1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. Lehrstuhl für Mathematik und Physik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei guncaga@fedu.ku.sk

1, 2, 3, ... Relationen Beispiel. Ich bereite mich auf das Abitur vor. Dazu mache ich diesen Plan: M-Mathematik, P-Physik, E-Englisch, D-Deutsch, M G-Geschichte. P E D G Mo Di Mi Do Fr

Relationen 1, 2, 3, ... Menge T = {Mo, Di, Mi, Do, Fr} Menge F = {M, P, E, D, G} Relation R = {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P], [Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, M]} (die geordnete Paare) Relation ist jede Teilmenge des Kreuzproduktes der beiden Mengen (R  TF).

1, 2, 3, ... Abbildungen A B f verboten

1, 2, 3, ... Abbildungen Eine Relation f nennen wir die Abbildung f: A  B, wenn jedes Element xA genau ein Element yB zum Partner hat. Wir schreiben statt [x, y] f y = f(x). R – reelle Zahlen Im Fall, wenn A  R und B = R, die Abbildung f ist die Funktion.

1, 2, 3, ... Abbildungen A B f Surjektion

1, 2, 3, ... Abbildungen A C g Injektion

1, 2, 3, ... Abbildungen A D h Bijektion Die Mengen A und D sind äquivalent, A  D.

Natürliche Zahlen wie Kardinalzahlen 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen wie Kardinalzahlen S - das Mengensystem Kardinalzahl A= {X  S ; X  A} A= D Natürliche Zahlen sind Kardinalzahlen von allen Mengen, die endlich und nicht leer sind. 2 a 1 b 2 …

Natürliche Zahlen wie Kardinalzahlen 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen wie Kardinalzahlen Operationen und Anordnungen Wenn A  B=  (Durchschnitt), dann A+B= A  B(Vereinigung). Die Kardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich dem Produkt der Kardinalzahlen von A und B: A.B= A  B Wenn A  B* und B*  B, B*  B (eigene Teilmenge), dann A  B.

Natürliche Zahlen als Peano - Menge 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen als Peano - Menge Das Männchen von Giuseppe Peano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ein Modell für Peano – Axiome

Das Männchen von Giuseppe Peano 1, 2, 3, ... Das Männchen von Giuseppe Peano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Das Männchen von Giuseppe Peano 1, 2, 3, ... Das Männchen von Giuseppe Peano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen lebt an einer Zahlengerade von den natürlichen Zahlen. Es kann nur auf den natürlichen Zahlen vorwärts gehen. Es kann einen Schritt nur zur nächsten natürlichen Zahl machen.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen kann immer einen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahl zur nächsten natürlichen Zahl machen. Axiom Nr. 1: Jede natürliche Zahl a hat genau einen (mindestens und höchstens einen) Nachfolger a´ in der Menge von natürlichen Zahlen.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen kann keinen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahl zur natürlichen Zahl 1 machen. Axiom Nr. 2: 1 kann kein Nachfolger für eine natürliche Zahl sein (1 ist also die kleinste natürliche Zahl).

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Männchen stehen auf zwei verschiedenen natürlichen Zahlen. Sie machen einen Schritt vorwärts. 2 Männchen stehen wieder auf zwei verschiedenen natürlichen Zahlen. Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene natürliche Zahlen haben auch verschiedene Nachfolger.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen hat einen Topf mit roter Farbe vor sich. Es steht auf einer natürlichen Zahl. Es malt diese natürliche Zahl rot an. Es macht einen Schritt vorwärts und es steht auf einer natürlichen Zahl. Es malt diese natürliche Zahl auch rot an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, es macht einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Regel für Mahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen,

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen,

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält;

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;

Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;

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Regel für das Männchen und Peano - Axiome 1, 2, 3, ... Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M; M ist die Menge N selbst (M=N).

Natürliche Zahlen als Peano - Menge 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen als Peano - Menge Operationen und Anordnungen Addition: a) x + 1 = x´ b) x + y = (x + y)´ Multiplikation: a) x . 1 = x b) x . y´ = x . y + x Wenn für die natürlichen Zahlen a, b gilt: b = a +x und x ist eine natürliche Zahl, dann gilt auch: a  b.

Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Das Männchen ist müde! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!