Formale Sprachen – Mächtigkeit von Maschinenmodellen Richard Göbel

Mächtigkeit eines Maschinenmodells Mächtigkeit ist die Menge der lösbaren Aufgaben Noch zu klären: Was ist eine Aufgabe in diesem Zusammenhang? Wie lässt sich eine in der Regel unendlich große Menge an Aufgabenstellungen darstellen? Vergleich von zwei Maschinenmodellen A und B A und B haben gleiche Mächtigkeit A ist mächtiger als B B ist mächtiger als A A und B lassen sich nicht vergleichen

Aufgabenstellung als Funktion Ein Maschinenmodell mit einem Programm definiert eine Funktion f auf der Menge von Zeichenketten f : A*  Pf  A* Andere Schreibweise für die Funktion fp : A*  A* mit: fp(w) = f(p, w) Menge der Funktionen für ein Maschinenmodell F = { fp | p  Pf } Bemerkung Nicht jede Funktion terminiert für jede Eingabe Viele Funktionen sind also nur partiell definiert

Methoden für den Vergleich von Maschinen Finde für jedes Programm der Maschine A ein äquivalentes Programm der Maschine B Zwei Programme sind äquivalent, wenn sie für jede Eingabe dieselbe Ausgabe liefern  w, v  A*: g(w, pg) = v  f(w, pf) = v In diesem Fall wäre B mindestens so mächtig wie A Simuliere die Maschine A auf der Maschine B Ordne jedem Speicher auf Maschine A entsprechenden Speicher auf Maschine B zu Definiere Sequenzen von Befehlen auf Maschine B für jeden Befehl auf Maschine A Beweise die Korrektheit des jeweiligen Ansatzes

Beispiel für einen Vergleich RAM mit Multiplikationsbefehl RAM ohne Multiplikationsbefehl Ansatz Definiere eine Sequenz von Befehlen zur Multiplikation von zwei Zahlen durch mehrfache Addition Adressen von Speicherzellen ändern, so dass sie für die Multiplikation benutzt werden können Feste Adressen direkt ändern Befehle zur indirekte Adressierung ergänzen Ersetze die Multiplikationsbefehle Passe die Sprungadressen an

Ergebnisse der Vergleiche Turingmaschine und RAM sind bezüglich der Mächtigkeit gleich Der endliche Automat hat eine geringere Mächtigkeit als die Turingmaschine Beispiel geklammerter Ausdruck, Klammerstruktur korrekt? Alle bekannten Maschinenmodelle sind nicht mächtiger als die Turingmaschine! Auch „ähnliche“ Konzepte haben keine größere Mächtigkeit: Grammatiken µ-rekursive Funktionen

Folgerungen Die Turingmaschine (RAM, etc.) scheint bezüglich der Mächtigkeit maximal zu sein. Die Turingmaschine scheint ein Modell für die Informationsverarbeitung an sich zu sein! These von Church (1936): Jede im intuitiven Sinne berechenbare Funktion ist Turing-berechenbar.