Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Eine fremde Person bietet mir ein Glücksspiel mit seiner Münze an: Wenn „Kopf“ kommt, gewinne ich 1 Euro Wenn „Zahl“ kommt, verliere ich 1 Euro Wir werfen 10mal die Münze und es kommt nur 1mal Kopf. Welches Szenario ist am plausibelsten: a) Die Münze war unfair mit: p1=P({Kopf})=0,9 b) Die Münze war fair und somit: p2=P({Kopf})=0,5 c) Die Münze war unfair mit: p3=P({Kopf})=0,2

Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Lösung: Am intuitivsten wäre wohl c) p3=P({Kopf})=0,2. Denn wäre a) p1=P({Kopf})=0,9 richtig, wäre es doch extrem unwahrscheinlich, dass bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt: Pp1({10 Münzwürfe: 1mal Kopf})= ≈ 0,000000009 Wäre b) p2=P({Kopf})=0,5 richtig, wäre die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen nur einmal Kopf zu erhalten: Pp2({10 Münzwürfe: 1mal Kopf})= ≈ 0,0098 Bei c) p3=P({Kopf})=0,2 wäre es aber gar nicht so unwahrscheinlich, dass bei bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt: Pp3({10 Münzwürfe: 1mal Kopf})= ≈ 0,2684

Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Gäbe es einen noch plausibleren Schätzer für p? Bei welcher Schätzung für p wäre es am wahrscheinlichsten gewesen, dass bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt? Wir berechnen für jeden möglichen Schätzwert von p die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen nur einmal Kopf zu bekommen (und nennen dies Likelihoodfunktion L(p)= ) und tragen die Werte in eine Grafik ein.

Man sieht, dass es dann am wahrscheinlichsten ist, dass bei 10 Würfen nur einmal Kopf kommt, wenn pML =0,1. Der Wert der Likelihood ist an dieser Stelle deutlich höher als z.B. bei p3 = 0,2: PpML({10 Münzwürfe: 1mal Kopf}) ≈ 0,3874 > Pp3({10 Münzwürfe: 1mal Kopf}) ≈ 0,2684

Idee: Maximum-Likelihood Schätzer Diesen Wert pML = 0,1 nennen wir Maximum-Likelihood Schätzung (weil er die Likelihoodfunktion maximiert). Wir hätten pML auch direkt berechnen können: 1. Schritt: Likelihoodfunktion anschreiben: L(p)= 2. Schritt: Log-Likelihood berechnen: l(p)=log(L(p))= 3. Schritt: Log-Likelihood nach p ableiten und 0 setzen:

Idee: Maximum-Likelihood Schätzer 4. Schritt: pML ausrechnen: (Dieser Schätzwert pML (für die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf kommt) ist eigentlich logisch. Immerhin ergab ja auch 1 von 10 Würfen Kopf.)