2. Mengen

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895) x  Mx  M M = { a, e, i, o, u } = { u, e, i, a, o } = { a, e, i, o, u, u, u } b  M  = { 1, 2, 3,... }

M = { x | x    x < 3 }. M = { x | x x = x  x } M = { x | x 2 - 3x + 2 = 0 } M = { 1, 2 } M = { x | P(x) } wo P(x) = "x 2 - 3x + 2 = 0"

 = { 1, 2, 3,... }  0 = { 0, 1, 2, 3,... }, Kardinalzahlen  = {..., -1, 0, 1, 2,... }  = { m/n | m    n   }  = { x | x besitzt Dezimaldarstellung }.  = { x + iy | x, y  , i 2 = -1 }                  A  B strikte Inklusion (  x: x  A  x  B)  (  x: x  B  x  A) A  A schwache Inklusion (A  B  B  A)  (A = B)

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B } A  B = { x | x  A  x  B }

G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B } A  B = { x | x  A  x  B } = - 1 { 1 } \ { 1, 2 } =  A \ B = { x | x  A  x  B }

A  B = { (x, y) | x  A  y  B } { a, b, c }  { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) } A  B  C besteht aus geordneten Tripeln (a, b, c) wobei a  A, b  B, c  C. Anstelle von      schreibt man auch einfach  3.  n n-dimensionaler euklidischen Raum, dessen Elemente die n-Tupel (x 1, x 2, x 3,..., x n ) sind:  n = { (x 1, x 2, x 3,..., x n ) | x k  , 1  k  n }

Kommutativität  A, B: A  B = B  A  A, B: A  B = B  A  A, B: A \ B  B \ A  A, B: A  B  B  A Assoziativität  A, B, C: (A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C  A, B, C: (A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C  A, B, C:(A  B)  C  A  (B  C)

 A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)(2.1)  A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)(2.2)

Das Komplement A* einer Menge A (bezüglich  ) A* = { x | x    x  A } A  A* =  A  A* =  A = A** Sätze von de Morgan: (A  B)* = A*  B*(2.3) (A  B)* = A*  B*(2.4) Augustus De Morgan

2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A  B, die Vereinigung A  B und die Differenz A \ B sowie B \ A. 2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A  B)  C  A  (B  C). 2.3 Für die nicht leere Menge M prüfe man durch logische Herleitung und mit Mengendiagrammen die Sätze: M  M = M(Idempotenzgesetz) M  M = M(Idempotenzgesetz) M \ M =  M   =  M   = M(  ist neutrales Element der Schnittbildung) M   = M(  ist neutrales Element der Vereinigung) M   =  A  (A  B) = A(Absorptionsgesetz) A  (A  B) = A(Absorptionsgesetz)

2.4 Vereinfachen Sie: (A  (B  A)) (A  B)   (A  B*)  (A*  B)  (A  B) (A  B*)*  (A*  B)* (((A  (B  C))  B) \ C)  ((A  B  A*) \ B). [Hinweis: A \ B = A  B*.] 2.5 Führt man in einer logischen Aussage die folgenden Ersetzungen bzw. ihre Umkehrungen durch:   ,    und M  M* (einschließlich    ), so erhält man die duale Aussage. Beispiel: M   =  ist dual zu M*   = . Bilden Sie die dualen Aussagen zu A  (B  A) = A M   = M M  M* =  und prüfen Sie deren Gültigkeit. 2.6 A = { 1, a } und B = { 1, 2 }. Bilden Sie das Produkt A  B sowie das Produkt B  A.