Pion-Diffusion in Kernen Daniel Dobos Daniel Weber Seminar: Computational Physics Dortmund, 29.06.2001 06.07.2001 13.07.2001
3. Monte Carlo Integration 4. Algorithmus Inhalt 1. Motivation 1.1 Neutrino-Oszillation 1.2 Hinweise auf Neutrino-Oszillation 1.3 Long Baseline Experimente 2. Theorie 2.1 Pion Erzeugung 2.2 Grundannahmen und Formulierung des Transportproblems 2.3 Kerneffekte a) Ladungsaustausch b) Absorption und Streuung 3. Monte Carlo Integration 3.1 Grundlagen 3.2 Lepage Integration 4. Algorithmus 4.1 Struktur 4.2 Funktionen 4.3 g-factor 4.4 Integration 5. Literatur
1. Motivation 1.1 Neutrino-Oszillation: In 2 flavour case: e = Mischungswinkel entspricht Cabibbowinkel im Quark-Sektor Mischungswinkel bestimmt Amplitude Massendifferenz bestimmt Frequenz Suche nach Ausschluß-Konturen und „Erlaubten Gebieten“ in m2/sin22 - Diagrammen: Folgen bei Existenz: nicht alle gleiche Masse, d.h. nicht alle m = 0 Leptonenzahl L nicht streng erhalten Widerspruch zu SM P 1 P( ) 1/m2=1/m2-m2e sin22 P( e) x
1. Motivation 1.2 Hinweise auf Neutrino-Oszillation: - LSND sieht Neutrino-Oszillation (1997) jedoch Widerspruch zu KARMEN - Superkamiokande (Juni 1998) Vergleich von Atmosphären-Neutrinos: Gut verträglich mit: 2 flavour case sin22 0,85 510-4 eV2 < m2 < 610-3 eV2 ~15 km 6! Super-kamiokande Erde Atmosphäre Monte Carlo ohne Oszillation ~13.000 km
1. Motivation 1.3 Long Baseline Experimente: - K2K (KEK to Kamiokande) (Juni 1999) • Protonenstrahl (12 GeV, 1.1 s) trifft auf Aluminium Target Erzeugung von Pionen • Fokussierung der Pionen durch Magnetic Horn Erhöhung des Neutrino-Flusses • Zerfall der Pionen: + + + • + durch dump shield abgefangen • Front Detektor (300m) + 1 kton Cherenkov-Detektor mit mehreren hundert PMT´s Bestimmung des Neutrino-Flusses wie bei Superkamiokande
1. Motivation + SCIFI (SCIntillating FIber) Detektor; 200 m dicke Scintillatoren zwischen Wassertargets Messung des Neutrino-Flusses über Rekonstruktion entstandener Teilchen + Bleiglas array Messung entstandener Elektronen im SCIFI + Myonen Kammer; Abwechseln Eisenplatten und Drahtkammern Messung des Myonenspektrums durch Neutrino WW • Trigger über TOF (Time Of Flight) und Richtung Wahrscheinlichkeit für Atmosphärisches Neutrino 0,01%
1. Motivation • Superkamiokande (250km) 50 ktons Cherenkov (22,5 ktons effektiv) bis Juni 2000: 28 Neutrino Ereignisse gemessen 37,8 (+3,5, -3,8) Neutrino Ereignisse erwartet Neutrino-Osz. zu 90% wahrscheinlich Ziel: 99% in den nächsten Jahren - MINOS (2003?) 26Fe56-Scintillator Detektor (Fermilab Soudan Mine, 730 km) - OPERA / ICARUS (2005?) 18Ar40-TPC Detektor (CERN Gran Sasso, 732 km)
2. Theorie 2.1 Erzeugung von Pionen Gewöhnlich betrachtet man in - Experimenten quasiel.Streuung, z.B.: Bei hinreichend hohen Energien der können aber auch folgende Prozesse auftreten: charged current - Reaktionen (1a) neutral current - Reaktionen (1b)
2. Theorie 2.2 Formulierung des Transportproblems: Im folgenden sollen nun also die Reaktionen (1a) und (1b) genauer untersucht werden. Zuerst lassen sie sich als 2 – Schritt – Reaktionen auffassen: (i) - Erzeugung (ii) WW der mit der Kernmaterie In diesem Vortrag wollen wir uns auf (ii) konzentrieren. Im hier betrachteten Energiebereich (“ - Resonanz”) gilt für den Wirkungsquerschnitt der - Nukleon – Streuung: Die Hauptbeiträge dieser Winkelverteilung liefern die Vorwärts – und Rückwärtsstreuung 1 – dimensionales Modell als gute Näherung
2. Theorie Weitere Bedingungen: • N - Reaktionen im Bereich der - Resonanz Isospin 3/2 - Kanal • Kern mit gleich vielen p und n • - Streuung an gebundenen N wie an freien • E() ändert sich nicht bei el. Streuung • Kern als Fermigas mit Dichte (r) und unabh. n und p. Der entscheidende Parameter für den Transport im Kern ist die Kerndichte. Sie ist hier in der harmonic well – Parametrisierung gegeben: Man muss nun noch eine effektive Länge des Kerns definieren, außerhalb derer die Pionen als frei angenommen werden können: (b = impact parameter)
2. Theorie Betrachtet man die Pionenenddichte nach einer Streuung, so ist diese durch eine Matrix mit der Anfangsdichte verknüpft: Mit den Eigenwerten und den Eigenvektoren von , läßt sich dann die Mehrfachstreuung durch wiederholte Anwendung von auf beschreiben: Da die anderen Reaktionen unabhängig von dieser Matrixstruktur sind, kann man schreiben mit und Bruchteil d. Pionen, die nach n Reaktionen den Kern verlassen.
