Wie lösen wir ILPs exakt? Branch-and- Bound Schnittebenen- verfahren Acyclic Subgraph TSP Branch-and- Cut 1

Ganzzahliges Lineares Programm y Zielfunktion Optimum der LP Relaxierung IP Optimum Zulässige Lösungen Abrunden der optimalen Lösung der LP-Relaxierung x Ganzzahliges Lineares Programm 2

Branch-and-Bound Zerlegung in Teilprobleme Berechnung oberer und unterer Schranken Löse erste Relaxierung ! obere Schranke zulässig? ! optimal Sonst: Partitioniere in Teilprobleme Löse Relaxierung ! Lsg. (a) ganzzahlig oder (b) unzulässig oder (c) neue, evtl. schärfere, obere Schranke Fall (c) ! eventuell rekursive Aufteilung 3

Branch-and-Bound Vernünftige Aufteilungsstrategie und endliche Lösungsmenge ! endliche Anzahl Schritte Ergibt Branch-and-Bound-Baum Knoten = Teilproblem Söhne = Partitionierung des Vaterproblems Intelligente Enumeration Permanent Gütegarantie, bei Termination beweisbar optimal 4

Branch-and-Bound (IP0) LP-Relaxierung Betrachte das folgende ILP: Max x + y + 2z Subject to 7x + 2y + 3z  36 5x + 4y + 7z  42 2x + 3y + 5z  28 x, y, z  0, ganzzahlig LP-Relaxierung 5

Branch-and-Bound für ILPs: Beispiel Löse LP- Relaxierung IP0 IP2 IP1 / 11 Integral 10 / Integral Bester IP-Wert Beste IP-Lösung IP4 IP3 Garantie 87,3% 98,2% 87,7% 100% 88,2% IP6 IP5 Unzulässig Max x + y + 2z Subject to 7x + 2y + 3z  36 5x + 4y + 7z  42 2x + 3y + 5z  28 x, y, z  0, ganzzahlig IP8 IP7 Obj. · bestem gefundenen Wert Obj. · bestem gefundenem Wert 6

Branch-and-Bound Eingabe: Gemischt-ganzzahliges lineares Programm (A, b, c, N1) Ausgabe: Lösung von (MIP=) oder Beweis der Unlösbarkeit 7

K = ;? c* · U? P0 = {x j Ax = b, x ¸ 0, xi ganzzahlig 8 i 2 N1} U = -1 K := {P0} (Liste der offenen Probleme) x = NIL (beste Lösung) K = ;? U = -1 ! MIP= hat keine Lösung U ¸-1 ! x ist Optimallösung mit Wert U ja ja Wähle Pj 2 K, K = K – {Pj} (Branching) nein Löse Relaxierung von (MIPj=) (Bounding) x* ist Optimallö- sung mit Wert c* U = c*, x = x* ja c* · U? Wähle i 2 N1 mit x*i  Z K += (Pj Å {x j xi · bx*ic}) + (Pj Å {x j xi ¸dx*ie}) nein xi* 2 Z 8 i 2 N1? nein 8

Branch-and-Bound Analyse: Praxis: (LMIP=) unzulässig oder unbeschränkt ! B&B bricht ab mit korrektem Ergebnis (LMIP=) hat endliches Optimum und P0  ; ! endlich viele Schritte zur Optimallösung (LMIP=) hat endliches Optimum und P0 = ; ! Abbruch durch Zusatzrestriktionen Praxis: Beschränkung der Baumgröße meist notwendig ! Branch-and-Cut ! später 9