Kapitel 5 Stetigkeit
Inhalt 5.1 Funktionen 5.2 Stetigkeit: Die Definition 5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften 5.4 Die Exponentialfunktion
(a, b) := {x Î R a < x < b}. 5.1 Funktionen Definition. Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Wir nennen die Menge aller reellen Zahlen x mit a x b das abgeschlossene Intervall mit den Endpunkten a und b und bezeichnen dieses mit [a, b]. Formal ausgedrückt: [a, b] = {x Î R a x b}. Das offene Intervall mit den Endpunkten a und b ist die Menge (a, b) := {x Î R a < x < b}. Entsprechend definiert man die halboffenen Intervalle (a, b] und [a, b).
Unendlich große Intervalle Ferner definiert man: [a, ) := {x Î R a x}, (a, ) := {x Î R a < x}, (–, b] := {x Î R x b}, (–, b) := {x Î R x < b}. Schließlich bezeichnet man auch R (= (–, ) ) als Intervall. Beispiele. Abgesehen von R wird [0, 1] das Intervall sein, das wir am häufigsten betrachten. (0, ) sind die positiven reellen Zahlen und [0, ) sind die nichtnegativen reellen Zahlen.
Funktionen Definition. Eine Funktion ist eine Abbildung von einem Intervall nach R (Bildbereich ist R). Meist werden wir sogar nur Funktionen von R nach R betrachten. Wenn f eine Funktion ist, schreiben wir f(x) für das Bild der Zahl x. Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte (x, f(x)) mit x Î R. Beispiele. f(x) = a, f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = 1/x3, f(x) = x. Bemerkung: Jede senkrechte Gerade schneidet den Graph einer Funktion in höchstens einem Punkt. Jede senkrechte Gerade durch einen Punkt des Definitionsbereichs schneidet den Graph genau einmal.
Wie kann eine Funktion gegeben sein? Möglichkeit 1: Durch eine Formel. Beispiele: f(x) = x2. Allgemein f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0; dies nennt man ein Polynom (n-ten Grades). f(x) = (x4+7x2+20x+8)/(x2+1) . Achtung! Bei gebrochen rationalen Funktionen muss der Nenner immer verschieden von Null sein! Das ist die häufigste Art, die uns begegnen wird, aber damit kann man nur einen kleinen Prozentsatz aller Funktionen beschreiben!
Wier kann eine Funktion gegeben sein? II Möglichkeit 1‘: Durch mehrere Formeln Beispiele: f(x) = x2 – 3x + 7, falls x < 0, f(x) = 10.000, falls x = 0, f(x) = x17 + 200, falls x > 0. oder: f(x) = 1, falls x rational f(x) = 0, falls x irrational.
Wie kann eine Funktion gegeben sein? III Möglichkeit 2: Durch eine Wertetabelle. Das sind endlich viele Werte (x, f(x)). Man kann damit nur die Funktionen beschreiben, die durch eine Wertetabelle eindeutig festgelegt sind (z.B. Polynome). Möglichkeit 3: Durch ein Orakel. Sie fragen x, das Orakel antwortet mit f(x). Gegenüber einer Wertetabelle hat dies den Vorteil, dass Sie die x vorgeben können, und dass Sie so viele f(x) erfragen können, wie Sie wollen.
4.2 Stetigkeit: Die Definition Stetig bedeutet unterbrechungslos (englisch: continuous). Unterbrechungslose Vorgänge sind das Normale. (Das lateinische Sprichwort dazu heißt: Natura non facit saltus, die Natur macht keine Sprünge). Uns prägen sich aber hauptsächlich Ereignisse ein, die durch eine Unstetigkeit gekennzeichnet sind. Besonders eindrücklich sind Ereignisse, nach denen es ganz anders ist als zuvor. („Es wird nie mehr so sein wie vorher.“) Beispiele: Durchbrechen eines Stockes, Zerbrechen einer Vase, Eintritt in die Schule, Geburt eines Kindes, Fall der Berliner Mauer, Tod, ...
Beschreibungen von Stetigkeit Sei f eine Funktion. Wir werden und der Definition der Stetigkeit schrittweise nähern. 1. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne abzusetzen zeichnen kann. 2. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprünge macht.
Motivation der Definition 3. Beschreibung: Wir definieren (zunächst) nur, was es heißt, dass eine Funktion f „in einem Punkt“ stetig ist. Sei also x0 eine reelle Zahl aus dem Definitionsbereich von f. Wir lassen x gegen x0 laufen und betrachten die zugehörigen Funktionswerte f(x). Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn) reeller Zahlen, die gegen x0 konvergiert. (Es gibt viele solche Folgen!) Dazu betrachten wir jetzt die zugehörigen Funktionswerte f(xn), also f(x1), f(x2), f(x3), ... Das ist auch eine Folge reeller Zahlen. Wenn diese gegen f(x0) konvergiert, dann ist f stetig in x0.
Die Definition Definition. Sei f eine Funktion, und sei x0 ein Element des Definitionsbereichs. Wir sagen, dass die Funktion f stetig im Punkt x0 ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) Für jede Folge (xn), die gegen x0 konvergiert (wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sein sollen) konvergiert auch die Folge (f(xn)). (b) Alle Grenzwerte der Folgen (f(xn)), die in (a) auftreten sind gleich f(x0). Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Was heißt „nicht stetig“? Um nachzuweisen, dass f nicht stetig im Punkt x0 ist, hat man zwei Möglichkeiten: Die Funktion f ist nicht stetig im Punkt x0, wenn mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen gilt: (a) es gibt mindestens eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert (wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sein sollen), für die die Folge (f(xn)) der Funktionswerte nicht konvergiert. (b) Es gibt eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert, so dass die zugehörige Folge (f(xn)) zwar konvergiert aber einen Grenzwert verschieden von f(x0) hat.
