Katja Losemann Chris Schwiegelshohn Tarjans Algorithmus zur Bestimmung der starken Zusammenhangs- komponenten Katja Losemann Chris Schwiegelshohn

Idee G = <V,E> gerichteter Graph Gesucht sind alle starken Zusammenhangskomponenten (SZK) Einmalige Tiefensuche durch den Graph reicht aus SZK werden durch Wurzeln der DFS- Teilbäume eindeutig identifiziert

Idee (Forsetzung) dfs_index(v): Reihenfolge der DFS-Aufrufe Stack S wird in der Reihenfolge der besuchten Knoten befüllt Bei Rückkehr Überprüfung ob aktueller Knoten v die Wurzel einer SZK Wenn eine Wurzel gefunden wurde, bilden alle Knoten des Stacks bis zu dieser Wurzel eine SZK

Lowlink zusätzlicher Wert lowlink(v) für alle v mit lowlink(v) =min ( {num[v]} {num[x] | v→*−x ) v Wurzel, wenn lowlink(v) = dfs(v)

Lowlink zusätzlicher Wert lowlink(v) für alle v mit lowlink(v) = min{dfs(v‘) | v‘ von v aus über beliebig viele Baumkanten erreichbar, gefolgt von maximal einer (v‘‘,v‘) wobei v‘‘ und v‘ in derselben SZK (insbesondere damit v‘ noch auf dem Stack)} v Wurzel, wenn lowlink(v) = dfs(v) 5

Algorithmus Eingabe Graph G ( V, E ) current_dfs := 0 V‘ := V S = ∅ // S ist der Stack while ( V‘ not emtpy) tarjan ( v ) // v ∊ V‘

Algorithmus (Forsetzung) Tarjan ( v ) : dfs_index( v ) := current_dfs lowlink( v ) := current_dfs S.push ( v ) current_dfs ++ V‘ = V \ { v } For ( v1 | ( v, v1 ) ∊ E ) if ( v1 ∊ V‘ ) tarjan ( v1 ) lowlink( v ) := min ( lowlink( v ), lowlink( v1 ) )

Algorithmus (Forsetzung) else if (v1 ∊ S ) lowlink( v ) := min ( lowlink( v ), dfs_index( v1 ) ) If ( lowlink( v ) = dfs_index( v ) ) repeat k = S.pop( ) //Ausgabe until ( k = v )

Beispiel dfs(v) lowlink(v)) lowlink(1) = 1 lowlink(5) = 2 10 12 11 10 12 11 lowlink(4) = 2 lowlink(9) = 6 lowlink(8) = 6 1 5 lowlink(7) = 6 8 9 lowlink(6) = 6 4 lowlink(3) = 0 lowlink(2) = 0 2 3 6 7 lowlink(10) = 3 lowlink(0) = 0 9 SZK 1 SZK 0,2,3,4,5 8 lowlink(12) = 11 SZK 6,7,8,9 SZK 11,12 7 lowlink(11) = 11 10 6 5 4 3 12 2 1 11 Stack:

Beweis – Korrektheit lowlink Fall 1: (v‘‘,v‘) Vorwärtskante Dann dfs(v‘) > dfs(v‘‘) trägt nicht zum Min bei Fall 2: (v‘‘,v‘) Rückwärtskante Dann v‘ noch auf dem Stack und in gleicher SZK Fall 3: (v‘‘,v‘) Querkante Entweder nicht im Stack und in nächster SZK, oder nicht im Stack und in gleicher SZK, dann aber normale Baumkante

Beweis - Korrektheit lowlink garantiert, dass es immer einen Weg zu einem Knoten höher im DFS-Baum als der aktuelle Knoten existiert lowlink(v) = dfs(v) ⇒ Kein Knoten oberhalb von v kommt für SZK in Frage Mit der letzten Kante kommt man nicht in eine SZK, die nicht aktuell und auf dem Stack liegt. Wäre ein Weg nur in einer Richtung vorhanden, wäre lowlink(v) = dfs(v)

Aufwand Aber ist das effizient berechenbar? Tarjan muss für jeden Knoten einmal aufgerufen werden Die Berechnung von dfs und lowlink erfolgt rekursiv über alle angrenzenden Kanten Insgesamt wird jede Kante maximal 2x betrachtet, damit: O( |V| + |E| )