Monadische Logik 2.Ordnung (MSO) Ilhan Aslan Betreuer: Tim Priesnitz Seminar SS/03 „Logische Aspekte in XML“ Gert Smolka PS-Lab Universität des Saarlandes

Motivation: Baue Logik möglichst expressive aber entscheidbar

Logik 1.Ordnung vs. Logik 2.Ordnung Variablen werden durch Individuen interpretiert. z.B. Aussagenlogik 2.Ordnung: Variablen werden durch Mengen von Individuen interpretiert. z.B. Baumlogiken

Logik 2. Ordnung ist unentscheidbar Logik 1.Ordnung mit Mengenvariablen Band von TM … Kopf … x .. Logik 2.Ordnung muss eingeschränkt werden auf einstellige(monadische) Prädikate, sonst ist die Logik unentscheidbar. t … Gitter realisiert durch binäres Prädikat P(x,t). TM hält gdw. t: P(x+1,t) = halt

Übersetzung von Bit-Mustern ew 1 ti ti+1 P 1 xi xi+1 TM wird definiert durch endl. viele Muster-Übergänge. Bsp.: t  x: P(x,t)  P(x+1,t)  P(x+2,t) → P(x+3,t+1)  P(x+4,t+1) P(x+5,t+1)

Monadische Logik 2.Ordnung (SiS) Syntax φ ::=  Xφ  φ φ v φ  Si(X,Y) X  Y  x φ x  Y  S(x,y)  x φ x  Y  x < y Einelementig(X) : ↔  Y ((Y  X )   (Y=X)  Z (Z  X →Z=X v Z=Y))

Syntax Varianten Definiere Syntax mit  x φ x  Y  S(x,y) X  Y :↔ x (x  X → x  Y) x = y :↔  Z ((x  Z) ↔ (y  Z)) S(X,Y) :↔  x,y ((x  X)  (y  Y)  z(((z=x) → (z  X))  ((z=y) → (y  Y)))  S(x,y)) Definiere Syntax mit  x φ x  Y  x < y S(x,y) :↔ (x < y   z(x < z  z < y))

Interpretation von Variablen in (schwacher) SiS 1 Nachfolger (i=1) Universum: 1* 1 2 Nachfolger (i=2) Universum: (1∪2)* 1 2 1 2 Individuen Variablen werden auf einzelne Shapes von endlich langen Strings abgebildet ! Mengen Variablen auf Mengen von Shapes von endlich langen Strings. Eine Menge von Shapes von endlich langen Strings definiert ein Shape von einem endlichen Baum In schwachMSO ist diese Mengen von Shapes von endlich langen Strings endlich. In MSO unendlich. Individuen-Variablen Shape von String Pfad Mengen-Variablen (endl.) Menge von Shapes von Strings (endl.) Menge von Pfade

Menge von Pfade = Baum ? Menge von Pfade {ε,1,2,11,12,121} Setze einzelne Pfade zusammen! 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1

Menge von Pfade = Baum ? Menge von Pfade {ε,1,2,11,12,121} Setze einzelne Pfade zusammen. 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1

Erfüllbarkeit von (schwacher)S2S Sei β eine Belegunsfunktion mit : β :x  π , π ist Pfad β :X  2 π β |= y  X <=> β(y)  β(X) β |= S1(x,y) <=> β(x)1 = β(y) β |= S2(x,y) <=> β(x)2 = β(y) β |=  Xφ <=> β[B/X] |= φ für ein B  2 π …

Bsp.: Definiere Prefix-Abgeschlossenheit mit (schwacher)S2S Pfad-bis-Vater-von(y)  X :↔ z (S0(z, y) v S1(z, y)  z  X) z.B. für X = { ε , 1, 11, 2 } Für y = 11 ist Pfad-bis-Vater-von(y)  X erfüllbar weil 1  X! 2 1 1 Prefixpfade-von-Pfad(x)  Y :↔ x Y  z((zY ¬ (z=ε))  Pfad-bis-Vater-von(z)  Y  (z0 Y  ¬ (z1  Y))  (z1  Y  ¬ (z0  Y))) 2 1 z.B. für X = { ε , 1, 11, 2 } Für y = 11 ist Prefixpfade-von-Pfad(x)  X erfüllbar weil ε,1,11  X ! 1

Bsp.: Definiere Prefix-Abgeschlossenheit mit (schwacher)S2S Ein Pfad (121) ist Prefix-Abgeschlossen bzgl. einer Menge von Pfaden, wenn alle Prefixpfade (ε ,1,2,12,121) in der Menge enthalten sind! 2 1 2 1 1 Eine Menge von Pfaden ist Prefix-Abgeschlossen ( definiert einen Baum) wenn gilt : Prefix-Abgeschlossen(Z) :↔ z ((zZ)  Prefixpfade-von-Pfad(z)  Z)

Prädikate → Mengen Prädikate ← Mengen Gegeben: Unäres Prädikat P: Σ*  {0,1} charachteristische Menge: MP = {x  Σ*  P(x) = 1} Prädikate ← Mengen Gegeben: Menge M  Σ* charackteristisches Prädikat: PM(x) = Es Existiert eine Beziehung zwischen Unären Prädikaten und Mengen! 1 , falls x  M 0 , sonst

Unäre Prädikate in (schwacher)SiS Y(x) <=> x  Y X(Y) unentscheidbar (Logik 3.Ordnung) Gitter realisierbar durch P(X)  x X  t X  Zweielementig(X) P({t,x}) = P({x,t}) x .. t

Kodiere ω-Strings in S1S Beispiel: ω-String über A={ a, b } ε 1 11 111 … a b La Lb La = { ε, 11,1111,… } Lb = { 1,111,11111,… } Axiomatisierung in S1S:  La ,Lb : La ∩ Lb =  La ∪ Lb = 1* Jede Adresse hat höchstens ein Label Jede Adresse hat mindestens ein Label

Kodiere Strings in schwacher S1S Beispiel: String über A={ a, b } ε 1 11 111 a b La Lb La = { ε, 11 } Lb = { 1,111} Jede Adresse hat mindestens ein Label Jede Adresse hat höchstens ein Label Axiomatisierung in schwacher S1S:  La ,Lb : La ∩ Lb =  prefix-abgeschlossen(La ∪ Lb)

Kodiere ω -Bäume in S2S Beispiel: ω-Baum über A = {f/2, g/2} f Lf = { ε, 11,12, …} Länge der Adr. gerade Lg = { ε, 1,2 } Länge der Adr. ungerade 2 1 g g 1 1 2 2 Axiomatisierung in S2S:  Lg ,Lf : Lg ∩ Lf =  Lg ∪ Lf = (1 ∪ 2)* f Vereinfachte Definition eines w-Baums ohne Konstanten! f f f Jede Adresse hat mindestens ein Label Jede Adresse hat höchstens ein Label … …

Kodiere Bäume in schwacher S2S Beispiel: Baum über A = {f/2, a/0} f La = { ε, 1,21,22} Lf = { ε, 2 } 2 1 f a (1)  zf  Lf : x,y  (La ∪ Lf): S1(z,x)  S2(z,y) (2)  za  La, z  (La ∪ Lf) : ¬ (za < z) 1 2 a a Axiomatisierung in (schwacher)S2S Lf ,La : La ∩ Lf =  Prefix-Abgeschlossen(La ∪ Lf)  (1)  (2)  (La ∪ Lf) = Aritäten-Konsistenz Baum ist nicht Leer

Referenzen [1] Wolfgang Thomas,Languages, Automata, and Logic, May 1996,Bericht 9607 Institut für Informatik und Praktische Mathematik Der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel D-24098 Kiel [2] Khoussainov, Bakhodyr and Nerode,Anil: Automata Theory and Its Applications, Progress in Computer Science, Birkhäuser,Boston;Berlin(2001) [3] David Basin, Felix Klaedke, Monadic Second-Order Logics in Theory and Practice, Albert-Universität, Freiburg [5] Hupert Comon, Max Dauchet, Rémi Gilleron, Denis Lugiez, Sophie Tison, Marc Tommasi, Tree Automata Techniques and Applications [6] Erich Grädel, Wolfgang Thomas, Thomas Wilke (Eds.), Automata, Logics, and Infinite Games, A Guide to Current Research (Part VI Monadic Second-Order Logic), Springer (2001) [7] H.Hermes, Einführung in die Mathematische Logik, B.G. Teubner, Stuttgart (1972)