Der k-d-Baum Richard Göbel

Eigenschaften des k-d-Baums Binären Baum Jeder innere Knoten teilt die Punktmenge bezüglich des Wertes einer Dimension Es existieren verschiedene Arten des k-d-Baums

Beispielmenge von Punkten

k-d-Baum für die Beispielmenge

Klassischer k-d-Baum Jeder Knoten enthält genau einen Punkt Die Dimension wechseln sich für die Ebenen des Baumes nach einer Vorgabe ab (z.B. 1, 2, . . ., d, 1, 2, . . ., d, . . .) In Abhängigkeit von der Reihenfolge der Punkte beim Einfügen ergibt sich kein balancierter Baum Was ist hier der ungünstigste Fall? Eine lokale Reorganisation des Baumes ist im Allgemeinen nicht möglich!

Adaptiver k-d-Baum Annahme: Die Menge der Punkte ist vollständig bekannt. Jeder innere Knoten enthält den Wert einer Dimension als Aufteilungswert (nicht zwingend Wert eines Punktes) Die Dimension für einen Knoten kann beliebig gewählt werden

Erzeugung eines balancierten k-d-Baums 5 10 15

Beispiel für einen adaptiven k-d-Baum

Probleme bei der Aufteilung einer Menge

Lösungansätze zur Aufteilung Veränderung der Werte durch Addition sehr kleiner Zahlen, Erzeugung der Originalwerte durch Rundung Punkte, deren Wert identisch mit dem Aufteilungswert ist, können beliebig zugeordnet werden. Verwendung anderer Regionen als Hyperquader: Beispiel Binary Space Partitioning Tree

Algorithmen für k-d-Bäume Einfügen: einfach Löschen: problematisch (lokale Reorganisation) Suchen: über universellen Ansatz möglich Vergleiche die Region der Suchbedingung mit der Region eines Knotens Setze das Suchverfahren an Knoten fort, deren Region sich mit der Suchregion überlappt

Bestimmung der Hyperquader für alle Knoten Der Wurzel des k-d-Baums wird für jede Dimension ein Bereich zugeordnet, der alle Werte enthält (-,+). Nachfolger eines Knotens: übernehme den Bereich des Elternknotens Setze für das linke Kind die Obergrenze des zugehörigen Werts auf den Aufteilungswert Setze für das rechte Kind die Untergrenze des zugehörigen Werts auf den Aufteilungswert.

Beispiel für die Bestimmung der Regionen 6,10 3,7 12,14 9,4 4,13 2,2 13,11 3,6 7,9 <[-,+], [-,+]> <[-,7], [-,+]> <[7,+], [-,+]> <[-,7], [-,6]> <[-,7], [6,+]> <[7,+], [-,11]> <[7,+], [11,+]> <[-,4], [6,+]> <[4,7], [6,+]>

Zeitkomplexität für dieses Verfahren Einfügen: Tiefe des Baumes Löschen: im schlechtesten Fall linear? Mehrdimensionale Bereichssuche: