Problemorientierung als eine Leitidee im Mathematikunterricht Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 05.12.2002 Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Wellenreiten? Mengenleh(e?)re? „Back to basics“? Anwendungsorientierung (vgl. PISA)? Computerorientierung? Problemorientierung?! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Mögliche Anlässe zur Intensivierung eines problemorientierten Mathematikunterrichtes Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

PISA ! Neu(est)er Anlaß: Zunächst die Ergebnisse der TIMS-Studie und vor kurzem die der PISA-Studie haben in der deutschen Bildungslandschaft wie eine Bombe eingeschlagen. Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Anlass 1: Bruchrechnung „Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht über ein Fünftel hinauskam.” (aus der Süddeutschen Zeitung) Ein mögliches Ergebnis derartiger Bemühungen wird etwa durch das folgende Beispiel verdeutlicht (vorlesen): Sollte uns das nicht zu denken geben? Manch Träger der neueren deutschen „Leid-Kultur“ aus der Blödelszene würde vielleicht sagen: ich denke nein. Das ist für uns natürlich nicht akzeptabel! Wie können mögliche Alternativen aussehen? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Anlass 2: Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen 1. Schraffiere in folgender Figur zunächst die Hälfte und sodann zusätzlich ein drittel von ihr. Welchen Anteil hast du insgesamt schraffiert? 2. Ergebnisse einer von Hasemann durchgeführten Studie zur Bruchrechnung: Vor deren Behandlung konnten noch die meisten Kinder Aufgaben des Types 1 und 3 bearbeiten, danach konnten sie (natürlich) zwar besser Aufgaben des Typs 2, aber kaum noch solche von Typ 1 und 3 korrekt lösen. Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik. 3. Sieben Äpfel sind unter vier Kindern aufzuteilen. Wieviel bekommt jedes? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Anlass 3: Eine Erfahrung aus Finnland In einer TIMSS-Nachfolgeuntersuchung schnitten finnische Achtklässler gegenüber anderen Ländern am besten bei Aufgaben aus der Wahr-scheinlichkeitsrechnung ab. Die finnischen Schüler hatten das als einzige noch nicht im Unterricht behandelt! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Anlass 4: Eine PISA-Aufgabe Eine Robbe muss atmen, auch wenn sie schläft. Martin hat eine Robbe eine Stunde lang beobachtet. Zu Beginn seiner Beobachtung befand sich die Robbe an der Wasseroberfläche und holte Atem. Anschließend tauchte sie zum Meeresboden und begann zu schlafen. Innerhalb von 8 Minuten trieb sie langsam zurück an die Oberfläche und holte Atem. Drei Minuten später war sie wieder auf dem Meeresboden, und der ganze Prozess fing von vorne an. Nach einer Stunde war die Robbe: a) auf dem Meeresboden b) auf dem Weg nach oben c) beim Atemholen d) auf dem Weg nach unten? Ist das eine „realistische Aufgabe“? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Einige Fragen Wieso konnte der Junge (nachts?) bis zum Grund des Meeres sehen? Wie viel Zeit benötigt die Robbe zum atmen? Wie lange liegt die Robbe am Boden? Wie könnte man die Aufgaben „geeignet“ variieren? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Anlass 5: Kuchenproblem (TIMSS Japan) Für die Gäste einer Geburtstagspartie sollen 10 Stück Kuchen eingekauft werden. Dafür stehen 21 Euro zur Verfügung. Man kann zwei verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte 2,3 Euro. Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das? Problem aus Japan von der TIMSS-Video-Studie, in der Unterricht aus Japan/USA/Deutschland verglichen wurde Hierzu etliche Lösungen zunächst eine „originale“: Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Aki (8te Klasse): Torte Bienenstich Summe Stück Kosten Stück Kosten 10 23 0 0 23 9 20,70 1 2 22,70 ...... ....... ..... .... .......... 4 9,20 6 12 21,20 3 6,90 7 14 20,90 Aki nähert sich vorsichtig der Lösung, indem sie zunächst zu viel Stück Torte nimmt und dann schrittweise deren Zahl verringert und jeweils durch einen Bienenstich ersetzt, bis das Geld schließlich für insgesamt 10 Stück reicht. Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Dieter (8te Klasse): x  2,30 + (10 – x)  2  21 x  0,30  1 x = 3 Dieter (in der „Wirklichkeit“ auch ein Japaner) ist ein Formelfreak und bedient das Lernziel „Aufstellen und Lösen einer Ungleichung“, allgemeiner: „Mathematik ist, wenn mit möglichst viel Formeln operiert wird“, am besten. Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Clara (4. Klasse): „Zunächst 10 Bienenstich ‚kaufen‘. Dann habe ich noch einen Euro über. Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30 Cent mehr. Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4 mal liegt schon drüber. Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen 3 Tortenstücke eintauschen und fertig!” Clara ging in eine Jenenser Grundschule und hat diese Lösung aufgeschrieben. Sehr elegant! Vom japanischen Lehrer wird die zuvor vorgestellte algebraische Lösung als die beste bezeichnet, was mir ein bißchen problematisch erscheint: sie ist zwar von größter Reichweite, aber nicht die eleganteste und einfachste für diese Aufgabe. Da gefällt mir Claras Lösung am besten. Vgl. MN9, S. 246 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Was ist Problemorientierung? Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Was ist ein Problem? Eher eine Aufgabe: "In a discus-throwing competition, the winning throw was 61.60 m. The second-place throw was 59.72 m. How much longer was the winning throw than the second-place throw? A. 1.18 m B. 1.88 m C. 1.98 m D. 2.18 m." (Aus TIMSS 1994; "Performance Expectation: Solving Problems"!). Eher ein Problem: „Wie viele rechte Winkel kann ein Vieleck haben?“ (Szambien 1992, 1996; vgl. MN 8, S. 163 A2 ). Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Probleme – einige Kriterien Orientierung an (echten) Problemen, d. h. Bsp.: Kuchenaufgabe Nicht sofort Lösung parat (hängt von der jeweiligen Person ab) Erfordert selbständiges Denken Lässt mehrere Lösungswege zu Ist ausbaufähig Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Wie lässt sich das unterrichten? Klassische Methode: Mögliche Effekte: s. „Anlässe“ Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Mögliche methodische Alternativen Bsp. 1: Ordne folgende Brüche der Größe nach: Wie überlegen Sie? Wer hat mittels Hauptnennerbildung gearbeitet? Ohne? Das ist dann wohl auch für die Schüler gut. „dichter bei 1“ als Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Eine Methode zur Initiierung („Nichtverhinderung“) von Denkprozessen! Problemorientierung? Eine Methode zur Initiierung („Nichtverhinderung“) von Denkprozessen! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Bsp. 2: Division von Brüchen: „Zähler durch Zähler, Nenner durch Nenner“ Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Bsp. 3: Wanderungen im Zahlenhaus Vgl. MN5, S. 93, Ü. 18 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Mögliche Fragen Wie viele verschiedene Wege findet ihr? Durch wie viele verschiedene Räume kommt ihr dabei? Auf jedem Weg sollen die Zahlen addiert werden. Welches ist die größte, welches die kleinste Zahl? Kommen dazwischen alle Zahlen als Wegsummen vor? Gibt es verschiedene Wege mit gleicher Summe? Welche Variationen der Aufgabe findet ihr? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Bsp. 4: Sortierspiel ? Bubble-Sort: Wie viele Züge benötige ich mindestens, um die Plättchenreihe in der angegebenen Weise zu ordnen? schon in der Grundschule einsetzbar; fundamentale Idee der Informatik: Algorithmen; hier Sortieralgorithmus Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Sortierspiel 2 + 1 Also bei n Plättchen von jeder Farbe n(n-1)/2 2 + 1 Also bei n Plättchen von jeder Farbe n(n-1)/2 Moral: Anschauung und verschiedene Darstellungsweisen unterstützen. Nicht zu früh und zu viel Formalismus! 