Der A*-Algorithmus

Gliederung 1.Uniformierte Suche 2.Heuristische Suche a) Kostenfunktion b) Heuristische Funktion c) Schätzfunktion 2.1.A*-Algorithmus 4.Beispiel 5.Bemerkungen 6.Verbesserungen 7.Zusammenfassung  

Uniformierte Suche Vorteil : Findet Lösung mit minimaler Weglänge Breitensuche   Vorteil : Findet Lösung mit minimaler Weglänge Nachteil: Suchbaum wächst exponentiell mit der Suchtiefe Tiefensuche Vorteil : Speicherplatzbedarf ist linear Nachteil: Findet kürzesten Weg eher zufällig (blinde Suche)

Heuristische Suche Die Kostenfunktion g :   - ordnet jedem Knoten ein Gewicht g(k) 0 zu - heißt streng monoton, wenn g(k1) < g(k2) für alle Knoten k1, k2 gilt - gibt Aufschluss über die Höhe des Suchaufwand vom Startknoten bis zum jeweiligen Knoten des Suchbaumes

Die heuristische Funktion h - ordnet jedem Knoten k im Suchraum eine nicht negative Zahl h(k) zu   - 0 ≤ h(k) ≤ h*(k)  - h(k) überschätzt nie die Kosten - Es gilt h(e) = 0 (Zielknoten) - Schätzfunktion sollte eine möglichst hohe untere Schranke sein

Schätzungen City-Block- bzw. Manhattan-Abstand: Euklidischer Abstand:  

Schätzfunktion f f(k) = g(k) + h(k)   Der A* - Algorithmus vereint die Kostenfunktion g und die heuristische Funktion h. f(k) = g(k) + h(k) wobei g eine streng monotone Kostenfunktion und h eine zulässige heuristische Funktion ist.

Eigenschaften korrekt, d.h. das Suchergebnis, das die A* -Suche liefert, ist eine Lösung des Suchproblems. vollständig, d.h. wenn es eine Lösung des Suchproblems existiert, so wird diese auch gefunden. optimal, d.h. dass die Lösung des Suchproblems der kürzeste Pfad zum Zielknoten ist. - optimal effizient, d.h. jeder andere optimale und vollständige Algorithmus, der die selbe Heuristik verwendet, muss mindestens so viele Knoten betrachten wie A*, um eine Lösung zu finden.

Algorithmus 1- Erzeuge eine Menge OPEN und vereine sie mit dem Startknoten   2- Erzeuge eine leere Menge CLOSED 3- Berechne für jeden Knoten aus der Menge OPEN den Schätzwert f(k)

4- Wähle denjenigen Knoten aus der Menge OPEN mit dem kleinsten Schätzwert   5- Weiter mit 3) 6- Ist die OPEN Menge leer, so ist das Problem unlösbar

Soll außer der Länge des kürzesten Pfades auch der Pfad selbst gefunden werden, so kommt ein weiterer Schritt hinzu :   7- Es wird die Funktion Gib_kürzesten_Pfad_aus aufgerufen

Beispiel Augsburg: 43 km Erfurt: 342 km Frankfurt: 353 km Karlsruhe: 260 km Kassel: 446 km Mannheim: 311 km München: 0 km Nürnberg: 151 km Stuttgart: 199 km Würzburg: 229 km

1.Frankfurt wurde erkundet, als nächstes wird Mannheim untersucht.

2.Mannheim wurde erkundet, als nächstes wird Karlsruhe untersucht.

3.Karlsruhe wurde erkundet, als nächstes wird Würzburg untersucht.

4. Würzburg wurde erkundet, stellte sich aber als eine schlechte Wahl dar, und es wird wieder der ursprüngliche Pfad durch Augsburg verfolgt.

5. Augsburg wurde erkundet und es wurde ein Weg nach München gefunden der jedoch eventuell länger als nötig ist.

6.Nürnberg wurde erkundet, und es wurde ein kürzester Pfad nach München gefunden.

Bemerkungen Der Algorithmus funktioniert nur wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:   Jeder Knoten hat nur endlich viele Nachfolger Die Heuristikfunktion h überschätzt für keinen Zustand z die Kosten einer Operationenfolge - keine negativen Gewichte der Knoten

Verbesserungen Eine Möglichkeiten den Algorithmus zu verbessern ist zum Beispiel das Benutzen einer Heuristik h1 mit h(k) h1(k)

Zusammenfassung

Quellen http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/studium/ise/txt/ise05k09.pdf http://www.geosimulation.de/umsetzungen/Beschreibungen/Routenoptinierung_A_Stern_Algorithmus.htm http://a-stern-algorithmus.lexikona.de/art/A-Stern-Algorithmus.html http://de.wikipedia.org/wiki/A-Stern-Algorithmus http://wiki.delphigl.com/index.php/A-Stern http://www2.informatik.uni-erlangen.de/Lehre/WS200506/GameAlgHS/download/Baur-AStar.pdf?language=de http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/studium/ise/txt/ise05k09.pdf