Gruppenwettbewerb

Aufgabe G1 (8 Punkte)

Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:

Jeweils durch die Mitten gegenüberliegender Flächen: 3 Achsen Jeweils durch die Mitten gegenüberliegender Flächen: Drehwinkel: 90° 180° 270°

Jeweils durch gegenüberliegende Ecken (längs der 4 Raumdiagonalen) 4 Achsen Jeweils durch gegenüberliegende Ecken (längs der 4 Raumdiagonalen) Drehwinkel: 120° 240°

Jeweils durch die Mitte gegenüberliegender Kanten. 6 Achsen Jeweils durch die Mitte gegenüberliegender Kanten. Drehwinkel: 180°

Aufgabe G2 (8 Punkte) Frage: Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?

Gegeben war folgende Konstellation: Aufgabe G2 (8 Punkte) Gegeben war folgende Konstellation: Frage: Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?

Lösung: Gleichung der Tangenten aufstellen Achsenschnittpunkte bestimmen Länge der Strecke AB in Abhängigkeit von Punkt P als Funktion darstellen Minimum der Funktion suchen

(1) Gleichung der Tangenten aufstellen: y=mx+b Funktionsgleichung der Parabel: f(x) = 9 - x² Punkt P (a / 9-a²) Die Tangente hat im Punkt P(a / 9-a²) die Steigung f‘(a): f‘(a) = -2a  Tangentengleichung: y = -2ax + b Setzt man nun den Punkt P in diese ein, erhält man: -a²+9 = -2aa+b b = a²+9 Insgesamt erhält man für so für die Gleichung der Tangenten: y = -2ax + (a²+9)

(2) Achsenschnittpunkte Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

(3) Bestimmen der Streckenlänge AB Satz des Pythagoras: Folgende Funktion stellt also den Abstand zwischen A und B in Abhängigkeit von der Lage von P dar:

(4) Minimum der Funktion suchen Bestimmen der Ableitung g‘(a) mit Hilfe der Produktregel:

Notwendiges Kriterium: g‘(a)=0 Vorzeichenwechselkriterium Damit ist ein Minimum gefunden  Also ist P(1/8)

Aufgabe G3 (8 Punkte)

Aufgabe G3 (8 Punkte) Glücksspiel (2 faire Würfel) mit Einsatz 2,-€  Pasch: 5,-€  Differenz von 5: 10,-€  Differenz von 1: 2,-€ (= Einsatz)

Ereignis (Symbol) Pasch O ∆1 □ ∆5 ∆ sonst günstig Rest Wahrsch.(p) ∆1 □ ∆5 ∆ sonst günstig 11, 22, 33 44, 55, 66 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16 16, 61 Rest Wahrsch.(p) Gewinn in € 5-2 2-2 10-2 0-2

Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst günstig Rest Wahrsch.(p) Gewinn in € 3 8 -2 Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn? Berechnung des durchschnittlichen Gewinns E(X): Das heißt man macht bei diesem Spiel durchschnittlich 6 Cent Verlust! Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst günstig 11, 22, 33 44, 55, 66 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16 16, 61 Rest Wahrsch.(p) Gewinn in € 3 8 -2

Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst günstig Rest Wahrsch.(p) Gewinn in € 5-x b) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair, also E(X)=0? Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst günstig 11, 22, 33 44, 55, 66 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16 16, 61 Rest Wahrsch.(p) Gewinn in € 5-x x-x 10-x 0-x Der durchschnittliche Gewinn wird durch folgende Gleichung berechnet: Der Einsatz müsste als ungefähr 1,92€ betragen, damit das Spiel fair ist.

Aufgabe G4 (8 Punkte)

Definiert wurde folgende Multiplikation: Aufgabe G4 (8 Punkte) Definiert wurde folgende Multiplikation:

Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:

Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:

Einzelwettbewerb

Aufgabe E1 (8 Punkte) Wie groß sind Länge und Breite des Rechtecks?

1) Berechnung der Länge des Rechtecks: Die Länge des Rechtecks entspricht 4 mal dem Radius

2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Wir fügen 2 Dreiecke ein:

2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Wir fügen 2 Dreiecke ein: Diese sind nach SsW kongruent. Also gilt:

2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Analog folgt:

2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Mit Hilfe des Satz des Pythagoras gilt: Für die Breite des Rechtecks ergibt sich damit 3r

Aufgabe E2 (8 Punkte) „Im Jahre 2010 sind beide Töchter so alt, wie die Quersumme ihrer Geburtsjahre!“ Wie alt sind die beiden Töchter?

1) Geburtsjahr der jüngeren Tochter Das Geburtsjahr der jüngeren Schwester sei angenommen 200a: Somit ist die jüngere Schwester 2004 geboren!

2) Geburtsjahr der älteren Tochter Für das Geburtsjahr der älteren Schwester kommen nur die 80er oder 90er Jahre in Frage: Also muss das Geburtsjahr der älteren Tochter 19ab sein!

2) Geburtsjahr der älteren Tochter Das Geburtsjahr der älteren Schwester sei angenommen 19ab: Wir verwenden nun:

Geburtsjahr Alter 2010 Quersumme Ältere Tochter 1986 24 Lösung Aufgabe: Geburtsjahr Alter 2010 Quersumme Ältere Tochter 1986 24 Jüngere Tochter 2004 6

Aufgabe E3 (8 Punkte) Für jede reelle Zahl z sei [z] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich z. Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt!

Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt (ii) [-2]² + [0]² = 4 (iii) [0]² + [2]² = 4 (iv) [0]² + [-2]² = 4

Schnelligkeitswettbewerb

Wie lang ist der Weg des Lichtstrahls? Aufgabe H1 (3 Punkte) Wie lang ist der Weg des Lichtstrahls?

Lösung: Reflexionsgesetz: Einfallswinkel =Reflexionswinkel Weg des Lichts = Strecke P‘Q‘ Rechung:

Aufgabe H2 (3 Punkte)

Lösung: Mit ist

Lösung: Mit ist

Lösung: Mit ist

Lösung: Mit ist

Lösung: Mit ist

Lösung: Mit ist

Lösung: Mit ist

Aufgabe H3 (3 Punkte)

Lösung: Damit f(g(x)) = x gilt, muss g(x)=y die Umkehrfunktion von f(x) sein.

Berechnen Sie die schraffierte Fläche in Abhängigkeit von a und b! Aufgabe H4 (3 Punkte) Berechnen Sie die schraffierte Fläche in Abhängigkeit von a und b!

Lösung:

Aufgabe H5 (3 Punkte)

Lösung:

Lösung:

Aufgabe H6 (3 Punkte) Die Seitenflächen eines Quadrats sind 18cm2, 40cm2 und 80cm2. Wie groß ist sein Volumen?

Lösung:

Lösung: