Kompressionsverfahren (für Texte) Prof. Dr. Th. Ottmann WS 2006-07

Motivation von Datenkompression Text 1 Seite Text mit 80 Zeichen/Zeile und 64 Zeilen/Seite und 1 Byte/Zeichen ergibt 80*64*1*8 = 40 kbit/Seite (5 KByte/Seite). Standbild 24 Bit/Pixel, 512x512 Pixel/Bild ergibt 512*512*24 = 6 Mbit/Bild (768 KByte/Bild) Audio CD-Stereo, Sampling-Rate 44,1 KHz, 16 Bit/Sample ergibt 2*44100*16 = 1,346 Mbit/s (172,266 KByte/s) Video Ein Vollbild 704x576 Pixel/Bild, 24 Bit/Pixel, 30 fps, ergibt 704*576*24*30=278,438 Mbit/s (34,805 MByte/s) WS 2006-07

Kompressionsverfahren für Texte Verlustfreie Kompression Original kann perfekt rekonstruiert werden Beispiele: Huffman Code, Lauflängencodierung, arithmetische Codierung, Lempel-Ziv Verlustbehaftete Kompression: Unterschied zwischen Original und decodiertem Objekt, nutzt physiologische und psychologische Eigenschaften des Auges und Ohres aus, erlaubt höhere Kompressionsraten Beispiele: JPEG, MPEG WS 2006-07

Verlustfreie Kompressionsverfahren Ziel: Finde umkehrbare Codierung, so dass das Original (der Text) wieder (verlustfrei) rekonstruiert werden kann. Beispiele: Huffmann-Code Lauflängen-Codierung Arithmetische Codierung Lempel-Ziv Codierung WS 2006-07

Verlustfreie Kompression - PS Musterersetzung (pattern substitution) Beispiel 1 Beispiel 2 Beide Ersetzungen erreichen die selbe Kompressionsrate WS 2006-07

Lauflängenkodierung (run-length encoding) Prinzip Ersetze Wiederholungen desselben Zeichens im Text („runs“) jeweils durch einen Zähler und das Zeichen Beispiel Text: AAAABBBAABBBBBCCCCCCCCDABCBAABBBBCCD Kodierung: 4A3B2A5B8C1D1A1B1C1B2A4B2C1D Folge: Gute Kompressionsrate nur erreichbar, wenn es häufig lange „runs“ gibt WS 2006-07

Lauflängenkodierung für Binärdateien Runs von Einsen und Nullen wechseln sich ab. Es genügt daher, nur die Länge der Runs zu speichern Beispiel: 0000000000000000000111111111111110000000000 19 14 10 0000000000000000011111111111111111100000000 17 18 8 0000000000000000111111111111111111111000000 16 21 6 0000000000111111110000000000000011111111000 10 8 14 8 3 0000000001111111100000000000000001111111000 9 8 16 7 3 0000000000011111000000000000000000111110000 11 5 18 5 4 0000000000001110000000000000000000011100000 12 3 20 3 5 0111111111111111111111111111111111111111110 1 41 1 0100000000000000000000000000000000000000011 1 1 39 2 WS 2006-07

Kodierung mit variabler Länge Die üblichen Zeichen-Codes (z.B. ISO 8859-1) verwenden gleich viele Bits für jedes Zeichen (8 Bits). Abhängig von der Sprache (Englisch, Französisch, Deutsch usw.) werden verschiedene Zeichen mit unterschiedlicher Häufigkeit verwendet. Ein Ansatz zur Datenkompression besteht darin, Zeichen die häufiger vorkommen mit weniger Bits zu kodieren als solche die seltener vorkommen. Beispiel Code 1: A B C D E ... 00001 00010 00011 00100 00101 ... Die Kodierung des Worts BLATTSALAT (2 12 1 20 20 19 1 12 1 20) mit konstanter Bit-Länge pro Zeichen (5 Bits für 26 Buchstaben) ist: 00010 01100 00001 10100 10100 10011 00001 01100 00001 10100 (50 Bits) Code 2: A T L B S ... 0 1 01 10 11 ... Kodierter Text: 10 01 0 1 1 11 0 01 0 1 (14 Bits) WS 2006-07

Kodierung ohne explizite Begrenzer Der im Beispiel gezeigte "Code 2" kann nur dann eindeutig dekodiert werden, wenn Zeichen-Begrenzer mit gespeichert werden. Das vergrößert die Datenmenge erheblich. Um die explizite Zeichenbegrenzung zu umgehen, kann man die einzelnen Zeichen so kodieren, daß der Anfang der Kodierung eines Zeichens mit keinem Anderen übereinstimmt. "Kein Code-Wort ist der Prefix eines anderen Code-Worts." Code 3: B: 11 L: 00 A: 10 T: 010 S: 011 Kodierter Text: 11 00 10 010 010 011 10 00 10 010 (24 Bits) WS 2006-07

