Bisherige Vorlesungen: Beschreibende Statistik Datenerfassung, Datenkomprimierung (-zusammenfassung) Wichtige Eigenschaften der gegebenen Daten Techniken: Darstellungsarten, Häufigkeitsberechnung, Mittelwerte, Streumaße Vorlesung 6.11.2006: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsbegriff

Aufgabe der Stochastik: Erinnern Sie sich an unsere erste Vorlesung? Unsere Ausgangsfrage war die folgende: Zufall ??? Arbeitsdefinition: Vorgänge, Erscheinungen, deren Ausgang man im Vorhinein nicht mit Sicherheit voraussagen kann Aufgabe der Stochastik: Zufällige Phänomene erfassen, beschreiben, logische Schlüsse ziehen

Zufallsversuch, zufälliger Vorgang. Zufallsexperiment: Ein Experiment, das unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist , und dessen Ausgang nicht mit Sicherheit vorhersagbar ist: verschiedene mögliche Ausgänge, wobei nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann, welches eintreten wird. Zufallsversuch, zufälliger Vorgang.

Beispiel: Zufälliges Experiment Knobeln Bedingungen: Wir bilden Spielerpaare. Keiner der Spieler verfolgt eine bestimmte Strategie, sondern entscheidet völlig willkürlich. Mögliche Handstellungen: „Schere“, Papier“, Stein“. Es gelten die üblichen Regeln. Zufälliges Experiment: Ein Spiel besteht in einer einmaligen Handstellungswahl durch beide Spieler und dem Aufnotieren der eingetretenen Handstellungskombination.  verschiedene Handstellungskombinationen sind möglich; wir wissen im Voraus nicht, welche eintreten wird.

Bitte bilden Sie Spielerpaare und wiederholen Sie das Experiment 27x.  Bitte notieren Sie Ihre 27 Handstellungskombinationen.

Möglichkeit, die Spielergebnisse zu notieren: Strich-Tabelle  Häufigkeitstabelle Schere Papier Stein Berechnen Sie für Ihre Serie von Versuchsergebnissen die zugehörigen 9 relativen Häufigkeiten. Schere Papier Stein

Def. Die Menge W aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum (Ergebnismenge). Jede Teilmenge des Ergebnisraumes heißt (zufälliges) Ereignis. Die 1-elementigen Ereignisse heißen Elementarereignisse.

Ereignisraum: W = Menge der Experimentausgänge = Knobel-Beispiel: Ereignisraum: W = Menge der Experimentausgänge = = { (Schere , Schere) , (Schere , Papier) , (Schere , Stein) , (Papier , Schere) , (Papier , Papier) , (Papier , Stein), (Stein , Schere) , (Stein , Papier) , (Stein , Stein) } Achtung: Wir notieren die einzelnen möglichen Ergebnisse in der Form (Ergebnis Spieler 1, Ergebnis Spieler 2) Anzahl der Elemente der Menge W = Anzahl der Elementarereignisse des Zufallsexperiments Knobeln = 32 Schreibweise: Familie der 9 mög-lichen Ausgänge des Knobelexperiments Schere Papier Stein

Beispiel für ein mögliches Ereignis beim Zufallsexperiment Knobeln: Ereignis E1 : Spieler 1 gewinnt  E1 = { (Sch , P) , (P , St) , (St , Sch) } Schere Papier Stein (Sch , P) (P , St) (St , Sch) Das Ereignis E1 setzt sich aus den 3 Elementarereignissen (Sch , P) , (P , St) , (St , Sch) zusammen.

erhaltenes Elementarereignis w E Sprechweise: Das Ergebnis E ist bei der Durchführung des Zufallsexperiments eingetreten, wenn ein Elementarereignis w realisiert wurde, das zu E gehört: erhaltenes Elementarereignis w E Knobel-Beispiel: Bei der Durchführung des Spiel ist es zu dem Ergebnis (St , Sch) gekommen  wegen ist das Ereignis E1 = „Spieler 1 gewinnt“ eingetreten.