Beispiele stetiger Funktionen (a) Konstante Funktion f(x) = a. (b) f(x) = x. (c) f(x) = x2 ist stetig im Punkt x0 = 0. Denn: Sei (xn) eine Folge mit Grenzwert 0. Dann gibt es für alle e > 0 eine Nummer N, so dass xn = xn–0 < e ist für alle n N. Dann gilt auch f(xn) – f(x0) = xn2–0 = xn2 < e2 < e für alle n N. Also konvergiert auch die Folge der Funktionswerte gegen den Grenzwert 0 = f(x0). Somit ist f stetig im Punkt x0 = 0.
Beispiele (d) Die Funktion, die definiert ist durch f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 1 für x 0 ist nicht stetig im Punkt x0 = 0. (d) Die Funktion f, die definiert ist durch f(x) = x, ist auch im Punkt x0 = 0 stetig.
5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften Ziel: Aus einer oder zwei stetigen Funktionen entsteht eine neue stetige Funktion. Definition. Die Summe zweier Funktionen f und g ist definiert als. (f+g)(x) := f(x) + g(x) für alle x. Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x) = x2 + 2, so ist f+g die Funktion, die jedes x auf x3+x2+2 abbildet. 5.3.1 Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind, dann ist auch f+g eine stetige Funktion.
Beweis Beweis. Wir müssen zeigen, dass f+g in jedem beliebigen Punkt x0 stetig ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn), die gegen x0 konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge mit den Folgengliedern (f+g)(xn) gegen (f+g)(x0) konvergiert. Dazu sei e > 0 beliebig. Trick: Setze e* := e/2. Da f stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer N, so dass f(x0)–f(xn) < e* ist für alle n N. Da g stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer M, so dass g(x0)–g(xn) < e* ist für alle n M.
f(x0)–f(xn) < e* und g(x0)–g(xn) < e* für alle n N. Beweisabschluss Sei N die größere der beiden zahlen N und M. Dann gilt für alle n N: f(x0)–f(xn) < e* und g(x0)–g(xn) < e* für alle n N. Daraus folgt (f+g)(x0)–(f+g)(xn) = f(x0)+g(x0) – f(xn)–g(xn) = f(x0)–f(xn) + g(x0)–g(xn) < e* + e* = e. Also konvergiert die Folge aus den Gliedern (f+g)(xn) gegen (f+g)(x0). Somit ist f+g stetig im Punkt x0.
Produkt mit einer reellen Zahl Definition. Sei f eine Funktion, und sei r eine reelle Zahl. Wir definieren das Produkt rf von r mit f durch (rf)(x) .= rf(x) für alle x Beispiel: Wenn f definiert ist durch f(x) = x3, so ist 7f die Funktion, die jedes x auf 7x3 abbildet. 5.3.2 Satz. Sei f eine Funktion und r eine reelle Zahl. Wenn f stetig ist, dann ist auch rf eine stetige Funktion. Beweis. ÜA
Produkt und Quotient von Funktionen Definition. Seien f und g Funktionen. Wir definieren das Produkt fg und den Quotienten f/g der Funktionen f und g durch (fg)(x) .= f(x)g(x) und (f/g)(x) = f(x)/g(x) für alle x. Bemerkung: Um den Quotienten f/g definieren zu können, muss g(x) 0 sein für alle x. Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x) = x+2, so ist fg die Funktion, die jedes x auf x3(x +2) abbildet. 5.3.3 Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind, dann sind auch fg und f/g eine stetige Funktionen.
Polynome sind stetig 5.3.4 Folgerung. Jedes Polynom f(x) = anxn +an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 ist eine stetige Funktion. Beweis. Da die Funktion x x stetig ist, ist auch das n-fache Produkt dieser Funktion, also die Funktion x xn stetig. Also ist auch die Funktion x anxn stetig. Da Summen stetiger Funktionen stetig sind, ist also auch das Polynom f stetig. Bemerkung. Die Polynome sind mit die wichtigsten stetigen Funktionen, aber es gibt auch andere, z.B. die Sinusfunktion, die Funktion x x, die Exponentialfunktion usw.
5.4 Die Exponentialfunktion Definition. Für jedes x R definieren wir die Exponentialreihe Beispiel: exp(0) = 1. 5.4.1 Satz. Für jedes x R konvergiert die Exponentialreihe. Beweis. Wir wenden das Quotientenkriterium an. Sei x fest. Wir wählen n 2x. Dann gilt
Die Zahl e Definition. Wir definieren e := exp(1). (Eulersche Zahl) Es gilt: e = 2,718281828459… e ist eine irrationale (sogar eine transzendente) Zahl. Üblicherweise schreibt man auch exp(x) = ex. Man nennt diese Funktion die Exponentialfunktion. Bemerkung: Die Zahl e kann auch als Grenzwert der Folge (1 + 1/n)n aufgefasst werden.
Eigenschaften der Exponentialfunktion 5.4.2 Satz. Für alle x und y gilt exp(x + y) = exp(x)exp(y). Man nennt dies die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. 5.4.3 Folgerung. (a) exp(–x) = (exp(x))–1. (b) exp(x) > 0 für alle x. Beweis. (a) exp(x)exp(–x) = exp(x–x) = exp(0) = 1. Daraus folgt exp(x) 0 und exp(–x) = 1 / exp(x). (b) Für x 0 ist exp(x) = 1 + x + x2 / 2 + … 1. Für x < 0 ist –x > 0, also exp(–x) > 0, also exp(x) = 1 / exp(–x) > 0.