Das LCA – Problem in Suffixbäumen

Überblick Definitionen Anwendungen Voraussetzungen Preprocessing Beantworten von LCA – Anfragen in konstanter Zeit K. Swist

Definitionen Ein Suffixbaum T für einen String S (|S| = n) ist ein Baum mit n Blättern, markiert mit 1, …, n Kanten, beschriftet mit nichtleeren Substrings von S innere Knoten haben mind. 2 Kinder Alle Label der Kanten von einem Knoten aus beginnen mit unterschiedlichen Zeichen. Konkatenation der Label der Kanten auf einem Pfad von der Wurzel zu einem Blatt i ist gleich S[i... n] (also das Suffix von S, das an Position i startet.). e banane an n 6 1 ane e e 2 4 5 ane 3 K. Swist

Definitionen Ein Knoten u ist Vorfahre eines Knotens v, wenn u sich auf dem Pfad von der Wurzel zu v befindet. Insbesondere ist jeder Knoten Vorfahre von sich selbst. Ein echter Vorfahre von v ist ein Vorfahre, der nicht v selbst ist. u v K. Swist

Definitionen Der tiefste gemeinsame Vorfahre (lowest common ancestor, lca) zweier Knoten x und y ist der tiefste Knoten in T, der sowohl Vorfahre von x, als auch von y ist. lca(x, y) x y K. Swist

Definitionen Ein vollständiger binärer Baum B ist ein Baum, in dem jeder innere Knoten genau zwei Kinder hat. K. Swist

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Anwendungen Longest common extension Palindrome gegeben zwei Strings S1 und S2 finde zu beliebigen Indexpaaren (i, j) den längsten Match von S1[i..] und S2[j..] Palindrome gegeben ein String S finde alle maximalen Palindrome in S Komplementäre Palindrome K. Swist

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Voraussetzungen für den Algorithmus Operationen in O(1) Zeit auf Zahlen der Länge  O(log n): lesen, schreiben, adressieren von Zahlen vergleichen, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren von zwei Zahlen Bitoperationen: AND, OR, XOR shift rechts, links Erzeugen einer Maske von aufeinander folgenden Einsen Finden der am weitesten rechts oder links liegenden Eins in einer Binärzahl K. Swist

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Preprocessing – Umwandeln von T in einen vollständigen Binärbaum B Depth – first search numbers: Nummerieren der Knoten eines Baumes T nach ihrem Auftreten bei der Tiefensuche: 5 6 4 3 2 1 001 100 110 101 011 010 K. Swist

Preprocessing – h(v) Für jede Nummer v bezeichnet h(v) die Position (von rechts) des ersten 1 – Bits in der Binärdarstellung von v. h(1) = 1 h(2) = 2 h(3) = 1 h(4) = 3 h(5) = 1 h(6) = 2 5 6 4 3 2 1 001 100 110 101 011 010 K. Swist

Preprocessing – I(v) Für einen Knoten v in T bezeichnet I(v) den Knoten w in T, sodass h(w) maximal über alle Knoten im Unterbaum unter v ist. 5 6 4 3 2 1 001 100 110 101 011 010 h(1) = 1 I(1) = 4 h(2) = 2 I(2) = 2 h(3) = 1 I(3) = 3 h(4) = 3 I(4) = 4 h(5) = 1 I(5) = 5 h(6) = 2 I(6) = 6 K. Swist

Preprocessing - Gruppen Eine Gruppe besteht jeweils aus allen Knoten, die den gleichen I – Wert haben. Der Kopf einer Gruppe ist der Knoten, der am nächsten zur Wurzel liegt. 5 6 4 3 2 1 001 100 110 101 011 010 I(1) = 4 I(2) = 2 I(3) = 3 I(4) = 4 I(5) = 5 I(6) = 6 K. Swist

Preprocessing Sei B ein vollständiger binärer Baum mit Knotentiefe d = log2n – 1. (n = Anzahl der Knoten im Suffixbaum T) Sei p die Anzahl der Blätter von B. Jeder Knoten v bekommt eine (log2p)+1 Bit lange Pfadnummer, die eindeutig den Pfad von der Wurzel zu v angibt. K. Swist

Preprocessing - Pfadnummern Von links gezählt bezieht sich das i – te Bit auf den i – ten Knoten auf dem Pfad von der Wurzel zu v: 0 bedeutet Verzweigung nach links, 1 nach rechts Jede Pfadnummer wird dann zu (log2p)+1 Bits aufgefüllt, indem rechts eine Eins angehängt wird und entsprechend viele Nullen. 1 7 5 6 4 2 3 001 101 111 110 011 100 010 K. Swist

Preprocessing - Pfadnummern Pfadnummern können auch rekursiv vergeben werden: nummeriere zuerst rekursiv das linke Kind, dann die Wurzel, dann rekursiv das rechte Kind. Bei der Konstruktion von B werden nur die Knoten bezeichnet, auf die ein Knoten aus T abgebildet wird (also nur die Nummern, die als I – Wert in T vorkommen). 1 7 5 6 4 2 3 001 101 111 110 011 100 010 K. Swist

Preprocessing - Av Av ist eine O(log n) Bit lange Zahl, wobei Bit Av(i) = 1 gdw. Knoten v hat einen Vorfahren in T, der auf Tiefe i in B abgebildet wird d. h. v hat einen Vorfahren u, sodass h(I(u)) = i. I(1) = 4 h(1) = 1 A1 = 001 I(2) = 2 h(2) = 2 A2 = 011 I(3) = 3 h(3) = 1 A3 = 111 I(4) = 4 h(4) = 3 A4 = 001 I(5) = 5 h(5) = 1 A5 = 101 I(6) = 6 h(6) = 2 A6 = 011 K. Swist

Preprocessing - Algorithmus Eingabe: ein Baum T mit n Knoten Tiefensuche in T: Vergeben der depth – first search numbers Berechnen von h(v) für jeden Knoten v Setze für jeden Knoten einen Pointer auf seinen Vater Bottom – up Algorithmus Berechne I(v) für jeden Knoten v Für jede Nummer k, sodass ein v existiert mit I(v) = k, setze L(k) als Pointer auf den Kopf der Gruppe, die Knoten k enthält Erzeuge den kompletten binären Baum B und bilde jeden Knoten v aus T auf den Knoten I(v) in B ab Berechne Av für jeden Knoten v in T. K. Swist

Preprocessing - Beispiel 001 5 6 4 3 2 1 100 110 101 011 010 h(1) = 1; I(1) = 4 h(2) = 2; I(2) = 2 h(3) = 1; I(3) = 3 h(4) = 3; I(4) = 4 h(5) = 1; I(5) = 5 h(6) = 2; I(6) = 6 Pointer auf den Vater v  I(v) K. Swist

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Beantworten von LCA - Anfragen lca(i, j) in B: i und j sind Pfadnummern (binäre Darstellung; Länge d) Prüfen, ob i Vorfahre von j oder umgekehrt Sei xij = XOR(i, j). Finde Position k (von links gezählt) des am weitesten links liegenden 1 – Bits in xij. Links von k stehen Nullen, also sind die Pfade von der Wurzel bis zur k – ten Verzweigung gleich. Folglich besteht die Pfadnummer von lca(i, j) aus den ersten (k – 1) Zeichen von i (oder j), einer Eins und dann d – k – 1 Nullen. K. Swist

Beantworten von LCA - Anfragen z.B. lca(5, 3): XOR(101, 011) = 110  k = 1  lca = 100 5 6 4 2 3 101 110 011 100 010 K. Swist

Beantworten von LCA – Anfragen - Algorithmus Eingabe: zwei Knoten x und y in T Finde b = lca(I(x), I(y)) in B. Finde die kleinste Position j  h(b), sodass sowohl Ax, als auch Ay an Position j eine Eins haben. j ist dann h(I(lca(x, y))). Finde Knoten x‘, den am nächsten zu x gelegenen Knoten, der in der gleichen Gruppe wie lca(x, y) liegt wie folgt: Finde Position l des am weitesten links liegenden Eins – Bits in Ax. (l = h(I(x))) K. Swist

Beantworten von LCA – Anfragen - Algorithmus Wenn l = j, setze x‘ = x (x und lca(x, y) liegen in der gleichen Gruppe) und gehe zu Schritt 4. Sonst (l < j): Finde Position k des am weitesten links liegenden 1 – Bits in Ax, das noch rechts von j liegt. Entwickle eine Zahl w bestehend aus den Bits von I(x) links von Position k gefolgt von einer Eins, aufgefüllt mit Nullen. Suche Knoten L(w) und setze Knoten x‘ als Vater von L(w) in T. Finde Knoten y‘, den am nächsten zu y liegenden Knoten aus der Gruppe von lca(x, y) wie in Schritt 3. Wenn x‘ < y‘, setze lca(x, y) = x‘; sonst lca(x, y) = y‘. Ausgabe: lca(x, y) K. Swist