Darstellung als Trie Der Code für ein Zeichen wird durch den Pfad von der Wurzel (root) des Trie bestimmt: mit 0 für "nach links gehen" und mit 1 für "nach rechts gehen". Jeder beliebige Trie mit M äußeren Knoten (leaves) kann verwendet werden um eine Zeichenfolge mit M verschiedenen Zeichen zu kodieren. 1 L A B T S WS 2006-07

Huffman - Code Ein Algorithmus der die optimale Bit-Kodierung variabler Länge für eine gegebene Zeichenhäufigkeit findet, wurde 1952 von D. Huffman angegeben. Algorithmus zum Erzeugen der Huffman-Codes 1. Bestimme die Auftrittshäufigkeit der Zeichen und schreibe sie an die leaves eines aufzubauenden Binärbaums an. 2. Nimm die bisher unerledigten zwei Knoten mit den geringsten Häufigkeiten und berechne deren Summe. 3. Erzeuge einen Elternknoten für diese beiden und beschrifte ihn mit der Summe. Markiere die Verzweigung zum linken Kind mit 0, die zum rechten Kind mit 1. 4. Markiere die beiden bearbeiteten Knoten als erledigt. Wenn es nur noch einen nicht erledigten Knoten gibt, ist die Kodierung beendet. Sonst weiter mit Schritt 2. WS 2006-07

Huffman - Code (Erzeugung) Wahrscheinlichkeit der Zeichen: p(B) = 0.1; p(L) = 0.2; p(A) = 0.3; p(T) = 0.3; p(S) = 0.1 A 30% T 30% L 20% B 10% S 10% Codierung A T L B S WS 2006-07

Huffman-Code, Optimalität Zeichen mit großen Häufigkeiten sind näher an der Wurzel des Codebaumes und haben daher eine kürzere Codewortlänge. Die Länge der kodierten Zeichenfolge ist das Produkt der gewichteten äußeren Pfadlänge des Huffman-Baumes mit der Zeichenzahl der Folge. Die "gewichtete äußere Pfadlänge" eines Baums ist gleich der über alle Blätter gebildeten Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeit mit der Entfernung von der Wurzel. Damit kann die Länge der kodierten Zeichenfolge berechnet werden. Äquivalent dazu ist die die über alle Zeichen gebildete Summe der Produkte aus der Wahrscheinlichkeit pi mit der Bit-Code-Länge li für das jeweilige Zeichen. Kein Baum mit den gleichen Häufigkeiten bei den Blättern hat eine kleinere gewichtete äußere Pfadlänge als der Huffman-Baum WS 2006-07

Arithmetische Codierung Informationstheoretisch ist die Huffman-Kodierung in der Regel nicht optimal, da einem Datenwort stets eine ganzzahlige Anzahl von Bits als Codewort zugewiesen wird. Es kann gezeigt werden, daß das Produkt aus "gewichteter äußerer Pfadlänge" des Huffman-Baums und Zeichenlänge größer oder gleich der Entropie einer Nachricht bei gegebenen Zeichen-wahrscheinlichkeiten ist. Idee der arithmetischen Kodierung: Eine Nachricht wird als Gleitkommazahl aus dem Intervall [0,1) kodiert. Dazu wird das Intervall nach den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Symbole aufgeteilt. Jedes Teilintervall repräsentiert ein Zeichen. WS 2006-07

Arithmetische Codierung Beispiel: Huffmann Code AAAA  1111 BBBB  0000 Symbol p(Symbol) Code A 0.01 B 0.99 1 WS 2006-07

Arithmetische Codierung Idee: Stelle Symbole und Symbolfolgen als Intervall [l, r) bzw. als Element daraus dar. Beispiel: Symbol p(Symbol) Intervall F 0.1 [0.0, 0.1) I 0.3 [0.1, 0.4) N [0.4, 0.7) O 0.2 [0.7, 0.9) @ [0.9, 1.0) WS 2006-07

Arithmetische Codierung 0.4 0.31 0.229 0.2281 0.22810 1.0 @ 0.9 O 0.7 N 0.4 I 0.1 F 0.1 0.22 0.22 0.2263 0.22792 WS 2006-07

Arithmetische Codierung Decodierung durch Umkehrung: Beispiel: WS 2006-07

Arithmetische Codierung Es reicht natürlich ein Wert aus dem Intervall, z.B. der untere. Die Gesamtnachricht wird zur Codierung in Teilzeichenfolgen zerlegt, die durch Stoppzeichen beendet werden. Nachteil: Statisches Verfahren, passt sich nicht wechselnden Wahrscheinlichkeiten an. Nachteil: Aufwendige Berechnungen. WS 2006-07

Einfaches verlustfreies Kompressionsverfahren Ersetze häufig auftretendes Muster durch kurzes Codewort, verwende Wörterbuch für die Codeworte abracadabracadabra abra 1 1 2 1 2 1 cad 2 WS 2006-07

Einfaches verlustfreies Kompressionsverfahren Wörterbuchbasiertes Kompressionsverfahren: statisch: Wörterbuch wird vor Codierung festgelegt und bleibt unverändert dynamisch: Wörterbuch passt sich dem zu komprimierenden Text dynamisch an Lempel-Ziv: zip, TIFF ( Image File Format) Lempel-Ziv-Welch: Compress in Unix WS 2006-07

