Entwicklung von Simulationsmodellen WS 2007/08 Dr. Falk-Juri Knauft Mittwoch 9.15 Uhr – Uhr S25 Praktikum zur Entwicklung von Simulationsmodellen: Mittwoch Uhr – Uhr GEO CIP-Pool Modul: 22a

Entwicklung von Simulationsmodellen WS 2007/2008 – Überblick I Einführung, Ziele, Definition System, Model Systemanalyse vs. –simulation, Zustandsbeschreibung

Was ist ein System? (Def.:) Ein System ist durch Angabe seiner (unterscheidbaren) Objekte der Kopplungen zwischen diesen Objekten seiner Eingangsgrößen seiner Ausgangsgrößen vollständig beschrieben. (Gipser 1999) 1. Bemerkung: Ein Systemrand ist nicht in der Definition enthalten. 2. Bemerkung: Objekte, Eingangsgrößen usw. müssen ausgewählt werden (Subjektivität des Systembegriffs) Wiederholung:

Zum Systembegriff Objekt 1 Parameter Zustände Objekt 2 Parameter Zustände Objekt 3 Parameter Zustände Eingangs- größen Ausgangs- größen Kopplungen Wiederholung:

(Def.:) Die Ersetzung eines Systems durch ein anderes ist eine Modellierung. Beispiele: Spielzeugautos HiP (Hardware-in-the-Loop) Systeme Computermodelle Was ist ein Modell ? Wiederholung:

Systemanalyse Ermittlung des Eingangs-Ausgangsverhaltens des Systems durch wiederholtes ("längeres") Beobachten Präparation: Versetzen in einen definierten Anfangszustand Stimulation: Vorgabe von Eingangsgrößen für Zeitintervalle oft synonym: Systemidentifikation (auch: Parametrisierung) Systemsimulation Durchführung von Experimenten mit Modellen dynamischer Systeme (synonym: Zustandssysteme) Systemoptimierung Algorithmische Parameteroptimierung nach Vorgabe einer Zielfunktion

Wieso Systemsimulation statt (und) – analyse? ggf. Zeit- und Kostenersparnis das Zielsystem existiert noch nicht (z.B. CAD/CAM) das Zielsystem existiert nicht mehr (z.B. Unfallrekonstruktion) Präparation und Stimulation sind unmöglich (Sonnensystem) Präparation und Stimulation sind gefährlich/unethisch /verboten (Ökosysteme, Biotechnologie) Simulationen sind reproduzierbar Simulationen können das Systemverständnis vertiefen oder die Analyse vorbereiten oder unterstützen

Systemmodellierung und -simulation Darzustellendes System (Mathematisches) physikalisches Modell (numerisches) diskretisiertes Modell Approximative Lösungen Bewertung Abstraktion/Modellierung Diskretisierung Simulationen Messungen am Zielsystem Auswertung, "Postprocessing" Validierung (Konsistenz?)

Zustände eines dynamischen Systems Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)? Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben: Die Menge der Zustandsgrößen sind genau die, deren Werte man alle kennen muss, um das Verhalten des Systems in der nahen Zukunft vorhersagen zu können. (?) Zustandsvektoren sind nicht eindeutig. Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n des Zustandsraums zu finden ist i.a. sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

Zustandsbeschreibung von Systemen Folgende Elemente werden benötigt: Zustandsvektor Eingangsvektor Parametervektor Ausgabevektor Systemfunktion Ausgangsfunktion

Äquivalenz von Systemen Def.: Zwei Systeme heißen äquivalent, wenn bei gleichen Zustandsgrößen zur Anfangszeit und gleichen (aber beliebigen) Eingangsgrößen über ein Zeitintervall die Zustandsgrößen auch am Ende des Intervalls gleich sind. Kommentare: reine Funktionsäquivalenz, keine Strukturäquivalenz Simulationen können höchstens Äquivalenz (nicht Identität) von Systemen zeigen Länge des Zeitintervalls evtl. entscheidend Großer Unterschied in der Leistungsfähigkeit, wenn Interaktion erlaubt sind (z.B. Turing-Test auf Intelligenz)

Historisches Beispiel: Ansätze für Bewegungsmodelle Newton –Kraft zur Veränderung von Bewegung –Bewegung als Zustand –Anfangsbedingungen legen Entwicklung fest –abstraktes Modell –idealisierte Experimente Aristoteles –Kraft zur Aufrechterhaltung von Bewegung –Bewegung als Prozess –Ende der Bewegung bekannt –realistisches Modell –anschauliche Demonstration Demo

Zeitkontinuierliche Systeme Beispiel: Fallende Masse ohne Luftreibung beschrieben durch DGL 1. Ordnung Zustandsgleichung Ausgangsgleichung Theorie: Lösungen sind stetig und differenzierbar, jeder Zeitpunkt kommt vor Praxis: Diskretisierung erforderlich, nur diskrete Zeitpunkte, Diskretisierungsfehler

Zeitdiskrete Systeme beschrieben durch Differenzengleichung Zustandsgleichung Zeit kommt nur in diskreten Schritten vor (Sprungzeitpunkte) Die Zustandsgrößen können Sprünge machen Kommen in einem Intervall nur endlich viele Sprünge vor, lässt sich das System exakt im Rechner darstellen Beispiel: Mit: 0 s<1

Das Beispiel als Matlab-Code g=9.81;s=0.8;h=0.001;n=10000; t=zeros(n,1);x=t;v=t;x(1)=5;h2=0.5*h;hg=h*g; for k=1:n-1 if x(k)<0 x(k)=0;v(k)=-s*v(k); end t(k+1)=t(k)+h;v(k+1)=v(k)-hg;x(k+1)=x(k)+h2*(v(k)+v(k+1)); end plot(t,x);

Der hüpfende Ball: Matlab-Ausgabe Zeit Höhe m s

Der hüpfende Ball zu späten Zeiten

Analyse der Stoßzeitpunkte Unendlich viele Kollisionen in endlicher Zeit Jedes diskrete Zeitschema versagt! (für s = 0.8)

Ein Problem bei t=9.087 sek ?

Simulationen Weitere Beispiele für Simulationen einfacher dynamischer Systeme: Pendel,Pendel Sonnensystem,Sonnensystem Uhr