Vorlesung Regelungstechnik 1 Nicht lineare Regelungen 21. Januar 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Version 1.0 vom 15. August 2002 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.1

Bisherige Themen Regelungstechnik 1 Themen bisher: Zusammenfassung Ergebnisse Systemtheorie (P, PTn, ITn, PID, Tt-Systeme) Darstellungsformen der Systemtheorie (DGL, G, h, g, GW, GZ, Bode, PN, Ortskurve) Methoden und Verfahren zur Einstellung von Reglern / Regler- synthese im Zeit- und Frequenzbereich (Ziegler, Symmetrisches Optimum, Betragsoptimum) Anwendungsbereich/Einschränkung: Analog arbeitende Systeme Lineare Systeme Zeitinvariante Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.2

Lineare / nicht lineare Systeme LTI-Systeme ist Voraussetzung für die bekannte einheitliche geschlossene Theorie (Systemtheorie): Zeitliches Verhalten mit linearen Differentialgleichungen Anwendung der Laplace-Transformation Vorhersage des statischen und dynamischen Verhaltens Getrennte Bestimmung des Führungsgrößen- und Störgrößenverhaltens. Nichtlineare Systeme: System ist linearisierbar: Linearisierung durchführen Rückführung auf LTI-System mit Anwendbarkeit der obigen Kriterien System nicht linearisierbar: Lösung nur im Zeitbereich Nicht lineare Dgls. Nicht immer lösbar Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.3

Definition der Linearität Für lineare Systeme gilt das Superpositionsprinzip: Genaue Definition der Linearität umfasst zwei Kriterien: Verstärkungsprinzip Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.4

Definition der Linearität Verstärkungsprinzip Superpositionsprinzip Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.5

Beispiel für lineares System P-System Überprüfung der Linearitätsbeziehungen: Verstärkungsprinzip Superpositionsprinzip Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.6

Definition lineares System Ein System ist dann linear, wenn es die Linearitätsprinzipien erfüllt: Alle Übertragungselemente, für die das Linearitätsprinzip nicht gilt, sind nichtlineare Übertragungselemente und haben nichtlineares Verhalten. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.7

Linearisierung nichtlinearer Systeme Analytisches Verfahren: Y = f(U,Z) = Z2/U + B Arbeitspunkt Yo;Zo;Uo; Gesucht: y = Ku u + Kz z Ku = f(U,Z)/U für Uo; Zo Ku = -Zo2/Uo2 Kz = f(U,Z)/Z für Uo; Zo Kz = 2 Zo/Uo y = -Zo2/Uo2 u + 2 Zo/Uo z Graphisches Verfahren: Ku = f(U,Z)/U für Uo; Zo Ku = ΔYu/ΔU für Zo Kz = f(U,Z)/Z für Uo; Zo Kz = ΔYz/ΔZ für Uo y = Ku u + Kz z Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.8

Lineares / Nicht lineares System Beispiel Bild 14.1-1, Wendt, S.704 Verstärkungsprinzip: Superpositionsprinzip: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.9

Eigenschaften lineare / nicht lineare Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.10

Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme Bei nicht linearen Systemen hat das Linearitätsprinzip keine Gültigkeit. Im nicht linearen System gilt das Verstärkungsprinzip nicht. Das nicht lineare System wirkt entsprechend seiner Begrenzung: Linear im Linearitätsbereich Nicht linearer – begrenzend außerhalb des Linearitätsbereich Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.11

Beispiel 10 1 : 1 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.12

Beispiel PT1 mit P-Regler Zeit = T/2 (oben) Nichtlinearität Zeit = T (unten) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.13

Beispiel Lösung für Sprung 1.5 mit Sättigung bei 1 : 1 Zusammengesetzte Lösung Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.14

Allgemeine Lösungsstrategie Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wird in Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann. Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt. (Ziel: Handelt es sich eventuell um ein bekanntes Standardüber- tragungsverhalten?) Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertra- gungsgliedes in die grafische Darstellung (Zeitverläufe w, e, x) ein- getragen und es werden die definierten Bereiche markiert. Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt (t=0). Damit liegt fest, in welchem Bereich des nichtlinearen Über- tragungsgliedes sich das System befindet. Der Zeitverlauf wird für jeden Bereich ermittelt und eingezeichnet. Bei Bereichswechsel sind die Start-(Anfangswerte) mit zu berücksichtigen. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.15

Anwendungsbeispiel w e y x Folgender Fall ist zu untersuchen: Nichtlineares System mit Sättigungsbereich bei 1:1 Sprungfunktion Sollwert w(t) = 1.5 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.16

Lösung (1) Nicht Linearität Element mit Begrenzung Bild Nr. 27 eingerahmter Kasten, Wendt, S. 770 oben Ableitung der Kennlinienbeschreibung Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.17

Lösung (2) Lösung für e > 1: Aus Kennlinie folgt y = 1 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.18

Lösung (3) Lösung für –1 < e < 1: Aus Kennlinie folgt y = e Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.19

Erstellen der Diagramme Übergang der beiden Fälle beim Durchgang beim Amplitudenwert 0.5 bei t = 0.69 s Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.20

Erstellen der Diagramme Übergang der Kennlinie Für t>0.69s findet der Übergang vom Konstanten auf den linearen Bereich der Kennlinie statt. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.21

Auswirkungen nicht linearer Systeme Führungs- und Störübertragungsverhalten können nicht getrennt von- einander betrachtet werden. Getrennte Überlagerung liefert andere Werte als bei gemeinsamer Berücksichtigung Bild 14.1-5, Wendt, S.710 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.22

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14.1-6, Wendt, S.711 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.23

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14.1-7, Wendt, S.711 Führungsverhalten Superposition Gleichzeitige Berück- sichtigung von w Und z Störübertragungs- sverhalten Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.24

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bei linearen Systemen können bei Reihen- Schaltung von Sys- temen die Übertra- gungssysteme getauscht werden. Bei nicht linearen Systemen führt dies zu falschen Ergebnissen Bild 14.1-8, Wendt, S.711 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.25

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14.1-9, Wendt, S.711 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.26

Auswirkungen nicht linearer Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.27

Auswirkungen nicht linearer Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.28

Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Schaltbild Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.29

Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Schaltbild Bild 14.1-12, S.714 oben Bild 14.1-13, Wendt. S.715 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.30

Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Zeitverläufe Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.31

Grundtypen nicht linearer Funktionen Folgende Grundtypen sind unterscheidbar: Analytische Funktionen Funktionale Zusammenhänge sind definiert y = sin(t), y = x2 Funktionen sind stetig und differenzierbar. Linearisierung nach Taylorreihenentwicklung im Arbeitspunkt möglich. Stückweise lineare Funktionen Unstetigkeit im Funktionsverlauf und der Ableitung. Zweipunktregler (ideal) Beschreibung erfolgt durch stückweise linearisierte Funktionen Mehrdeutige Funktionen Nicht eindeutige Verläufe (z.B. Hysterese, Umkehrspanne) Bei nicht eindeutigen Verläufen ergibt sich der richtige Wert aus der Historie Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.32

Beispiele für nicht lineare Funktionen Stückweise lineare Funktion Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.33

Beispiele für nicht lineare Funktionen Übersicht nicht linearer Funktionen Schaltende Elemente (Zwei-, Dreipunktregler) Schaltende Elemente mit Hysterese (Zwei-, Dreipunktregler) Elemente mit progressiver Kennlinie (Verstärkung wächst mit der Eingangsgröße) Elemente mit degressiver Kennlinie (Verstärkung fällt mit der Eingangsgröße) Elemente mit Begrenzung (Sättigung) Elemente mit Hysterese ohne Begrenzung Elemente mit Hysterese mit Begrenzung (Sättigung) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.34

Zweipunktregler mit PT1-Strecke Betrachtung einer PT1-Strecke mit Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT1-Strecke ohne Totzeit Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT1-Strecke mit Totzeit Variation der Schaltdifferenz Variation der Stellgröße Variation der Streckenzeitkonstanten Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.35

Zweipunktregelkreis / Zeitverlauf   Zweipunktregelkreis / Zeitverlauf t = 0 / Startwert: 0°C neuer Sollwert w := 450°C KS := 2,83°C/m3/h TS := 10 min yh := 300 m3/h xsd := 6°C (± 3°C) z Zweipunktregler Regelstrecke w y y Ofen KS; TS x ein aus x Zeitverlauf: für y := yh gilt: x(t) = 850°C(1-e-t/Ts) solange bis x(t) := xob (453°C) t1 = -TS ln(1-453/850) = 7,61min t3 = TS ln((850-447)/(850-453)) = 0,15 min für y := 0 gilt: x(t‘) = 850°C(e-t‘/Ts) solange bis x(t) := xun (447°C) t2 = TS ln(453/447) = 0,13 min xob xun Ergebnis: pendelnde Regelgröße zwischen xob& xun Regelgenauigkeit Schaltdifferenz Wert yh ist höher als für w erforderlich Wert 0 ist kleiner als für w erforderlich vorhandene Leistungsreserve yh t1 t2 t3 yh     Benedikt Faupel  Oktober 2001

Berechnungen Auswirkungen der Schaltdifferenz bei Varianz des Sollwertsprunges (w = 1, 2, ..., 10) Schaltdifferenz 2 Der Zweipunktregler steuert die Regelstrecke mit 2 definierten Stellgrößen yh und 0. Yh ist so gewählt, dass ein sehr großer Sollwert erreicht werden kann. (z.B. Gasstrom so hoch, dass bei permanenten Betrieb 800 °C er- reicht werden kann.) Aufheizung / Fahrweise mit hoher Stellgröße solange, bis gewünsch- ter Sollwert erreicht wird. Stellgröße 0 für Überschreiten des Sollwertes Abfallen der Regelgröße mit erreichtem Endwert (Aufheizvorgang) mit gleicher Zeitkonstante Schaltendes periodisches Verhalten des Regelkreises Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.37

Optimierung des Zweipunktregelkreises   Optimierung des Zweipunktregelkreises Optimierung / Einflussgröße Massnahme Auswirkung Ergebnis Zu große Regel-abweichung Xob / xun   Einsatz Zweipunkt-regler mit reduzierter Schaltdifferenz Xsd Höhere Schaltfrequenz / Reduzierung der Reglerlebensdauer Zeitkonstante Regelstrecke TS   Halbierung der Zeitkonstanten TS -> TS/2 kleine Zeitkonstante -> höhere Schaltfrequenz Prüfung der Schalthäufigkeit bei Reglerauswahl     Benedikt Faupel  Oktober 2001

Berechnung der Schaltfrequenz   Berechnung der Schaltfrequenz w Annahme Leistungsüberschuß 100 % w := xmax/2 Verhältnisgleichheit Winkel α xmax / 2TS = 2xsd / T fS := 1/T fS =  ¼ xmax/xsd 1/TS Herleitung Regelgröße: X(t) = Ksyh(1-e-t/Ts) Zeitpunkt t1: x(t=t1) = xmax/2 = ½ Ks yh t1 = TS ln(2) Anstieg im Punkt x(t1): dx(t)/dt = Ks yh / TS e-t/Ts dx(t1)/dt = Ks yh / TS e-t1/Ts = Ks yh / 2TS = xmax / 2TS     Benedikt Faupel  Oktober 2001

Einfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf   Einfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf Annahmen: Zweipunktregler mit Xsd := 0 Regelstrecke (PTn)mit Tu und TG Xpa Regeldifferenz; ΔX Schwankungsbreite Fallbeispiele: Stellbereich 100% Dauereinschaltung Sollwert = xMax / Endwert w Stellgröße ausreichend für Erreichen von w Stellbereich 125% Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 4 xpa positiv Sollwert > xm / Endwert 1,25 w Stellbereich 200% Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1 xpa = 0 Sollwert = xm / Endwert 2 w Stellbereich 500% Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1/4 xpa negativ Sollwert < xm / Endwert 5 w Tein/T = ¾ ΔX Tein/T = ½ Tein/T = ¼     Benedikt Faupel  Oktober 2001

Zweipunktregler mit PT1-Strecke Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.41

Zweipunktregler mit PT1-Strecke Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.42

Zeitverhalten mit PT1-Strecke mit Totzeit und Schaltdifferenz Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.43