Henneberg-Konstruktion in O(n²) Konstruktion von Laman-Graphen mittels Rot-Schwarz-Hierarchien Marko Walther WS 07/08

Überblick 1. Grundlagen und Definitionen 2. Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH) 3. Charakterisierung von Laman-Graphen mittels der RSH 4. Berechnung der Henneberg-Konstruktion mittels der RSH in O(n²)

1.Grundlagen

Theorem 1 (Charakterisierung von Laman-Graphen): Ein Graph G(V,E) heißt Laman-Graph genau dann, wenn: I. II.

Theorem 2 (Henneberg): Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph, wenn für ihn eine Henneberg-Konstruktion existiert.

Theorem 3 (Lovász und Yemini): Ein Graph G(V,E) mit n Ecken und 2n-3 Kanten ist ein Laman-Graph genau dann, wenn für jede Kante e aus E der Multigraph G+e, der durch Hinzufügen einer Kante parallel zu e entsteht, die Vereinigung von zwei kantendisjunkten Spannbäumen ist.

Definition 1: 3tree2-Partition

Beispiel für 3tree2-Partition:

Theorem 4: Ein Graph G(V,E) ist ein Laman-Graph genau dann, wenn er eine 3tree2-Partition zulässt.

2.Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH)

Definitionen:

Definition: Hierarchie

Beispiel: Hierarchie

Definition: Rot-Schwarz-Hierarchie Eine Rot-Schwarz-Hierarchie ist eine Hierarchie welche folgenden 4 Regeln genügt:

1. Wurzel-Regel: Die Wurzel von T hat genau zwei Kinder.

2. Blatt-Regel: Eine Ecke v von T ist genau dann das einzige Kind seines Elternknotens, wenn v ein Blatt ist.

3. Querkanten-Regel: Die Endecken jeder Querkante haben denselben Großelternknoten, jedoch unterschiedliche Elternknoten.

4. Baum-Regel: Für jede Ecke v aus T bilden die Querkanten, die inzident zu Enkelknoten von v sind einen Baum, der alle Enkel von v verbindet.

Färbung der RSH: Ecken gerader/ungerader Tiefe werden rot/schwarz eingefärbt. Kanten können rot oder schwarz gefärbt sein. Querkanten haben die Farbe ihrer Endpunkte.

Beispiel: Rot-Schwarz-Hierarchie Hierarchie H

3.Charakterisierung von Laman- Graphen mittels der RSH Die RSH als Charakterisierung von Laman-Graphen.

Bezeichnungen:

Lemma 5:

Beweis: Lemma 5

Lemma 5 impliziert auch, dass nicht für jeden Graphen eine RSH existiert.

Lemma 6:

Beweis(Skizze): Lemma 6

Folgerung aus Lemma 5,6: Graphen, für die eine RSH existiert sind Laman-Graphen.

Theorem 7:

Beweis: Theorem 7 Der Beweis wird hier nicht geführt. Nur soviel: Die RSH wird konstruiert, indem der Graph G in eine 3tree2-Partition zerlegt wird und aus dieser rekursiv die Unterbäume der Knoten in H sowie die Querkanten erzeugt werden. Für einen ausführlichen Beweis, siehe [2].

Laufzeit: Die 3tree2-Zerlegung kann in O(n²) Zeit konstruiert werden (siehe [3]). Die Knoten in H der selben Tiefe werden in O(n) Schritten bearbeitet. Da die Höhe der RSH O(n) beträgt, folgt eine Laufzeit von O(n²).

Folgerung: Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph, wenn für ihn eine RSH existiert. Damit ist die RSH eine weitere Charakterisierung von Laman-Graphen neben der 3tree2-Partitionierung z.B..

Lemma 8 (Validierung der RSH): Sei H eine Hierarchie für den Graph G. Es kann in O(n) Schritten überprüft werden, ob H eine Rot-Schwarz-Hierarchie ist.

Beweis: Lemma 8

Nun wird überprüft, ob H allen 4 Regeln für RSH genügt.

Beweis: Lemma 8 Die Wurzel-Regel kann in O(1) Zeit überprüft werden.

Beweis: Lemma 8 Die Blatt-Regel kann für jedes Blatt und jeden inneren Knoten von H überprüft werden. Dafür sind O(n) Schritte notwendig.

Beweis: Lemma 8

Die Baum-Regel kann in O(m+n) Zeit überprüft werden. Es folgt eine Gesamtlaufzeit von O(n).