2. Theorie Wir wollen nun noch einen Zusammenhang zwischen dem Wirkungsquerschnitt der N - Streuung und herstellen: Hier ist der Produktionspaulifaktor. stellt den dreifach diff. WQ (incl. aller Korrekturen) dar. Für die Beziehung von und wählt man folgenden Ansatz:
2. Theorie Da es 3 Isospin - Zustände der Pionen gibt, läßt sich M durch 3 Größen parametrisieren: Durch die Gleichsetzung lassen sich dann die Elemente der Matrix M bestimmen.
2. Theorie 2.3 Kerneffekte (A) Ladungsaustausch Die Elemente der Matrix können durch eine Clebsch – Gordan – Analyse bestimmt werden. Das N – Matrixelement läßt sich wie folgt darstellen: Clebsch – Gordan – Koeff. reduz. Matrixelement Damit erhalten wir z. B.: Alle anderen Terme sind 0 wegen Isospin – Erhaltung oder Beschränkung auf 3/2 – Kanal
2. Theorie Das Matrixelement ist dann die Wahrscheinlichkeit, bei festem Ausgangszustand j aus allen Endzuständen l den Endzustand k zu erreichen: Die Eigenvektoren und Eigenwerte sind dann:
2. Theorie Entwickelt man schließlich nach diesen Eigenvektoren so kann man die Elemente der Transportmatrix bestimmen Schließlich erhält man als Ergebnis Nun muß noch die Funktion bestimmt werden.
2. Theorie (B) Absorption und Streuung Betrachte Kern als 1 - dim. Medium d. Länge L. Gesucht: = Anzahl d. , die Medium rechts (links) verlassen. = Wahrscheinlichkeit für Vorwärts - (Rückwärts - ) Streuung Bestimme Wahrscheinlichkeit, ein Pion, das sich nach n-1 Kollisionen am Ort y in Richtung j bewegte, im Intervall dx um x mit Bewegungsrichtung i zu finden. (i,j = rechts oder links)
2. Theorie Hierfür abkürzende Dirac - Notation: Anfangsdichte d. m. Bewegungsrichtung i: mit Normierung: Dichte nach n Kollisionen: Anzahl d. Pionen, die nach n Kollisionen das Medium verlassen = Gesamtanzahl d. Pionen im Medium nach n Kollisionen - Anzahl d. Pionen, die ein weiteres Mal im Medium wechselwirken werden:
2. Theorie Mit den weiteren Abkürzungen: folgt dann Dabei wurde folgende Identität verwendet: Durch einfaches Nachrechnen sieht man, dass
2. Theorie Damit erhält man: Im letzten Schritt wurde (#) verwendet und der Ausdruck definiert.
2. Theorie Nun ist also zu berechnen. Hierzu wählt man den Ansatz: Daraus folgt Die Berechnung von f() reduziert sich damit auf die Bestimmung von v(yl). Wir verwenden nochmals (#):
2. Theorie und erhalten so Mit Hilfe der Definitionen von P(xi|yj) sieht man, dass v(xj) und w(xj) folgende Symmetrieeigen - schaften aufweisen: Somit folgt für v eine Integralgleichung Multiplikation mit exp(y) und Differentiation nach y liefert die Differentialgleichung:
2. Theorie Der homogene Teil dieser DGL lautet mit der Lösung Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist so dass man insgesamt erhält Damit sind wir am Ziel angelangt, durch Einsetzen kann man nun und damit f() bestimmen.
2. Theorie Das Ergebnis lautet bzw. für den geraden und den ungeraden Anteil
3. Monte Carlo Integration 3.1 Grundlagen: - Grundlegend Schwierigkeit der „computational“ Physik: Berechnung von komplizierten mehrdimensionalen Integralen, z.B. Berechnung von Streu-Amplituden in der Feynman Peturbations Theorie - Charakteristik der Monte Carlo Integration: • zuverlässiger Fehler für das Integral wird gleichzeitig berechnet • Der Integrand muß nicht kontinuierlich und stetig sein. Integration über Hypervolumen mit unregelmäßiger Kontur „straightforward“ • Konvergenz-Rate ist unabhängig von der Dimension des Integrals - Hauptproblem: Exponentieller Wachstum der nötigen Auswertungen mit steigender Dimension des Integrationsvolumens: z.B. 5-Punkt Gauss- Legendre Integration in 9 Dimensionen benötigt 59 2×106 Auswertungen - Integral einer Funktion von n Variabeln über Volumen : [3.1] Man wählt zufällig M Punkte x, aus einer Verteilung von Punkten in mit einer Dichte p(x)
3. Monte Carlo Integration Das Integral kann jetzt genähert werden als: [3.2] wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion auf eins normiert ist: [3.3] S(1) fluktuiert um den wahren Wert des Integrals, wenn verschiedene Sätze von Zufalls-Punkten gewählt werden. Die Varianz der Fluktuation ist gegeben durch: [3.4] für große M kann man nähern: [3.5] wobei: [3.6] ist. Die Standard-Abweichung ist ein Maß für die Genauigkeit von S(1) Als Schätzung von I, und ist nur zuverlässig, wenn folg. Integral endlich ist: [3.7]
3. Monte Carlo Integration Für festgehaltenes M gibt es zwei Standard- Methoden zur Reduzierung der Varianz von 2: • Importance sampling: Die Dichte p(x) wird variiert, und die optimale Varianz ist erreicht, wenn: [3.8] Die Auswertung des Integrals wird auf Bereiche mit den größten Werten konzentriert • Stratified sampling: Das Integrationsvolumen wird in N kleinere Volumen mit variierender Größe unterteilt; Monte Carlo in jedem Unter- volumen mit M/N Zufalls-Punkten; Variation der Varianz durch Änderung der Größen und Lage der einzelnen Untervolumen; Minimum erreicht, wenn Beiträge zu 2 aller Untervolumen gleich (= 2/N) Auswertung des Integrals konzentriert auf Bereiche mit größten potentiellen Fehlern, d.h. Bereiche mit größten Werten und großer Steigungen der Funktion 3.2 Lepage Integration: - Adaptives Monte Carlo Verfahren, d.h. mit Importance sampling, nach Peter Lapage (1978)
4. Algorithmus 4.1 Struktur: M f() weiß + grün + rot g(W,Q2) wieß + grün + blau 2 3 4 5 6 7 (3,3) q g q0 k +p h+ h- k0 tot + - abs + - T f L(b)
4. Algorithmus 4.2 Funktionen:
4. Algorithmus 4.3 g-Faktor:
5. Literatur • Y. Fukuda et al.; Phys. Lett. B 433(1998) 9 • Y. Fukuda et al.; Phys. Rev. Lett. 81(1998) 1562 • Long Baseline neutrino oscillation experiment, from KEK to Kamiokande; http://neutrino.kek.jp/intro/k2k.html • Current Status of K2K (July, 1998); http://neutrino.kek.jp/news/9807.STATUS/ • Artificial Neutrino Beam Detected After Passing Through 250km Of Earth; http://neutrino.kek.jp/news/990628.1stSK/ • Present status of the K2K Long Baseline Neutrino Oscillation Experiment (March, 2001) http://neutrino.kek.jp/news/2001.03.01.News.Up/ • S.L. Adler, S. Nussinov, E. A. Paschos; Phys. Rev. D 9 (1974) 2125 • M. Nowakowski; Dissertation; Universität Dortmund; 1988 • E. A. Paschos, L. Pasquali, J.Y. Yu; Nucl. Phys. B 588 (2000) 263 • G. Peter Lepage; A New Algorithm for Adaptive Multidimensional Integration; Journal Of Computational Physics 27, 192-203 (1978)