Einfaches verlustfreies Kompressionsverfahren Lempel-Ziv Idee: Baue das Wörterbuch simultan mit der Kodierung des Textes auf; anfangs seien für jeden Buchstaben des Alphabetes Codenummern im Wörterbuch WS 2006-07

Einfaches verlustfreies Kompressionsverfahren Kodierung von: a b a b c b a b a b Wörterbuch Eintrag # Ausgabe a 1 b 2 c 3 WS 2006-07

Einfaches verlustfreies Kompressionsverfahren Decodierung von: 1 2 4 3 5 8 Wörterbuch Eintrag # Ausgabe a 1 b 2 c 3 WS 2006-07

LZW Kodierung Algorithmus Lempel-Ziv-Welch Input: Ein Text T=t1…tn über dem Alphabet S Output: Die LZW Kodierung von T Initialisiere Wörterbuch D mit Zeichen aus S; Initialisiere string s = t1: while noch nicht alle Zeichen von T gelesen do lies nächstes Zeichen c; if s+c ist Anfangsstück eines Eintrags in D then s = s+c /* bestimme aktuellen Match*/ else { gib Codewort(s) aus; trage s+c in D ein; s = c } end while; gib Codewort(s) aus WS 2006-07

LZW Decodierung Input: Sequenz von Codewörtern Output: Zeichenfolge über dem Alphabet S Initialisiere Wörterbuch D mit Zeichen aus S; Lies lcw und gib Buchstaben string(lcw) aus, den lcw codiert; while noch nicht alle Codewörter gelesen do lies nächstes Codewort act; if act ist nicht in D then /* Spezialfall*/ { trage string(lcw) + firstchar(string(lcw)) in D ein; gebe string(lcw) + firstchar(string(lcw)) aus } else { trage string(lcw) + firstchar(string(act)) in D ein; gibt string(act) aus } lcw = acw end while WS 2006-07

Lempel-Ziv Kodierung: Beispiel T = COCOA AND BANANAS Wörterbuch D (anfangs) m #(m) A 000 001 O 001 111 B 000 010 ... C 000 011 S 010 011 D 000 100 Z 011 010 N 001 110 011 011 WS 2006-07

Lempel-Ziv Kodierung: Beispiel T = COCOA AND BANANAS m #(m) add to D T C 000 011 CO 011 100 OCOA AND BANANAS O 001 111 OC 011 101 COA AND BANANAS CO 011 100 COA 011 110 A AND BANANAS A 000 001 A 011 111 AND BANANAS 011 011 A 100 000 AN 100 001 ND BANANAS N 001 110 ND 100 010 D BANANAS D 000 100 D 100 011 BANANAS B 100 100 # (T) = 000 011 | 001 111 | 011 100 | 000 001 | 011 011 | ... WS 2006-07

Lempel-Ziv Eigenschaften Wörterbuch passt sich dynamisch an die zu komprimierende Zeichenkette an, d.h. es enthält schließlich die am häufigsten vorkommende Zeichenkette Wörterbuch (Code Tabelle) muss nicht übertragen werden. Bekannt sein muss nur die Anfangtabelle, alles weitere wird beim Decodieren dynamisch erzeugt. Codieren und Decodieren ist in linearer Zeit möglich LZ führt i.a. zu höheren Kompressionsraten als Huffmann WS 2006-07

Verlustbehaftete Kompressionsverfahren Gegensatz: Verlustbehaftete Kompression für Bilder, Audio, Video Beispiele: JPEG MPEG MP3 WS 2006-07

JPEG-Kompression Die JPEG-Kompression erfolgt in 4 Schritten: 1.) Bildaufbereitung (Farbraumtransformation, Blockzerlegung) 2.) Diskrete Cosinus-Transformation (Forward DTC) 3.) Quantisierung (Die verlustbehaftete Datenreduktion) 4.) Entropie-Kodierung (Huffman) WS 2006-07

MPEG-1 und JPEG Bei der MPEG-1 Videokodierung und Videokompression werden sowohl die räumliche Redundanz (spatial) in Einzelbildern als auch die zeitliche Redundanz in aufeinander folgenden Bildern berücksichtigt. Die Behandlung von Einzelbildern hat einige Gemeinsamkeiten mit JPEG. Dies gilt im Besonderen für die Kodierung von Intra-Frames (I-Frames). 1.) Ein RGB-Einzelbild wird in den YUV-Farbraum transformiert. 2.) Sub-Sampling mit 4:2:2 bzw. 4:1:1. Einem 8x8 Y-Block sind 2 4x4 U,V Blöcke zugeordnet. 3.) DCT 4.) Quantisierung mit konstanter Quantisierungsmatrix (Hardware) 5.) Zig-Zag Kodierung 6.) RLE 7.) Huffman-Kodierung mit konstanter Tabelle (Hardware) WS 2006-07