4.Berechnung der Henneberg-Konstruktion mittels der RSH in O(n²)

Henneberg-Operationen: a b a b v Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ I

Henneberg-Operationen: Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ II a b a b v

Henneberg-Operationen: Die inversen Operationen werden Henneberg-Lösch-Operationen vom Typ I bzw. Typ II genannt.

Theorem 9:

Beweis(Vorbemerkungen): Theorem 9

Beweis: Theorem 9 Der Beweis unterscheidet 4 Fälle. Fall 1 und Fall 3 werden ausführlich bewiesen, um die Vorgehensweise aufzuzeigen. Fall 1, 2 entsprechen einer Typ I Lösch-Operation, Fall 3, 4 einer Typ II Lösch-Operation.

Fall 1, 2: a b v

Fall 1: w u v Ausschnitt aus H:

Fall 1:

w u v s ab

w u v s ab s ab a b v a b

Fall 2: w ist nicht die Wurzel von T. Für einen Beweis siehe [2].

Fall 3,4: a b v c

Es wird nun immer die Kante e ermittelt, die bei der Lösch- Operation vom Typ II hinzugefügt werden soll: a b a b v c e c

Fall 3: w (der Großelternknoten von v) hat zwei Kinder.

Fall 3:

3 Spezialfälle werden unterschieden:

Fall 3a: x w u v=v‘ s a‘ c‘ b‘ Ausschnitt aus H für Fall 3:

Fall 3a: x w u v s a‘ c‘ b‘ y‘ y

Fall 3a: Diese Prozedur wird als „Vervollständigung des Baumes vom Typ I“ genannt.

Fall 3a: 2. u und v und alle zu ihnen inzidenten Kanten werden entfernt. 3. a‘ und c‘ werden zu Kindern von w. x w u v s a‘ c‘ b‘ x w a‘ c‘ b‘

Fall 3:

Fall 3a:

Fall 3b: x w u=v‘ v s a‘=a c‘ b‘

Fall 3b: 1. u und v und alle zu ihnen inzidenten Kanten werden entfernt. 2. s wird durch das Blatt a ersetzt.

Fall 3b: w u=v‘ s c‘ b‘ va=a‘

Fall 3b: x w u v s a c‘ b‘ x w a c‘ b‘

Fall 3c: x w=v‘ u v s a‘=a c‘ b‘

Fall 3c: 1. u und v und alle zu ihnen inzidenten Kanten werden entfernt. 2. s wird durch das Blatt a ersetzt.

Fall 3c: x w=v‘ u v s a‘=a c‘ b‘ x w a c‘ b‘

Fall 3: In den Fällen 3a, 3b und 3c genügt die resultierende RSH wieder allen 4 Regeln.

Fall 4: w hat mehr als zwei Kinder. Für einen Beweis siehe [2].

Theorem 9: Die vorherigen 4 Fälle reichen aus.

Theorem 9: Denn angenommen, keiner der vorherigen 4 Fälle kann angewendet werden. Dann beträgt der Grad jeder Ecke aus G mindestens 3. Da es 2n-3 Kanten gibt, existieren mind. 6 Ecken in H mit Grad 3. (sieht man durch Konstruktion eines solchen Graphen). Nach der Wurzel-Regel existiert ein Kindknoten u der Wurzel von T, so dass mind. 3 Ecken vom Grad 3 Nachfahren von u sind. Der Großelternknoten kann nach der Blatt-Regel nicht die Wurzel sein. Also greift hier Fall 3 oder 4.

Theorem 10: Die Henneberg-Konstruktion eines Laman- Graphen mit n Ecken kann in O(n²) Zeit Berechnet werden.

Beweis: Theorem 10 Es wird eine RSH für den Graphen mit dem Algorithmus aus Theorem 7 in O(n²) Zeit konstruiert. Mit dem Algorithmus aus Theorem 9 kann eine Lösch-Operation in O(n) Zeit berechnet werden. Da O(n) Lösch-Operationen nötig sind, folgt daraus die Behauptung.

Quellen:  [1] R. Haas, D. Orden, G. Rote, F. Santos, B. Servatius, H. Servatius, I. Streinu, D. Souvaine and W. Whiteley. Planar minimally rigid graphs and pseudo-triangulations. Comput. Geom. Theory Appl., 31(1-2):31-61, 2005,  [2] Henneberg-Aufbau in O(n²) Schritten: S. Bereg. Certifying and constructing minimally rigid graphs in the plane. In Proc. 21st Annu. Sympos. Comput. Geom., pages 73-80,  [3] A.R.Berg und T.Jordan. Algorithms for graph rigidity and scene analysis. In 11th European Symp. on Algorithms, LNCS 2832, pp Springer-Verlag, 2003.