Quadratische Gleichungen und Namen x² - x – 1 = 0 ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Die allgemeine (Null)Form der quadratischen Gleichung lautet: ax² + bx + c = 0 mit a, b, c IR und a0 x ist die Variable, deren Lösung gesucht wird. a, b und c sind Formvariablen (Koeffizienten), die für rationale Zahlen stehen. Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied heißt reinquadratische Gleichung, sonst gemischtquadratische Gleichung. ax² heißt quadratisches Glied bx heißt lineares Glied c heißt konstantes Glied

Quadratische Funktionen und Namen Die allgemeine Form der quadratischen Funktion lautet: y = ax² + bx + c mit a, b, c IR und a0 Die einfachste quadratische Funktion lautet: y = x² Die Wertetabelle dieser Funktion: Zeichne den Graphen! Der Graph dieser Funktion heißt Normalparabel. Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind die Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung.

Wertetabellen erstellen x² - x – 1 = 0 Berechne die y-Werte der Funktion y = x² - x - 1 Zeichne den Graphen!  Lies die Nullstellen ab!

Der Fosbury-Flop 1968 in Mexiko y = -(h-h1+h2):s² ·x² + (h +h2)

Kugelstoßen Beim Kugelstoßen hängt die Wurfweite der Kugel im wesentlichen von a) der Abstoßgeschwindigkeit v b) der Abstoßhöhe h c) dem Abstoßwinkel ab. Ein relativ günstiger Abstoßwinkel ist 45° . Man kann nun unter Verwendung von ein wenig Physik zeigen, dass für die Flugkurve der Kugel unter diesen Voraussetzungen die folgende Gleichung gilt:

Berechnung von Funktionswerten mit Excel Die folgende Tabelle zeigt einige ausgewertete Stöße von der Olympiade 1972 in München, die damals mit Hilfe einer Videokamera ausgewertet wurden: Sind die gemessenen Stoßweiten in Übereinstimmung mit der Formel? Berechne auch den Fehler (w entspricht 100%).

Lösung und theoretische Flugkurve

Übungen Mh9S158 Nr. 4, 5 5. Stelle die Gleichung auf

Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen S. 161 Bsp.: 1. Umstellen 2. Als zwei Funktionen auffassen und zeichnen: y = x² und y = -0,5x+3 3. Erste Koordinate der Schnittpunkte von Parabel und Gerade ablesen: x1 = -2; x2 = 1,5 4. Proben: (-2)² + 0,5·(-2) –3 = 0 und (1,5)² +0,5·1,5 –3 = 0 5. Lösungsmenge: IL={-2;1,5}

Übungen Mh9S161Nr7 x² =-2x d. x² = -1,5x +1 g. x² = 0,9x – 0,5 j. x² = -5x-6,25 x² = 2,25 e. x² = -1,5x –3 h. x² = 0,9x +3,6 k. x² = -5x -7 x² = -0,5x f. x² = 2x +3 i. x² = -0,5x + 3 l. x² = x +2

a. x² =-2x b. x² = 2,25 c. x² = -0,5x d. x² = -1,5x +1 e a. x² =-2x b. x² = 2,25 c. x² = -0,5x d. x² = -1,5x +1 e. x² = -1,5x –3 f. x² = 2x +3 g. x² = 0,9x – 0,5 h. x² = 0,9x +3,6 i. x² = -0,5x + 3 j. x² = -5x-6,25 k. x² = -5x -7 l. x² = x +2 IL= {-2; 0} IL= {-1,5; +1,5} IL= {-0,5; 0} IL= {-2; 0,5} IL= {} IL= {-1; 3} IL={} IL={-1,5; 2,4} IL= {-2; 1,5} IL={-2,5} IL= {} IL= {-1; 2} Lösungen

Anzahl der Lösungen

Mh9S160Nr5 zwei Lsg. eine Lsg. keine Lsg. 4 -1 1 geht nicht -4 -3 -2 3 Setze - soweit möglich - für  eine Zahl so ein, dass die Gleichung zwei Lösungen, (2) genau eine Lösung, (3) keine Lösung besitzt. x² =  x² = ·x x² = ·x – 2,25 x² = -4·x +  zwei Lsg. eine Lsg. keine Lsg. 4 -1 1 geht nicht -4 -3 -2 3 5

Lösung der reinquadratischen Gleichung Zeichnerische Lösungen sind weder genau noch elegant. Darum werden gesucht die Lösungen zu ... 9x² - 16 = 0 2x² + 20 = 34

Mh9S162Nr2 x1=-5 und x2 = +5 e. keine Lösung keine Lösung y1=-0,4 und y2 = +0,4 e. keine Lösung f. x1=-9 und x2 = +9 g. x1=-5und x2 = + 5 h. z1=-4 und z2 = +4