Ereignis E2 = „Spieler 2 gewinnt“ = { (Sch , St) , (P , Sch) , (St , P) } Schere Papier Stein (Sch , St) (P , Sch) (St , P)

Schere Papier Stein (Sch , St) (P , Sch) (St , P) Schere Papier Stein (Sch , P) (P , St) (St , Sch) E1 E2 Schere Papier Stein Vereinigungsmenge E1 E2 = Menge alle Elementarereignisse w, die zu E1 oder zu E2 gehören = { (Sch , P) , (Sch , St) , (P , Sch) , ( P , St) , (St , Sch) , (St , P) }

= Menge aller Elementarereignisse w , die zu E1 und zu E2 gehören Schere Papier Stein (Sch , St) (P , Sch) (St , P) Schere Papier Stein (Sch , P) (P , St) (St , Sch) E1 E2 Schere Papier Stein Durchschnitt E1 E2 = = Menge aller Elementarereignisse w , die zu E1 und zu E2 gehören = Ø = leere Menge = unmögliches Ergebnis

Achtung: Jedes Ereignis eines zufälligen Experiments lässt sich durch eine bestimmte Eigenschaft charakterisieren: Unmögliches Ereignis Ø: „Es gibt kein Elementarereignis, das Element dieses Ereignisses ist.“ Sicheres Ereignis W : „Jedes eingetretene Elementarereignis gehört zu diesem Ereignis.“ Der Ereignisraum W kann also zugleich auch als Ereignis aufgefasst werden – als Ereignis, das alle Elementarereignisse umfasst. E1: „Spieler 1 gewinnt.“ E1 E2: „Spieler 1 oder Spieler 2 gewinnt .“

Gegenereignis zum Ereignis E = Komplementärereignis zum Ereignis E = Menge aller Elementarereignisse, die nicht zu E gehören = W – E Schreibweise: Schere Papier Stein Knobel-Beispiel: : „Spieler 1 gewinnt nicht. “ E1 Sch P St

Häufigkeiten bei Zufallsexperimenten Beispiel: Zufallsexperiment: 1x Würfeln mit einem normalen Spielwürfel, Aufnotieren der gewürfelten Augenzahl Bedingungen des Zufallsexperiments Ereignis E : „Die gewürfelte Augenzahl ist > 4.“ = {5 , 6} ( W = {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 } ) Wir führen unser Experiment (n=) 20 mal durch.  Frage: Wie oft ist das Ereignis E in dieser Versuchsserie eingetreten?

h20(„Die gewürfelte Augenzahl ist > 4.“ ) = = h20({5,6}) = …………………. Führen Sie das Würfel-Experiment 20x durch, notieren Sie die 20 geworfenen Augenzahlen, berechnen Sie die relative Häufigkeit für das zufällige Ereignis „Die gewürfelte Augenzahl ist > 4.“ für Ihre Augenzahl-Serie. h20(„Die gewürfelte Augenzahl ist > 4.“ ) = = h20({5,6}) = ………………….

Wie oft ist das Ereignis E in dieser Versuchsserie eingetreten? Meine Versuchsserie (6.11.2006, Beginn: 7:00 Uhr) 2 6 3 1 3 3 1 5 4 2 6 6 3 1 5 6 2 4 1 5 Auftrittshäufigkeit für das Ereignis E = „Gewürfelte Augenzahl ist > 4.“: H20(E) = 7  h20(E) =

Eigenschaften der relativen Häufigkeit: Gegeben sei ein Zufallsexperiment und eine Serie von n Versuchsdurchführungen.  Liste von n Elementarereignissen, die bei dieser Serie von Versuchsdurchführungen eingetreten sind. Für jedes Ereignis zu diesem Zufallsexperiment lässt bezüglich dieser Serie die zugehörige relative Häufigkeit berechnen. hn(W) = 1 hn(Ø) = 0 0 hn(E) 1 für jedes Ereignis E. hn(E) = hn({w1 , … , wk}) = hn({w1}) + … hn({wk}) (E={w1 , … , wk}) hn(E1 E2) = hn(E1) + hn(E2) , falls E1 E2 = Ø

Frage: Lässt sich aus Eintrittshäufigkeiten auf Eintrittschancen für Ereignisse schließen? Wie große ist die Chance, beim einmaligen Würfeln mit einem normalen Spielwürfel eine Augenzahl > 4 zu würfeln? Zufälliger Versuch Ereignis E Versuchsbedingungen Wir suchen nach einer Möglichkeit, eine allgemeingültige Aussage zur Eintrittschance eines zufälligen Ereignisses zu machen, eine Aussage, die also nicht von der konkreten Versuchsserie abhängt, die wir durchgeführt haben.

