DSS für Wahlverfahren 1

E-Voting 2

Aggregation mit Borda Count 8 7 2 1 1 2 3 Alternativen: A1 A2 A3 2 1 3 1 3 2 A1 > A2 A2 > A1 Decision situations where the decision makers have to select one alternative or rank all alternatives are called voting procedures. Fair voting procedures have been subject of debate and research for more than 200 years. Let's assume that the five decision makers (DM1,...,DM5) on the slide provide rankings for three decision options (A1, A1,A3). In 1770, the French mathematician Jean-Charles de Borda proposed to the Académie des Sciences de Paris a rule to aggregate n rankings into a single ranking. The rule, called the Borda count, has become a standard procedure for aggregating ranks. The rule is intuitive; it starts by adding up all ranks for each alternative. The alternative with the lowest sum is the best one - in the example above, it is alternative A1. If we eliminate the worst alternative, A3, and adjust the ranks so they now range from 1 to 2, we see that A2 is now preferred over A1. Deleting an alternative can thus lead to rank reversal - a phenomenon we already encountered for paired comparisons using a ratio scale. The Borda count might therefore lead to strategic voting by assigning to the most feared competitor the lowest rank although s/he would not deserve it. A fairer approach would be to have the decision makers vote again between the two most preferred candidates. 8 9 13

Aggregation mit Mehrheitsregel 3 Alternativen: A1 A2 A3 super gut OK gut OK super OK super gut Paradoxon: A1 > A2, A2 > A3 Aber: A1 < A3 In 1785, the Marquis de Condorcet criticized the Borda count and proposed an alternative procedure, called the Condorcet's method or majority rule. This rule says to rank Ai over Aj if the number of voters preferring Ai over Aj is larger than the number of voters preferring Aj over Ai. This relation, however, is not necessarily transitive, and can lead to circular ranking, called the Paradox of Condorcet. The example on the slide illustrates the Paradox of Condorcet. super > gut > OK

Pareto Optimalität & A2 > A1 A2 > A1 A1 > A2 N(A1)=0.6; N(A2)=0.2 N(A1)=0.3; N(A2)=0.8 N(A1)=0.7; N(A2)=0.8 N(A1)=0.1; N(A2)=0.1 0.5 0.8 0.2 E[u(A1)]=0.45 E[u(A2)]=0.50 E[N(A1)]=0.58 E[N(A2)]=0.66 A2 > A1 A2 > A1 N(A1)=0.65; N(A2)=0.5 N(A1)=0.20; N(A2)=0.45 & 0.65 0.35 Let's assume that two decision makers (woman, man) have assessed two alternatives (A1,A2) for two scenarios (S1,S2) with their corresponding probabilities (p1,p2). The decision makers' assessments, both the utilities and the probabilities, are aggregated to their group assessment, simply by taking the arithmetic averages. The two decision makers both prefer A2 over A1 but the aggregated values suggest the opposite. As we see, the aggregation of probabilities requires special attention. E[N(A1)]=0.49 E[N(A2)]=0.48 A1 > A2

Verschiedene Social Choice Methoden 7 Personen, 5 Alternativen Condorcet‘s Methode: Mehrheitsregel (keine Gewinnerin) Plurality Voting: wer hat am meisten 1. Plätze (Gewinnerin ist a) Borda Count: Summe der Punkte (Gewinnerin ist b) Hare System: sukzessives Streichen der Alternative mit den wenigsten 1. Rängen (zuerst d streichen, dann b und e, dann a und somit: die Gewinnerin ist c) Sequentielle paarweise Wahl mit fixer Liste: die Liste ist a, b, c, d, e, somit a gegen b, mit Mehrheitsregel gewinnt b und a fällt weg, dann b gegen c usw. Gewinnerin ist d) Dictatorship: eine Person wird als Diktator bestimmt und seine Liste ist bestimmend; wenn z.B. P7 der Diktator ist, dann: Gewinnerin ist e). Beispiel entnommen von (S. 8): Taylor A.D. and Pacelli A.M, 2008. Mathematics and Politics:Strategy, Voting, Power, and Proof. Springer, New York.