Verallgemeinerung Eine reinquadratische Gleichung kann man in die Form x² = r bringen (r  ). Die Lösungen sind (in Abhängigkeit von r):

Aufgaben Mh9S163Nr8 a. x² - 20x = 144 – 20x  x² = 144  x1= - 12; x2 = +12 b. 9x² +9x-7x+77=86+2x  x² = 1  x1= - 1; x2 = +1 c. 3x² +21x+5x²-10x=11x+60,5  x² = 7,5625  x1= - 2,75; x2 = +2,75 d. 14x²-56x=45-110x+9x²+54x  x² = 9  x1= - 3; x2 = +3 e. x²+8x+16+x²-8x+16=34  x² = 1  x1= - 1; x2 = +1 f. z² - 8z +5z -40= -3z -24  z² = 16  x1= - 3; x2 = +3 g. 25x²+70x+49-49x²-70x-25=-72  x² = 4  x1= - 2; x2 = +2 h. 1/3x²+5/3-1/5x²+1/5 = 4+  x² = 16  x1= - 4; x2 = +4

Aufgaben Mh9S163Nr9+11 x²=9/4 x²=8 x²=-8 x²=0 x²=0,16 x²=49

Aufgaben Mh9S163Nr10 a. x² +16 = 41  x² = 25  x1= - 5; x2 = +5 b. 4x² = 75+x²  x² = 25  x1= - 5; x2 = +5 c. x/2 · x/4 = 50  x² = 400  x1= - 20; x2 = +20

Die reinquadratische Gleichung und die reinquadratische Funktion

Lösen einer gemischtquadratischen Gleichung der Form (x-d)²=r

Zum Festigen und Weiterarbeiten S164 Nr2-4 x+5 =7 x-4 =0 x-1 =3 IL={} x² + 8x +16 x² -14x +49 x² + 5x +6,25 x² - 3,5x +49/16 (x+6)² (x-2,5)² (x-3,5)² (x-2/5)² 14x 2,4y 9 9/16 (x-6)² = 25 x1= -19; x2 = 31 (x+9/2)² = 9/4 x1= -6; x2 = -3 (y – 3)² = 11

Übungen Mh9S164Nr5

Aufgaben Mh9S165Nr6-8 6a. (1) x² - 4x +4; x² + 1,2x +0,36; ... 6b. (1) (x+6)² (2) (x-9)² ... 6c. (1) x² + 8/5x + 16/25 (2) z² - 2,6z +1,69 ...

Mh9S165Nr7 a. (x–3)² = 36  Ix – 3I=6  x1=9 oder x2= – 3 b. (x+4)² = 49  Ix+4I=7  x1=3 oder x2= – 11 c. (x–4)² = 0  Ix–4I=0  x1=4 oder x2= 4 d. (x–0,9)² = 0,25  Ix – 0,9I=0,5  x1=1,4 oder x2= 0,4 e. (x+5/2)² = 81/4  Ix +5/2I=9/2  x1=2,0 oder x2= – 7 f. (x–0,5)² = 1,44  Ix – 0,5I=1,2  x1= – 0,7 oder x2= 1,7 g. (z+8)² = 7  Iz +8I=7  z1=–8+ 7 oder z2= –8– 7 h. (y–1,5)² = 5  Iy –1,5I= 5  y1 =1,5+ 5 oder y2=1,5– 5 i. (y–2,5)² = 8  Iy –2,5I= 8  y1 =2,5+ 2·2 oder y2=2,5– 2·2

Mh9S165Nr8 a. (x+5)² = 36  Ix +5I=6  x1=1 oder x2= – 11 b. (x–2)² = 16  Ix – 2I=4  x1=6 oder x2= – 2 c. (x+0,5)² = 0  Ix +0,5I=0  x1=–0,5 oder x2= –0,5

Die gemischtquadratische Gleichung und die gemischtquadratische Funktion

Lösung durch quadratische Ergänzung

Mh9S166Nr2+3 4 25 2,25 a. x² – 10x +25=49  |x–5|=7  x½= +5 ± 7  x1 = –2 ; x2 = 12 b. x² +2x +1 = 9  |x+2|= 3  x½= –2 ± 3  x1 = –5 ; x2 = +1 c. x² – 7x +3,5= 6,25  |x–3,5|=6,25 x½= +3,5 ± 2,5  x1 = 1 ; x2 = 6 d. y² +8y +16 = 25  |y+4|=5  x½= –4 ± 5  y1 = –9 ; y2 = 1 e. z² – 6z +9=1  |z–3|=1  x½= +3 ± 1  x1 = 2 ; x2 = 4 f. x² – 4x +4=3  |x–2|= 3  x½= +2 ± 3  x1 = –2 – 3 ; x2 = –2 + 3 g. x² – 5x +6,25= 0,25 |x–2,5|=0,5  x½= +2,5 ± 0,5  x1 = 2 ; x2 = 3 h. y² – 3y +2,25= 6,25  |x–1,5|=2,5 x½= +1,5 ± 2,5  x1 = –1 ; x2 = 4

Mh9S166Nr4 (1) x(x+3)=0 IL={–3;0} (2) x(x–0,9)=0 IL={0; 0,9} (3) x(5x–4)=0 IL={0; 4/5} (4) z(–2z+7)=0 IL={0; 3,5}

Erst in Normalform bringen! Ganze Gleichung durch 2 teilen Mh9S166Nr5 b (1) x² +8x +7 =0  x² + 8x + 16=9  x½= –4 ± 3  x1 = –7 ; x2 = –1 b (2) x² + x –6 =0  x² + x +0,25=6,25  x½= –0,5 ± 2,5  x1 = –3 ; x2 = 2 b (3) x² +12x –28=0  x² +12x+36=64  x½= –6 ± 8  x1 = –14 ; x2 = 2 b (4) y² +10y +24=0  y² +10y +25=1  y½= –5 ± 1  y1 = –6 ; y2 = – 4 b (5) z² –15z +54 =0  z² –15z +56,25=2,25  z½=7,5 ± 1,5 z1 = 6 ; z2 = 9 b (6) y² –8/3y+7/9=0 y² –8/3y +64/36=1 y½= +4/3 ± 1 y1 = 2 1/3 ; y2 = 1/3

Lösungsformel für die Normalform der quadratischen Gleichung x² + px + q = 0 | –q x² + px = –q | + x² + px+ = –q+ | T (1. bin. Formel) , der Ausdruck unter der Wurzel, grenzt die Lösungen voneinander ab. Er heißt Diskriminante D (der Normalform) = –q | = x = x1 = x2 =

Mh9S167Nr7

Mh9S167Nr11

Normalform der quadratischen Gleichung und quadratische Funktion

Überprüfung 1 1. Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in Normalform: x² + px + q = 0 a) Gib die Lösungsformel an: x½= b) Gib die Diskriminante D an: D = c) Gib an, wann die quadratische Gleichung keine Lösung hat: Wenn D < 0 ist d) Gib an, wann die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat: Wenn D = 0 ist

Überprüfung 2 x² +p x +q = 0 x1 x2 +7 +12 -4 -3 -5 -24 8 -2 -35 7 -7   x1 x2 +7 +12 -4 -3 -5 -24 8 -2 -35 7 -7 +10 2 5 -21 +20 1 20 +2 -80 -10 +4 +3 -1 -22 +72 4 18 -6 -27 9 -12 Überprüfung 2

Überprüfung 3 x² +p x +q = 0   x1 x2 -2 +0 2 -1 +1 +3 -3 -4 +2 leer

Überprüfung 4 4. Zwei Zusatzpunkte: Der französische Mathematiker und Jurist François Viète (lat. Vieta 1540-1603) entdeckte einen Zusammenhang zwischen den Lösungen x1 und x2 und den Koeffizienten p und q der quadratischen Gleichung in Normalform. Vermutung: x1 + x2 = -p; x1  x2 =q Voraussetzung: x1 und x2 sind die Lösung der quadratischen Gleichung x² + px + q = 0 Behauptung: x1 + x2 = -p und x1  x2 =q Beweis: + =

Die Mitternachtsformel Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet: ax² + bx+ c = 0. Für a 0 (sonst wäre es keine quadratische Gleichung) lässt sich die Gleichung durch a dividieren, um die Normalform zu erhalten: Hier ist p = b/a und q = c/a. Also Der Wurzelterm lässt sich noch vereinfachen Und jetzt teilweise die Wurzel ziehen ... Vergleiche die Lösungen in deiner Formelsammlung S. 4 unten!

Anwenden der Mitternachtsformel a. a=1; b=9; c=20   x1= -5 und x2= -4 b. a=1; b=-15; c=57  D= 15² -4·57=-3  Keine Lösung c. a=4; b=68; c=289  D= 68² -4·4 · 289=0  x=-68/8=-8,5

Parameter der p-q-Formel D = p²/4 -1 p²/4 -1 > 0 zwei Lösungen p² > 4 p²/4 -1 = 0 eine Lösung p² = 4; p1= -2; p2=2 p²/4 -1 < 0 keine Lösung p² < 4 D = 9a² 9a² > 0 zwei Lösungen a² >0 9a² = 0 eine Lösung a² =0; a =0 9a² < 0 keine Lösung (nicht möglich)

Mh9S170Nr6 a. x1= –9; x2 = 1 b. x1= –4; x2 = 1 c. x1= 1; x2 = 2 d. leer e. x1= –15; x2 = 4,2 f. x1= –3,53; x2 = 1,28 g. leer h. x1= 0,2; x2 = 2 i. x1= 0,46; x2 = 6,54

Mh9S170Nr7 a. x1= 1 ; x2 = 21 b. x1= –6; x2 = -2 c. leer d. x1= –3,5; x2 = 0,5 e. x1= –0,5; x2 = 1,5 f. x1= –2,2; x2 = 2

Mh9S170Nr8 a. x1= -6,5 ; x2 = 8 b. leer c. x1= -4,56 ; x2 = -0,44 d. x1= –1,2; x2 = 2,67 e. leer f. x = 2,4 g. x = -1,4 h. x1= -6,45 ; x2 = -1,55 i. leer

Mh9S170Nr9 a. D < 0 keine Lösung b. D = 9 zwei Lösungen c. D = 0 eine Lösung d. D = 4 zwei Lösungen e. D = -104 keine Lösung f. D = 900 zwei Lösungen g. D = 0 eine Lösung h. D = 16 zwei Lösungen i. D = 169 zwei Lösungen

Mh9S170Nr10 a. D = 289 zwei Lösungen 12 und -5 b. D = 529 zwei Lösungen 14 und –9 c. D = -16 keine Lösung j. D= -99,8 keine Lösung d. D = -9 keine Lösung k. D = 11,6 zwei Lösungen 0,83 und –0,3 e. D = 441 zwei Lösungen 21 und 0 f. D = 74 zwei Lösungen 5 und –3,6 g. D = 0 eine Lösung 1,9 l. D= 6889 zwei Lösungen 7,5 und –0,8 h. D = 0 eine Lösung 0,15 i. D = 210 zwei Lösungen 6 und –8,5

Mh9S170Nr11 Gesucht werden zunächst die x Koordinaten der Schnittpunkte: -7,3x –12 = x² Lösungen: x1 = -2,5 und x2 = -4,8 Die dazugehörigen y Koordinaten findet man durch Einsetzen: y1 = (-2,5)² = 6,25 und y2 = (-4,8)² = 23,04 Gemeinsame Punkte sind (-2,5; 6,25) und (-4,8; 23,04)

Mh9S170Nr12 D zwei Lösungen zwei Lösungen Eine Lösung a Keine Lösung D = a² -16a Eine Lösung für 0 = a² - 16a = a(a-16) Also a1 = 0 a2 = 16 Zwei Lösungen für a² - 16a > 0. Dies gilt für a < 0 und für a > 16 (Siehe Graph) Keine Lösung für a² - 16 < 0. Dies gilt für 0<a<16 D = 4 –4a Eine Lösung für 0 = 4(1-a). Also a = 1 Zwei Lösungen für 4 – 4a >0 Also a < 1 Keine Lösung für 4 – 4a <0 Also a > 1 zwei Lösungen zwei Lösungen Eine Lösung a Keine Lösung

Mh9S170Nr13 (1) a=1 x² -5x = 0 x1 = 0 x2 = 5 (1) a=0 x² -0 = 0 x1 = 0 x2 = 0 (1) a=-4 x² +20x = 0 x1 = 0 x2 = -20 D = 25a² zwei Lösungen für 25a² > 0; also a² >0 Das gilt für alle a R \ {0} eine Lösung für 25a² = 0; also a² = 0 Das gilt für alle a = 0 keine Lösung für 25a² < 0; also a² < 0 Das ist nicht möglich x² -5ax = 0 x1;2 = 5a/2 ± Wurzel( 25a²/4 –0); x1 = 0 x2 = 5a. 5a = 6 für a= 6/5

Mh9S170Nr14 Die Diskriminante für a. ist D = 4² - 4a·(-5) = 16 + 20a Eine Lösung für D = 0, also 16 + 20a = 0  a = -0,8 Zwei Lösungen für D > 0, also 16 + 20a > 0  a > -0,8 Keine Lösung für D < 0, also 16 + 20a < 0  a < -0,8 Die Diskriminante für b. ist D = 8² - 4·a·a = 64 –4a² Eine Lösung für D = 0, also 64 – 4a² = 0  a1 = -4 und a2 = +4 Zwei Lösungen für D > 0, also 64 – 4a² > 0  a² < 16 Keine Lösung für D < 0, also 64 – 4a² < 0  a² > 16