Escherization Craig S. KaplanDavid H. Salesin Präsentation von Matthias Kaufmann Fachseminar Aktuelle Themen der graphischen Datenverarbeitung Institut für wissenschaftliches Rechnen, ETH Zürich 6. Juni 2001

Motivation  M. C. Escher -holländischer Grafiker  inspiriert durch orientalische Verzierungen  entwickelte seine Bilder durch „Ausprobieren“

Motivation  Ziel: automatische Erzeugung von Pseudo-Escherbildern  Algorithmus  benötigt Vorlage  Escherisierungs- Algorithmus Input Output

Übersicht  Tile  Ähnlichkeit von Polygonen  Optimierung  Generierung  Resultate

Tile - Definitionen  Tiling  Tilingeigenschaft eines Polygons  Tile: Grundbaustein eines Tilings  Vorlage normalerweise kein Tile  Hauptproblem: wie Vorlage abändern, dass sie nur leicht vom Original abweicht und Tilingeigenschaft erlangt Escherisierungsproblem Gegeben ein Polygon S, finde zweites Polygon T, so dass: T und S sind „möglichst ähnlich“ Kopien von T passen zusammen und füllen Ebene

Tile - Polygone  Beschränkung auf Polygone  einfache Manipulierbarkeit  nur wesentliche Ecken/Kanten betrachten

Tile - Isoeder  Beschränkung auf Klasse der Isoeder  93 Isoedertypen  Eigenschaften eines Isoeders: –Tilingeigenschaft –Verschiebungseinheit erzeugt Tiling nur durch Translation –alle Elemente einer Verschiebungseinheit haben verschiedene Orientierungen und Farben –Abbildung eines beliebigen Isoeders auf anderes bildet gesamtes Tiling auf sich selber ab –jede Ecke hat dieselbe Wertigkeit

Tile - Isoeder Isoeder

Tile - Isoeder  jeder Isoedertyp definiert, –welche Bedingungen für die Tilingeigenschaft eingehalten werden müssen –wie einzelne Isoeder zu einem Tiling zusammengefügt werden müssen –Abhängigkeiten bei Kantendeformationen –Anzahl Farben für Escherbild  formale Beschreibung nötig  Parametrisierung  Inzidenzsymbol

Tile - Isoederparametrisierung  Bedingungen für Tilingeigenschaft  Parametrisierung notwendig für Manipulation  0 bis 6 Freiheitsgrade  Parameter

Tile – Inzidenzsymbol  Konstruktion: 1.Bezeichnung / Richtung für jede Kante 2.bei symmetrischen Kanten Bezeichnung entsprechend kopieren 3.Bezeichnungen im Gegen- uhrzeigersinn aufschreiben (+/-) 4.Symbole kopieren 5.für jede Bezeichnung die Symbole der entsprechen- den Nachbarskante aufschreiben (mit umge- kehrtem Vorzeichen)  nicht eindeutig [a + b + c + c - b - a - ; a - c + b + ] a b c c b a a a c b b c

Tile - Kantensymmetrien  bis jetzt nur einfache Isoeder mit geraden Kanten  weiterer Freiheits- grad: Kanten  Bedingungen  aus Inzidenzsymbol ableitbar  4 Kantentypen: S,U,I,J [...a +...;...a +...]

Tile - Kantensymmetrien [...a +...;...a -...][...a...;...b x...][...a +/-...;...b +/-...] [...a...;...a...]

Ähnlichkeit von Polygonen  vollständige Beschreibung von Isoedern mittels Parametrisierung (inklusive Kanten)  Metrik, um Polygone zu vergleichen: –Input: zwei Polygone –0 bei kongruenten Polygonen –je grösser Unähnlichkeit, desto grösser Wert –unabhängig von Rotation, Skalierung, Translation  Idee: –Repräsentation als Drehfunktion –Normierung

Optimierung  Ziel: in Parameterraum aller Isoeder dasjenige mit grösstmöglicher Ähnlichkeit finden  Tilingeigenschaft automatisch erfüllt  Optimierungsproblem  optimale Lösung schwierig zu finden  Approximationsalgorithmus  Simulated Annealing

Optimierung  Input: Vorlagenpolygon  Output: ähnliches Polygon mit Tilingeigenschaft (Isoeder)  Idee: Aufwand nur bei Isoedern mit Chance  Algorithmus: 1.kreiere eine Instanz jedes Isoedertyps verbessere jede Instanz, so dass sie Vorlage ähnlicher wird 2. entferne sehr „schlechte“ Instanzen 3.iteriere 2., bis noch eine einzige Instanz übrig bleibt

Optimierung  Verbesserung eines Tile: for i := 1..n do while „Temperatur noch zu hoch“ do verbessere Tile mittels Parameter und Metrik reduziere Temperatur od glätte, wo sinnvoll, Ecken füge neue Ecken ein reduziere Minimaltemperatur od

Optimierung

Generierung  Polygon mit Tilingeigenschaft  Textur  Markierungen zum Übertragen der Originaltextur  Automatisierung möglich  eventuell manuelle Nachbearbeitung nötig

Generierung  Füllen der Ebene –Tile mittels Inzidenzsymbol und Isoederinformation kopieren –Verschiebungseinheit  „bleichen“  Farbtöne einbringen  Maleffekte

Resultate

 je komplizierter Form, desto länger Optimierungsdauer  schlecht approximierbare Figuren  Verbesserung: Kantengewichte  weniger comic-mässig als Escherbilder  manuelle Nachbearbeitung kann Lösung verbessern

Zusammenfassung  Input: Polygon der Vorlage  die Parameter eines Isoeders so wählen, dass Ähnlichkeit zum Vorlagenpolygon maximal wird (Optimierung)  Isoeder texturieren und Escherbild generieren

Meinung  Resultate überzeugend  Aufwand riesig: –Parametrisierung Isoeder –Kantenparametrisierung –Simulated Annealing –Simplex –Grafiktools für einfache Manipulation  Verwendbarkeit?  Grafiker, Verschnittminimierung  andere Verfahren?

Literatur, Links  papers/kaplan_siggraph2000.pdf  Grünbaum und Shephard: Tilings and Patterns, W. H. Freeman, 1987  Arkin et al., An efficiently computable metric for comparing polygonal shapes, PAMI(13), Nr. 3, März 1991, S 