Beobachtungen: Bei zahlreichen und bei langen Versuchsserien kristallisiert ein gemeinsamer Grenzwert heraus: hn(E)  empirische Wahrscheinlichkeit von E hn(E) konvergiert (strebt) für immer größeres n gegen eine bestimmte Zahl Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Fast immer gilt: Die relative Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses weicht für immer längere Versuchsserien beliebig wenig von einem festen Grenzwert ab. Diese „Grenzzahl“ wird empirische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E genannt. Symbol: P(E).

Zufallsexperiment, zufälliges Ereignis E, Frage nach der Eintrittschance von E. Mögliches Vorgehen: Wir führen das Experiment n-mal durch. (n möglichst groß!) Wir berechnen die relative Eintrittshäufigkeit von E für diese Versuchsserie. Unsere Aussage über die Eintrittschance von E: P(E) hn(E), berechnet für unsere Versuchsserie Achtung: Auf diese Weise gewinnen wir nur einen Näherungswert für die gesuchte Chance von E.

Knobel-Beispiel: Wie groß ist die Chance, beim Knobeln zu gewinnen, wenn Sie Spieler 1 sind?  Ereignis E1 = „Spieler 1 gewinnt bei 1 x Knobeln.“ Unser Vorgehen: Sie haben sich eine Ergebnis-Serie von 27 Handstellungs-kombinationen verschafft. Sie haben diese 27 Kombinationen aufnotiert in der Form (Handstellung des 1. Spielers , Handstellung des 2. Spielers). Für jeden dieser 27 Versuchsausgänge können Sie feststellen, ob es zum Ereignis „Spieler 1 gewinnt.“ gehört oder nicht.  relativen Eintrittshäufigkeit von E1 für Ihre Serie:

Welche Vermutung haben Sie für die Eintrittschance des Ereignisses „Spieler 1 gewinnt “ ?  tragen Sie hier Ihre Vermutung ein: Begründung:

Diese relative Eintrittshäufigkeit von E ist Ihr Näherungswert für die unbekannte Eintrittschance P(E) für das Ereignis E. Achtung: Eine andere Versuchsserie kann / wird einen etwas anderen Näherungswert liefern! Aufgabe: Beim Verlassen des Hörsaals tragen Sie bitte Ihre 27 Handstellungskombinationen für das Knobelspiel in die ausgelegten Listen ein. (Von jedem Spieler-Paar trägt bitte jeweils nur eine/ einer die Ergebnisse in die Liste ein!)

Ereignis E1 = „Spieler 1 gewinnt“ beim Knobeln:  Ihre Vermutung war: Empirische Wahrscheinlichkeit P(E1) = …… P(E1) hängt vermutlich ab von der Gesamtanzahl der möglichen Versuchsausgänge (hier: = 32 = 9 ) und vom Umfang des Ereignisses E (hier: = 3) Wir warten, ob die Auswertung unserer konkreten Versuchsserie von 27x……….. Versuchsdurchführungen diese Vermutung bestätigen wird. ( 15.11.2006)

Schwierigkeiten bei der Bestimmung der empirischen Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses: Beliebig große Anzahl von Versuchsdurchführungen (unendlich viele Versuchsdurchführungen) ist unmöglich. „Stabilisierung der relativen Häufigkeiten gilt nur „fast immer“ – es können „Ausreißer“ auftreten. Empirische Wahrscheinlichkeit liefert nur einen Näherungs-wert (einen vermutlichen Wert) für die Eintrittschance des untersuchten Ereignisses. Anliegen: Neben der empirischen Wahrscheinlichkeit auch exakte Berechnungsmöglichkeit für Eintrittschancen zu haben! Erst dann macht es Sinn, von der Eintrittschance eines zufälligen Ereignisses zu sprechen.

