6 12 18 24 4 10 16 22 2 8 14 20 0 6 12 ... ... Vielfache der 13: 0 13 0 13 0 13 ...

 mod 26 teilerfremd, d.h. ggT(, 26) = 1 Wir stellen fest: ‘ existiert zu   und 26 sind  mod 26 teilerfremd, d.h. ggT(, 26) = 1 Wie findet man jedoch ein solches multiplikatives Inverses ‘ ?

‘  1 mod d  teilerfremd existiert d.h. ggT(, d) = 1 Allgemein: ‘ mit  und d sind ‘  1 mod d  teilerfremd existiert d.h. ggT(, d) = 1 Wie findet man jedoch ein solches multiplikatives Inverses ‘ ?

Beispiele (multiplikative Inverse bestimmen): a) Wir berechnen ‘ zu  = 11 mod 26 b) Wir berechnen ‘ zu  = 17 mod 26

Euklidischer Algorithmus – zugrundeliegende Idee Bestimmung des ggT(792; 75): Die zugrundeliegende Idee: Sei a = qb + r mit a, b, q, r IN 0 0 r  b-1 792 = 10  75 + 42 Dann ist ggT(a;b) = ggT(b;r).   75 = 1  42 + 33 Im Beispiel gilt also: 42 = 1  33 + 9 ggT( 792; 75) = ggT(75; 42) = ggT ( 42; 33) 33 = 3  9 + 6 = ggT (33; 9) = ggT (9; 6) 9 = 1  6 + 3 = ggT(6;3) = 3 6 = 2  3 + 0 , also ist ggT(792; 42) = 3

Der erweiterte euklidischer Algorithmus Suche ganze Zahlen x und y mit der Eigenschaft, dass 3 = x 792 + y 75 . 792 = 10  75 + 42 = 9(792-10 75) – 575 = 9 792 - 95 75 75 = 1  42 + 33 = 4  42 – 5  (75 - 1  42) = 9  42 - 5  75 42 = 1  33 + 9 = 4  (42 – 1  33) – 1  33 = 4  42 - 533 33 = 3  9 + 6 = 9 – 1  (33 - 3 9) = 4  9 – 1 33 9 = 1  6 + 3    3 = 9 – 1  6 6 = 2  3

Aufgabe: Bestimme ganze Zahlen x und y mit 5 = x · 490 + y ·225 .