Possibilistische Netze Sebastian Stober Seminar: Fuzzy-Systeme in Industrieanwendungen 27. März 2003 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Gliederung Possibilitätstheorie Relationale Netze Possibilistische Netze Quellen 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

1. Possibilitätstheorie Possibilität beschreibt die Möglichkeit eines Ereignisses/Auftreten eines Wertes Oder: Gibt es einen existierenden aber nur partiell beschreibbaren Wert x0, so gibt die Possibilität  (x)  [0,1] an, inwieweit x0=x möglich ist. Klar:  (x)=1 heißt, der Wert x ist (uneingeschränkt) möglich  (x)=0 heißt, der Wert x ist unmöglich Was ist mit den Werten dazwischen? 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Interpretation Mehrere Interpretationsansätze möglich, z.B.: Epistemologische Interpretationen von Fuzzy Mengen Präferenzrelationen Ähnlichkeiten Hier: Kontext Modell Kontext-Modell: Idee - ein Kontext kann sein: Physikalische Rahmenbedingungen Beobachtungsbedingungen Beobachter Meßgerät Epistemologisch = erkenntnis-basierend Präferenzrelationen-Bevorzugung 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Mathematische Formalisierung (1) Definition Zufallsmenge: (C, 2C, P) – endlicher Wahrscheinlichkeitsraum C – modelliert die Kontexte P(c) – Wahrscheinlichkeit für das Auftreten / die Wahl eines Kontexts c  - nichtleere Menge Eine Zufallsmenge ist die mengenwertige Abbildung: : C  2  (c), c C heißen Fokalmegen von  Beinhalten die Werte aus , die im Kontext c möglich sind Oft ist (c)   gefordert Achtung: Def. nimmt implizit an, daß die Kontexte disjunkt sind (als Elementarereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum) Disjukte Kontexte heißt: es können keine 2 Kontexte gleichzeitig auftreten, d.h. die Kontexte dürfen sich nicht überlappen (zur Not künstliche Kontexte einfügen) 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Mathematische Formalisierung (2) Definition Elementare Possibilitätszuweisung Der Possibilitätsgrad eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit der Möglichkeit des Ereignisses, d.h. die Wahrscheinlichkeit der Kontexte, in denen es möglich ist. TODO: Begriffübersetzung abklären 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Mathematische Formalisierung (3) Normalisierung Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) d.h. es gibt mindestens ein Element, das in allen Kontexten vorkommt Normalisierung kann nur vorliegen, wenn Konsistenz vorliegt Im Allgemeinen ist Konsistenz gefordert (plausibel), es können aber auch inkonsistente Fälle konstruiert werden. 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Mathematische Formalisierung (4) Definition Possibilitätsmaß Erweiterung der Elementaren Possibilitätszuweisung auf Potenzmengen Weist (allgemeinen) Ereignissen, d.h. Mengen von Elementarereignissen, Possibilitätsgrade zu 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: Würfelexperiment 1. Wurf: Auswahl des Bechers Die Würfelbecher stellen die Kontexte dar. 1 bis 5 2. Wurf: Ermittlung des Ergebnisses 1 2 3 4 5 1 bis 4 1 bis 6 1 bis 8 1 bis 10 1 bis 12 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Possibilität vs. Wahrscheinlichkeit 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Modifiziertes Würfelexperiment 1. Wurf: Auswahl des Bechers Modifikation: Jetzt 2 identische Würfel je Becher (wähle Maximum) 1 bis 5 2. Wurf: Ermittlung des Ergebnisses 1 2 3 4 5 Bem: Innerhalb der Kontexte sind die Werte alle gleichmöglich (1), es ist nur die Wahrscheinlichkeit der Kontexte bekannt und die hat sich nicht geändert. 1 bis 4 1 bis 6 1 bis 8 1 bis 10 1 bis 12 Ergebnis: Es verändern sich nur die Wahrscheinlichkeiten! 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Erkenntnisse Beim possibilistischen Ansatz wird im Experiment kein Wissen über die Wahl des Würfelbechers hinaus modelliert Modellierung des Unwissens über die Vorgänge beim zweiten Wurf Hier werden die Becher als Kontext gewählt (grob) Genaueres Wissen über den Vorgang würde es möglich machen, die Kontexte feiner zu modellieren Dabei wird versucht, in jedem Kontext, so viele Ergebnisse wie möglich auszuschließen („negative Information“) Definiert man für jeden Verlauf (!) des Experimentes einen Kontext (feinste Modellierung), so entsprechen die Possibilitätsgrade den Wahrscheinlichkeiten Possibilität ist (lose) obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

2. Einführung Relationale Netze Idee: Unter bestimmten Umständen läßt sich eine mehrdimensionale Verteilung (Relation) , welche ein bestimmtes domainspezifisches Vorwissen darstellt, zerlegen in eine Menge von (überlappenden) Verteilungen {1,..., k} auf Unterräumen geringerer Dimension Vorteile: Effizienteres Speichern, Vermeidung von Redundanzen (Analogie zur Theorie der relationalen Datenbanken) Effizientes Schlußfolgern auf {1,..., k} ist möglich, ohne dazu die Gesamtverteilung rekonstruieren zu müssen Leite die Information von Unterraumverteilung zu Unterraumverteilung weiter bis alle aktualisiert sind Unterscheidung verschiedener Ansätze, u.a.: Markovnetze – Ungerichtete Graphen Bayes‘sche Netze – Gerichtete Graphen Inferenznetze“ Wegen Möglichkeit, Schlußfolgerungen auf den Netzen zu ziehen „graphische Modelle“ basierend auf Graphen im Sinne der Graphentheorie 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel 3 Attribute A,B,C: dom(A)={a1,a2,a3,a4} dom(B)={b1,b2,b3} dom(C)={c1,c2,c3} Gesamtraum: dom(A)  dom(B)  dom(C) = {A,B,C} RABC: Es gilt die „closed-world assumption“, d.h. alle nicht in RABC enthaltenen Wertekombinationen sind unmöglich. 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: 2-dimensionale Projektionen RABC RAB RAC RBC 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: Schlußfolgern Angenommen, der Wert eines Attributes ist bekannt. Was kann über die anderen Attribute gefolgert werden? Naiv: betrachte alle Objekte in RABC mit der entsprechenden Attributausprägung – für höherdimensionale Verteilungen ist das nicht machbar Graphische Modelle: versuche, die Verteilung zu zerlegen, indem bedingte Unabhängigkeiten genutzt werden TODO: Def. Bed. Unabhängigkeit 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Bedingte Relationale Unabhägigkeit Die Attribute A und C sind genau dann bedingt relational unabhängig gegeben Attribut B, wenn gilt: D.h. ist der Wert für B gegeben können alle Werte, die für A und C möglich sind frei kombiniert werden. (*) liefert eine Formel für die Zerlegung Bem. Wenn also eine bedingte rel. Unabh. Vorliegt, kann die ursprüngliche Verbundverteilung aus den entsprechenden Randverteilung über die min-Operation rekonstruiert werden 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: Zyl. Erweiterung und Schnitt Zylindrische Erweiterung: RAB  C Schnitt der zylindrischen Erweiterungen: min{(RAB  C), (RBC  A)} = RABC Zylindrische Erweiterung: RBC  A 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: Evidenzen-Propagation Beobachtung des Wertes für Attribut A: Schließen auf Werte der Attribute B und C: Bem: extend + schnitt => Max Projekt => Min 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: Bedingte Unabhängigkeit Graphisches Modell: Die Attribute A und C sind bedingt unabhängig gegeben Attribut B, da alle Wege von A nach C durch Entfernen von B zerstört werden („u-Separation“). 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Bemerkungen Eine Zerlegung ist nicht immer möglich. Nicht jede Menge von Projektionen einer Relation liefert eine Zerlegung. Zerlegbare Relationen sind selten. In der Anwendung ist oft ein gewisser Verlust an Information akzeptabel (verglichen mit dem Vorteil der geringeren Komplexität) 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

3. Possibilistische Netze Übertragen der Idee der Zerlegung einer (mehrdimensionalen) Relation auf (mehrdimensionale) Possibilitätsverteilungen Modifikation der Operationen Projektion: berechne den maximalen Possibilitätsgrad über den entfernten Dimensionen Zylindrische Erweiterung und Schnitt (kombiniert): berechne das Minimum aus der a priori Verbund-Verteilung und der a posteriori Rand-Possibilitätsgrade 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: Verteilung und Projektionen 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Beispiel: Schlußfolgern 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Bedingte Possibilistische Unabhängigkeit Possibilistische Netze können als „Fuzzyfikation“ von Relationalen Netzen gesehen werden, indem anstelle der Beschränkung auf die Werte 0 und 1 alle Werte aus dem Intervall [0,1] betrachtet werden. Daraus ergibt sich analog zur bedingten relationalen Unabhängigkeit: A und C sind genau dann bedingt possibilistisch unabhängig, wenn gilt: wobei  Possibilitätsmaß auf einem (endlichen) Beispiel-Raum  ist. Fuzzyfizieren??? 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Wahrscheinlichkeit vs. Possibilität Suche nach dem wahrscheinlichsten Tupel: Alle Attributwerte tragen zum Resultat der Projektion bei Durch die Summe geht die Information über die entfernten Dimensionen verloren Um das richtige Tupel zu wählen muß zuerst die Verbund-Verteilung rekonstruiert werden Nicht alle Attributwerte tragen zum Resultat der Projektion bei, nur die mit maximalem Possibilitätsgrad Es geht nicht die gesamte Information über die entfernten Attribute verloren Gibt es nur einen Maximalwert in jeder Zeile / Spalte wird das Tupel mit höchstem Possibilitätsgrad zurückgeliefert Die Wahrscheinlichkeit, daß A den Wert a hat, ist p Der Possgrad eines Wertevektors mit dem höchsten Possgrad aller Tupel, in denen A den Wert a hat, ist p 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Zusammenfassung Graphische Modelle stellen eine wichtige Methode zur effizienten Repräsentation und Analyse unsicherer Information in wissensbasierten Systemen dar Durch Verwendung der Possibilitätstheorie ist es möglich, impräzise Informationen zu berücksichtigen Possibilistische Netze bieten als Kombination beider Ansätze die Möglichkeit mit sowohl unsicherer als auch impräziser Information zu arbeiten 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

4. Quellen Graphical Models - Methods for Data Analysis and Mining. Christian Borgelt and Rudolf Kruse. J. Wiley and Sons, Chichester, United Kingdom 2002, ISBN 0-470-84337-3 Possibilistic Graphical Models. Christian Borgelt, Jörg Gebhardt, and Rudolf Kruse. Computational Intelligence in Data Mining (Proc. 3rd Int. Workshop, Udine, Italy 1998), pp. 51-68. G. Della Riccia, R. Kruse, and H.-J. Lenz, eds. CISM Courses and Lectures 408, Springer, Wien, Austria 2000. Fuzzy-Systeme. Series Leitfäden und Monographien der Informatik. R. Kruse, J. Gebhardt und F. Klawonn. Teubner Verlag, Stuttgart, 1. Auflage 1993, 2. Auflage 1995 Vorlesung „Unsicherheit und Vagheit in wissensbasierten Systemen“. R. Kruse, C. Borgelt. Sommersemester 2002 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. 27. März 2003 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze