Die 1-Baum-Relaxation des TSP mit der Subgradientenmethode von Sebastian Kerkhoff Thorger Brüning

Was ist gegeben? Ein Graph G bestehend aus n Knoten und einer Kantenmenge E Die Kantenlängen bzw. - kosten cij von Knoten i nach Knoten j. IN UNSEREM FALL : cij = cji

Traveling-Salesman-Problem Gesucht: wobei - jeder Knoten den Grad 2 hat - keine Subtouren existieren -

Traveling-Salesman-Problem Gesucht: wobei - jeder Knoten den Grad 2 hat - keine Subtouren existieren -

Definition: 1-Baum Ein Teilgraph B von G wird 1- Baum genannt, falls: a) Knoten 1 mit genau zwei Kanten (1,i) und (1,j) inzident ist b) der Graph B\{1} ist ein Gerüst auf G\{1} => jede Tour ist ein 1-Baum => Ein 1-Baum ist genau dann eine Tour, falls jeder Knoten den Grad 2 hat. 1-Baum Tour

Die Lagrangerelaxation Beachtet man nun die Tour-Eigenschaft, dass jeder Knoten (außer 1) Grad 2 haben muss als starke Restriktion, erhält man die Lagrangerelaxation: Definiert man u1:= 0 , so erhält man:

Das letztlich zu lösende Problem Das Lagrange-Dualproblem Definiere: => Problem lässt sich wie folgt schreiben: Bei der 1-Baum Relaxation wird nun die Relaxation dual gelöst.Wir suchen:

Die Subgradientenmethode h1 und h2 sind Subgradienten

Der verwendete Subgradient Sei B der -optimale 1-Baum, so ergibt sich der Subgradient: h(u)=(0,1,-1,1,-1) Daher: ui = ui-1 + d * h(ui-1)

Festzuhalten bleibt: Sei ein -optimaler 1-Baum, sowie eine -optimale Tour, so gilt Ist zusätzlich eine -optimale Tour, gilt In diesem Fall ist die gefundene Lösung von w(u) also die gesuchte optimale Tour

Der Algorithmus Der Beispiel-Plan

Der Algorithmus 1.Schritt w(u(0)) = 13

Der Algorithmus 1.Schritt w(u(0)) = 13 h(u(0)) = (0,0,-1,1,1,-1)

Der Algorithmus 2.Schritt w(u(1)) = 15

Der Algorithmus 2.Schritt w(u(1)) = 15 h(u(1)) = (0,0,0,1,-1,0)

Der Algorithmus 3.Schritt => Tour !!! w(u(2)) = 16

Der Algorithmus an schwierigeren Beispielen Berlin: 52 Knoten Problem wird vom Algorithmus gelöst 76 City-Problem: 76 Knoten Algorithmus bietet als untere Schranke: 537 Wert der optimalen Tour: 538

Der Algorithmus an schwierigeren Beispielen Biergärten: 127 Knoten untere Schranke des Algorithmus: 117431 Wert der besten bekannten Tour: 118282 entspr. maximaler Abweichung von 0,7 %