Laplace-Experimente Zufallsexperimente mit endlich vielen möglichen Ausgängen, bei denen jedem Elementarereignis dieselbe Eintrittschance zugeordnet werden kann. Beispiele: (1) Knobeln: Keine besonderen Strategien zulässig.  Jede mögliche Handstellungskombination ist gegenüber jeder anderen Kombination „gleichberechtigt“.  Jede Kombination hat prinzipiell die gleiche Chance realisiert zu werden. (2) 1 x Würfeln mit einem normalen Spielwürfel: Der Würfel ist ungezinkt.  Keine Augenzahl ist gegenüber einer anderen Augenzahl bevorrechtet.  Jede Augenzahl hat die gleiche Chance geworfen zu werden.

 W = {(W(appen) , Z(ahl)) , (W , W) , (Z , W) , (Z , Z)} (3) 2 x Werfen einer „normalen“ Münze, Notieren, welche Seite nach jedem der beiden dem Würfe oben liegt:  W = {(W(appen) , Z(ahl)) , (W , W) , (Z , W) , (Z , Z)} Achtung: Wir notieren die einzelnen Wurfergebnis-Paare in der realisierten Reihenfolge: (Ergebnis des 1. Wurfs , Ergebnis des 2. Wurfs) Jedes der 4 möglichen Ergebnisse hat die gleiche Realisierungschance wie jede der 3 anderen.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) Französischer Mathematiker, der insbesondere auch wichtige Beiträge zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung geleistet hat. Def. Es sei W der Ergebnisraum eines Laplace-Experiments: Wir betrachten das zufällige Ereignis E: P(E) = heißt die (Laplace-)Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E.

W = Menge der möglichen Handstellungspaare Knobel-Beispiel: W = Menge der möglichen Handstellungspaare = { (Sch , Sch) , (Sch , P) , (Sch , St) , (P , Sch) , (P , P) , (P , St) , (St , Sch) , (St , P) , (St , St) } = 9 Ereignis E1 = „Spieler 1 gewinnt“ = { (Sch , P) , (P , St) , (St , Sch) }  = 3 = Anzahl der für E „günstigen“ Spielausgänge Laplace- Wahrscheinlichkeit von E1 = P(E1) =

Anwendung des empirischen Gesetzes der großen Zahlen auf unser Knobel-Beispiel: hn(E) stabilisiert sich für immer größere n-Werte (n = Versuchsserienlänge) Der Grenzwert (= die von uns vermutete Eintrittschance von E1), d.h. die empirische Wahrscheinlichkeit, stimmt mit der Laplace- Wahrscheinlichkeit von E1 überein: P(E1) =

0 P(E) 1 für jedes Ereignis E Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit: P(W) = 1 P(Ø) = 0 0 P(E) 1 für jedes Ereignis E P(E) = P({w1 , … , wk}) = P({w1}) + … P({wk}) (E={w1 , … , wk}) P(E1 E2) = P(E1) +PE2) , falls E1 E2 = Ø Analoge Eigenschaften, wie wir sie schon für relative Häufigkeiten kennen gelernt haben!

Beispiel: Versuchsbedingungen: 2 gleichlange Seile werden jeweils in der Mitte zusammengefaltet. Diese Faltstellen werden beide gleichzeitig in die Hand genommen und die Faust geschlossen, so dass die Faltenden nicht mehr zu sehen sind. Versuchsdurchführung: Die Aufgabe besteht darin, je zwei der herunterhängenden Seilenden willkürlich zusammenzubinden. Interessierendes Ereignis: Nach dem Öffnen der Faust stellt sich heraus, dass durch das Zusammen-binden ein einziger „Ring“ entstanden ist. Frage: Handelt es sich bei diesem Versuch um ein Laplace-Experiment? Wie groß ist die Eintrittschance für das uns interessierende Ereignis?

Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung: Zufälliger Versuch  Ergebnisraum W Ereignis Elementarereignis Sicheres Ereignis W, unmögliches Ereignis Relative Häufigkeit für das Eintreten eines Ereignisses in einer konkreten Versuchsserie empirische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit