Constraint Satisfaction Problems Richard Göbel

Hintergrund Definition einer Struktur für die Darstellung von Suchproblemen Nutzung der Struktur zur Verkleinerung des Suchraums Ansatz: Darstellung von Entscheidungsalternativen mit Variablen Definition von Rahmenbedingungen als Relationen auf diesen Variablen Finden einer Belegung aller Variablen, so dass alle Beziehungen erfüllt sind Ausschließen von Werten für alle Variablen nach jeder Entscheidung: Constraint Propagation

Beispiele Schiebepuzzle? 4-Farben-Problem Magische Quadrat 8-Damen-Problem Zeitliche Planung von Aktivitäten und Ressourcen

4-Farben Problem Färbe Regionen mit Farben ein. . . . . . . so dass zwei benachbarte Regionen unterschiedliche Farben haben 4 Farben reichen aus!

CSP für das 4-Farben Problem Schleswig-Holstein Mecklenburg-Vorpommern Hamburg Bremen Niedersachsen Brandenburg Berlin Nordrhein-Westfalen Sachsen-Anhalt Sachsen Rheinland-Pfalz Hessen Thüringen Saarland Baden-Würtenberg Bayern Werte: { Rot, Grün, Blau, Weiß } Relation: ≠

Systematische Bearbeitung Allgemeiner Ansatz Belege schrittweise alle Variablen mit Werten Berücksichtige bei der Belegung die Nachbarvariablen Strategien Für Variablen mit drei oder weniger Nachbarn lässt sich immer eine Farbe finden beginne mit Variablen mit vielen Nachbarn Schränke die Werte der noch zu belegenden Variablen entsprechend der bereits vorhandenen Belegungen ein: Constraint Propagation

CSP für das 4-Farben Problem Schleswig-Holstein {R,G,B,W} {R} Mecklenburg-Vorpommern Hamburg {G,B,W} {R,G,B,W} {B,W} {G,B,W} {R,G,B,W} Bremen {G,B,W} {R,G,B,W} Niedersachsen Brandenburg Berlin {R} {R,G,B,W} {G,B,W} {G} {R,G,B,W} {R,G,B,W} {R,B,W} Nordrhein-Westfalen Sachsen-Anhalt {G,W} {R,G,B,W} {G,B,W} {B,W} {R,G,B,W} {W} {G,B,W} Sachsen Rheinland-Pfalz Hessen Thüringen {B} {R,B,W} {R,G,B,W} {R,G} {R} {R,G,W} {R,G,B,W} {B} {R,G,B,W} {G,B,W} {B,W} {R,G,B,W} {G,B,W} {G} Saarland {R,G,B,W} {G,B,W} Baden-Würtenberg Bayern {R,W} {R,B,W} {W} {R,G,B,W} {R,G,B,W} {R,W} {R,B,W} {R} {R,B,W}

Diskussion Variablen mit diskreten Werten Binäre Relationen Sortiere bei jeder Entscheidung Werte aus, die eine Relation nie erfüllen: Arc-Consistency

2 1 5 9 1 5 1 6 7 9 8 3 4 Magische Quadrat 6…8 2…4 5…9 2…9 1…9 1…9 6…8 Quadrat mit 3  3 Feldern Verteile die Zahlen 1 … 9 auf diese Felder Die Summe jeder Zeile. Spalte und Diagonale soll 15 betragen 6…8 2…4 2 1 5 9 5…9 2…9 1 5 1…9 1 1…9 6 6…8 5…9 7 2…9 2…4 6…8 2…9 2…4 5…9 9 5…9 6…8 8 5…9 2…4 6…8 3 2…9 2…4 2…9 4

Aufbau des Constraint-Netz Diskussion Aufbau des Constraint-Netz Variablen mit Wertebereich von 1 bis 9 Dreistellige Beziehungen zwischen den Variablen für Spalten, Zeilen und Diagonalen Neunstellige Beziehung zwischen allen Variablen: jeder Wert darf nur einmal auftauchen Constraint Propagation über mehrere Beziehungen hinweg

8-Damen-Problem Aufgabe Darstellung Positioniere 8 Damen auf einem Schachbrett . . . . . . so dass sich diese Damen nicht gegenseitig schlagen können Darstellung Für jedes Schachfeld eine Variable mit einem booleschen Wert (Dame vorhanden?) Binäre Relationen zwischen zwei Feldern a und b, falls a von b in einem Zug mit einer Dame erreichbar ist

Einige Relationen für das 8-Damen-Problem

8-Damen-Problem: Lösungsansatz

Andere Darstellung des 8-Damen-Problems In jeder „Spalte“ steht genau eine Dame Darstellung des Problems mit 8 statt 64 Variablen Werte der Variablen ist eine Zahl zwischen 1 und 8 Darstellung der Constraints? Implementiere ein Verfahren zur Lösung eines verallgemeinerten Problems Positioniere K Damen . . . . . . auf einem Spielbrett mit k  k Feldern . . . . . . so dass sich die Damen nicht schlagen können

Allgemeine Darstellung eines CSP Basis Menge von Variablen V mit Wertebereichen Menge von Relationen R auf diesen Variablen Finde eine Belegung, so dass alle Relationen erfüllt sind Einschränkungen Endliche Wertemenge für die Variablen zweistellige (binäre Relationen)

Constraint Propagation Arc Consistency Entferne Werte aus Variablen einer Relation, die in keiner Kombination mit anderen Variablen vorkommen Path Consistency Entferne „unmögliche“ Werte aus den Variablen eines Pfads aus Relationen (Pfad mit 2 oder mehr Relationen) k-Consistency k-1 Variablen erfüllen alle zugehörigen Variablen  es lässt sich eine Belegung für eine weitere Variable finden, so dass alle Relationen erfüllt sind

Weitere Möglichkeiten für ein CSP Effiziente Verfahren zur Lösung von Teilen eines CSP Zerlegen eines CSP Optimierungsverfahren: finde eine erste Belegung, die möglichst viele Relationen erfüllt versuche Belegungen zu ändern, so dass schrittweise weitere Relationen erfüllt werden . . .

Resourcenplanung – freie Zeitrahmen Variablen für jede Aktivität Resourcenvariable(n): enthalten als Werte die möglichen Ressourcen Startzeitpunkt Endzeitpunkt Relationen Für jede Ressource eine Relation verbunden mit allen Variablen  Nachfolgebeziehungen für Aktivitäten zwischen Zeitvariablen von jeweils zwei Aktivitäten

Resourcenplanung – feste Zeitrahmen Variablen für jede Ressource und jeden Zeitrahmen mit Aktivitäten als Wert Relationen Jede Aktivität nur einmal verplanen Reihenfolge auf den Aktivitäten berücksichtigen . . . alle Variablen mit allen anderen verbunden . . .

Resourcenplanung - Diskussion Eine Vielzahl weiterer Rahmenbedingungen sind in der Regel zu beachten Darstellung als klassisches CSP zum Teil unangemessen komplex . . . . . . aber Ideen übernehmen: Entscheidungsalternativen explizit repräsentieren (Variablen) Relationen als Methoden implementieren Constraint Propagation mit Hilfe von weiteren Methoden auf der Basis getroffener Entscheidungen realisieren