4 + 3 + 2 + 1 MN 7, S. 250, Projekt Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Bsp. 5: LGS I) x+2y=1 2x+2y=1 II) x+2y+3z=1 2x+2y+3z=1 3x+3y+3z=1 III)x+2y+3z+4u=1 2x+2y+3z+4u=1 3x+3y+3z+4u=1 4x+4y+4z+4u=1 IV) x+2y+3z+4u+5v=1 2x+2y+3z+4u+5v=1 3x+3y+3z+4u+5v=1 4x+4y+4z+4u+5v=1 5x+5y+5z+5u+5v=1 MN9, S. 48, Ü16 Was ist die Lösung eines entsprechend „gebauten” LGS mit n Variablen und n Gleichungen? Du kannst dir bei der Suche nach einer Vermutung ggf. von einem Computeralgebrasystem (CAS) helfen lassen. Begründe deine Vermutung. Setze oben in der letzten Spalte (rechts vom Gleichheitszeichen) die Zahlen 1; 2; 3; ...n (bzw. n; (n-1); (n-2); ...3; 2; 1; n Mal n bzw. n Mal a) ein. Welche Lösung erhältst du in diesen Fällen? Begründung? Erfinde selber „gemusterte Gleichungssysteme” (du kannst dich z. B. durch figurierte Zahlen anregen lassen!) mit einfachen Lösungen! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Bsp. 6: Ulam Spirale Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Bsp. 7: Pythagoras und al Sijzi Al Sijzi hat durch Variationen klassischer Probleme und Aufgaben schon vor über 1000 Jahren ganze Problemfelder bestellt Vgl. MN 9, S. 129 A2 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Bsp. 7: Pythagoras und al Sijzi Wer war al-Sijzi? Abu Sa’id Ahmad ibn Muhammad ibn ’Abd al-Jalil al-Sijzi, lebte im 10. Jahrhundert aus Sijistan im heutigen Südostiran bzw. südwestlichen Afghanistan Übersetzung des Aufgabentextes: PD Dr. Sonja Brentjes Al Sijzi hat durch Variationen klassischer Probleme und Aufgaben schon vor über 1000 Jahren ganze Problemfelder bestellt Vgl. MN 9, S. 129 A2 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Warum Problemorientierung? Lernpsychologie und Hirnforschung (Konstruktivismus und Konnektionismus) Gesellschaftliche Erfordernisse Geschichte der Mathematik Fortschritt in der Mathematik primär durch Lösen von herausfordernden Problemen als Quelle für eine (nicht nur) kognitionspsychologische Langzeitstudie Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Mögliche Invarianten: wesentliche mathematische (Denk-) Tätigkeiten Axiomatik Mögliche Invarianten: wesentliche mathematische (Denk-) Tätigkeiten Beweise Heuristik Ordnen Riten, ReligionÄsthetik Begründen Finden Würfelspiel; U.-Mathem. Bewerten Spielen Der Gang in die Geschichte zeigt den ungeheuren Reichtum und die Vielfalt mathematischen Tuns. Schaut man nach, welche Tätigkeiten innerhalb der letzten 5000 Jahren immer wieder neue Ergebnisse hervorgebracht haben, so kann man z. B. zu folgenden Tätigkeiten kommen:........ Da diese Tätigkeiten nachweislich besonders erfolgreich waren, ist es sicher auch angebracht, diese bei der Zielsetzung für den MU mit zu berücksichtigen. Berechnen Konstruieren Kalküle, Algorithmen Architektur Geometrie Anwenden Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Wichtige heuristische Methoden Inhaltliches Lösen Darstellungswechsel Rückwärtsarbeiten (analytische Methode) Analogisieren atomistische Methoden Variieren und Verallgemeinern Abstrahieren Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Entwicklung einer Schulbuchreihe Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Probleme mit der Problemorientierungen: Implementierungsschwierigkeiten „Zeitmangel“? „Richtige Probleme sind nur etwas für besonders begabte Schüler“? „Eigentlich machen wir das doch schon längst!“? „Vermittlung von Grundwissen und Routinetechniken ist am wichtigsten“? Stellenwert von Bildung und Lernen in der Gesellschaft? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena

Aus der Geschichte der Philosophie Ich höre, und ich vergesse, ich sehe, und ich erinnere mich, ich tue, und ich verstehe! Auch früher wurde schon die Tätigkeit als ein wesentlicher Weg zum Verständnis erkannt. Konfuzius, (551- 479 v. Chr.) Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 2002 B. Zimmermann FSU Jena