Ganzzahligkeit in LP-Modellen Problematik * Modellierung * Lösungswege Ganzzahligkeit 1

Modelle mit Ganzzahligkeitsbedingung Agenda Problematik Modelle mit Ganzzahligkeitsbedingung Direkte Modelle Codierte Modelle Transformierte Modelle Lösungswege Schnittebenen Branch and Bound Ganzzahligkeit 2

1. Problematik der Ganzzahligkeit Als Lösungen kommen nur die ganzzahligen Punkte in Betracht: Ganzzahligkeit 3

Lösungsraum ist nicht konvex. Schwierigkeiten Lösungsraum ist nicht konvex. Lösungen liegen i.d.R. nicht auf dem Rand. Gerundete Lösungen sind vom Optimum i.d.R. weit entfernt. Dieses gilt besonders für sog. 0-1-Probleme. Ganzzahligkeit 4

Klassifizierung von IP-Problemen Klassifizierung von Integer Problemen: Ganzzahligkeit 5

Durch Hinzufügen der Anweisung "ganzzahlig" für einzelne 2.1 Direkte Modelle Durch Hinzufügen der Anweisung "ganzzahlig" für einzelne oder alle Variablen (z.B. beim Verschnittproblem): Man bezeichnet das entsprechende LP-Probleme ohne die Ganzzahlig- keitsbedingung als relaxiertes Problem. Ganzzahligkeit 6

2.2 Codierte Modelle Wenn die Entscheidungsvariablen einen qualitativen Aspekt repräsentieren, für den es genau definierte, endliche Zustände gibt, erhält man codierte Modelle. Besonders häufig: Es gibt nur zwei definierte Zustände, die man durch sog. Binärvariablen abbilden kann. Beispiele hierfür: Kapitalbudgetierung (Investition: ja / nein) Maschinenbelegung (Auftrag auf Anlage: ja/nein) Stundenplanerstellung (Zuordnung: ja/nein) Knapsackproblem (Gut: ja/nein) Travelling Salesman (Strecke: ja/nein) Lieferplan (Lieferung: ja/nein) Standort (Ort: ja/nein) Graphenprobleme (Covering, Matching, Colouring) Ganzzahligkeit 7

2.3 Tranformierte Modelle Eine Binärvariable wird als Indikator-variable benutzt, die einen bestimmten Zustand in Abhängigkeit des Wertes einer anderen Variable eine Beschränkung induziert. Typisch sind dabei "Wenn … dann …"-Bedingungen, also logische Abhängigkeiten. Ganzzahligkeit 8

Jedem Wert ordnet man eine Indikatorvaiable zu: 2.3.1 Diskretwertmodelle Eine Aktivität (Variable) soll nur einen von mehreren, vorher bestimmte Werte annehmen dürfen: Jedem Wert ordnet man eine Indikatorvaiable zu: Ganzzahligkeit 9

2.3.2 Batch Size Probleme Einfache Dichotomie Eine Variable soll entweder Null sein oder eine bestimmte Untergrenze nicht unterschreiten: Ein Produkt j soll entweder nicht oder – wenn schon – dann mindestens in der Menge lj gefertigt werden. Es sei uj eine künstliche oder natürliche Obergrenze für die Variable xj: Ganzzahligkeit 10

2.3.3 Disjunkte Variablen Von n Variablen (die bestimmten Aktivitäten zugeordnet sind), soll entweder eine einen Wert größer Null haben oder mindestens p einen Wert größer Null haben oder höchstens q einen Wert größer Null haben. Zu jeder Aktivitätsvariablen xj mit der Obergrenze uj wird ein Indikatorvariable yj gewählt: Ganzzahligkeit 11

2.3.4 Disjunkte Nebenbedingungen Aus einer Menge von Nebenbedingungen fi(x1,x2,…,xn) bi seien aktiv: genau eine ( m-1 sind relaxiert) mindestens p ( höchstens m-p sind relaxiert) höchstens q ( mindestens m-q sind relaxiert). Es sei M eine große Zahl (M>>bi): Ganzzahligkeit 12

2.3.5 Nebenbedingung mit alternativen RS Für eine Nebenbedingung f(x1,x2,…,xn)=b soll alternativ eine RS b{b1 oder b2 oder… } gelten: Falls mit einer schrittweisen Kapazitätserweiterung b1<b2<… Kosten d1<d2<… verbunden sind, berücksichtigt man ín der Zielfunktion: Ganzzahligkeit 13

2.3.6 Fixed Charge Problem Klassisches Fixkostenproblem: Für jede Variable xj ist eine Indikatorvariable yj zu definieren: Ganzzahligkeit 14

2.3.7 Vereinigung konvexer Gebiete (1) Die Vereinigung konvexer Gebiete ist i.d.R. nicht konvex: Ganzzahligkeit 15

2.3.7 Vereinigung konvexer Gebiete (2) Jedes Gebiet ist für sich durch lineare Ungleichungen definiert: Ganzzahligkeit 16

Formulierung logischer Verknüpfungen Xi eine Aussage, z.B. Xi = wahr, wenn Produkt i hergestellt wird, d.h. xi > 0 yi = 1, wenn Xi = wahr; yi = 0, wenn Xi = falsch Ganzzahligkeit 17

Logische Impliklationen (1) Ganzzahligkeit 18

Logische Impliklationen (2) Ganzzahligkeit 19

Logische Impliklationen (3) Ganzzahligkeit 20

Logische Impliklationen (4) Ganzzahligkeit 21

Logische Impliklationen (5) Ganzzahligkeit 22

Logische Impliklationen (6) Ganzzahligkeit 23

2.3.7 Vereinigung konvexer Gebiete (2) Jedes Gebiet ist für sich durch lineare Ungleichungen definiert: Ganzzahligkeit 24

Anwendung der logischen Implikation Typ (3) Ganzzahligkeit 25

Anwendung der logischen Implikation Typ (3) Ganzzahligkeit 26

Anwendung der logischen Implikation Typ (3) Ganzzahligkeit 27