Axiome der Sozialentscheidung Wenn mindestens 2 Personen die Priorität von 3 oder mehr Alternativen bewerten, dann gibt es kein Wahlverfahren, das allen vier Axiomen der Sozialentscheidung genügt: Transitivität: A1>A2, A2>A3  A1>A3. Pareto Optimalität: Falls für alle: A1>A2  Gruppe:A1>A2 Binäre Relevanz: Keine Umkehrung der Prioritäten. Kein Diktator: Aggregation  individuelle Bewertung. These kinds of shortcomings in group preference aggregation, or social choices, led K.J. Arrow [1951] to investigate the question of whether there exists a group preference aggregation method for ordinal preferences which complies with the following four social choice axioms: Transitivity: the aggregation procedure must produce a transitive group preference order for the alternatives being considered. Pareto optimality: If all decision makers prefer one alternative over the others, then the aggregated preferences must do the same. Binary relevance: The aggregated preference between two alternatives depends only on the decision makers' assessment of the preferences between these two alternatives and not on the other alternatives. This assumption of independence of irrelevant alternatives assures that rank reversal through deletion of an alternative is not possible. No dictatorship: There is no decision maker whose assessment becomes the overall group assessment. Arrow proved that if two or more decision makers have assessed three or more alternatives on an ordinal scale, there exists no aggregation procedure which simultaneously satisfies these four social choice axioms. This result is known as Arrow's impossibility theorem, which has been extensively discussed in the literature. Some additional conditions should be assumed. For example, all decision makers' assessments must be considered (nobody gets neglected) and any set of preference assessments by the decision makers must result in a group preference order. The Borda count complies with all of these conditions except the condition for binary relevance (rank reversal). Condorcet's method does not comply with transitivity.

Probleme mit Sitzzuteilungsverfahren Wichtige Eigenschaften von Sitzzuteilungsverfahren: Monotonie: Kein Wahlkreis erhält weniger Sitze, als ein Wahlkreis mit kleinerer (oder gleicher) Anzahl Stimmenden. Quota: Die Sitzzuteilung unterscheidet sich höchstens um einen Sitz vom idealen Sitzwert (z.B. wenn 7.34 der ideale Sitzwert ist, dann soll die Anzahl Sitze im Wahlkreis 7 oder 8 sein). Population: Kein Wahlkreis sollte durch Zunahme von Stimmenden einen Sitz verlieren, während ein anderer Wahlkreis durch Abnahme von Stimmenden einen Sitz dazu gewinnt. Wichtige Sitzzuteilungsverfahren: Hamilton: Berechne den idealen Sitzwert als den prozentualen Sitzanspruch basierend auf der Anzahl Stimmberechtigten und runde alle Werte ab. Die verbleibende Anzahl Sitze wird schrittweise den Wahlkreisen mit dem grössten Nachkommawert verteilt bis alle Sitze vergeben sind. Jefferson: Wähle eine ganze Zahl D (Divisor) und dividiere die Anzahl Stimmberechtigte aller Wahlkreise durch D und runde ab zur nächsten ganzen Zahl. Verändere D solange, bis alle Sitze vergeben sind (Vorteil für grosse Wahlkreise). Adam: Gleich wie Jefferson, aber mit aufrunden (Vorteil für kleine Wahlkreise). Webster: Gleich wie Adam und Jefferson, aber „normale“ Rundung von Brüchen auf nächste ganze Zahlen. Huntington-Hill: Gleich wie Adam, aber das Auf- resp. Abrundungskriterium basiert auf dem geometrischen Mittel (z.B. 4.3 wird aufgerundet, da 4.3 < 20.5 (=4.47). (Achtung: die Divisormethoden erfüllen immer die Pop.-Eigenschaft aber nicht immer die Quota-Eig.)

Gesetz politischer Rechte im Kt. ZH Gesetz über die politischen Rechte (vom 1. September 2003) Der Kantonsrat, nach Einsichtnahme in den Antrag des Regierungsrates vom 28. August20023 und in den Antrag der Kommission für Staat und Gemeinden vom 7. März 20034, beschliesst: § 88. Die Zahl der Personen, die in einem Wahlkreis wohnhaft sind, wird durch den Zuteilungs-Divisor geteilt und zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis bezeichnet die Zahl der Sitze, die im betreffenden Wahlkreis zu vergeben sind. Der Zuteilungs-Divisor wird so festgelegt, dass beim Verfahren nach Abs. 1 genau 180 Sitze vergeben werden. Der Kantonsrat nimmt die Sitzzuteilung vor jeder Wahl auf Antrag des Regierungsrates vor. § 103. Die Parteistimmenzahl einer Liste wird durch die Zahl der im betreffenden Wahlkreis zu vergebenden Sitze geteilt und zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis heisst Wählerzahl der Liste. In jeder Listengruppe werden die Wählerzahlen der Listen zusammengezählt. Die Summe wird durch den Kantons-Wahlschlüssel geteiltund zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis bezeichnet die Zahl der Sitze der betreffenden Listengruppe. Die Direktion legt den Kantons-Wahlschlüssel so fest, dass 180 Sitze vergeben werden, wenn gemäss Abs. 2 vorgegangen wird. § 104. Die Parteistimmenzahl einer Liste wird durch den Wahlkreis-Divisor und den Listengruppen-Divisor geteilt und zur nächstgelegenen ganzen Zahl gerundet. Das Ergebnis bezeichnet die Zahl der Sitze dieser Liste. Die Direktion legt für jeden Wahlkreis einen Wahlkreis-Divisor und für jede Listengruppe einen Listengruppen-Divisor so fest, dass bei einem Vorgehen nach Abs. 1 a)jeder Wahlkreis die ihm vom Kantonsrat zugewiesene Zahl von Sitzen erhält, b)jede Listengruppe die ihr gemäss Oberzuteilung zustehende Zahl von Sitzen erhält.

Das Wahlverfahren im Kanton Zürich abgegebene Stimmenzahl Es sind total 15 (180) Kantonsratssitze zu vergeben. Gewählt wird in 3 (18) Wahlkreisen. Es treten 3 (ca. 11) Parteien (d.h. Listen) an. Die Sitze sollen folgendermassen an die Parteien in den 3 Wahlkreisen vergeben werden: Der Sitzanspruch der 3 Wahlkreise ist proportional zu der Bevölkerung in den 3 Wahlkreisen. Bsp. für Bevölkerung: WK1 (41500), WK2 (57200) and WK3 (61400). Der Sitzanspruch der Parteien ist proportional zu den Wählerstimmen der Parteien, wobei die Wählerstimme einer Partei in einem Wahlkreis berechnet wird als: Anzahl Parteistimmen in diesem Kreis dividiert durch den Sitzanspruch des Wahlkreises. Die Sitzverteilung der 3 Parteien in den 3 Wahlkreisen ist proportional zu den erhaltenen Stimmen. Gerundet muss so werden, dass die in (2) und (3) bestimmten Wahlkreisstimmen und die Parteistimmen Gültigkeit haben. – EV: sj (Anzahl Sitze für WK j). – bj: Bevölkerung in WK j. – B: Gesamtbevölkerung (78’300) – S: Gesamtzahl Sitze (15) – EV: si (Anzahl Sitze für Partei i). – wi: Anzahl Wählerstimmen für Partei i). – W: Gesamtzahl Wählerstimmen – S: Gesamtzahl Sitze (15) – EV: sij (Anzahl Sitze für Partei i in WK j) – V: Gesamtzahl Stimmen – S: Gesamtzahl Sitze (15) 10

Berechnung der Sitzverteilung 11