Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI)

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI)"—  Präsentation transkript:

1 Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI) Fachgebiet Computational Intelligence Sommersemester 2006

2 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden2 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden 1. Ansatz: Gewichtete Summe wobei Idee: Vektorielles Problem umwandeln in skalares Problem

3 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden3 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Skalares Ersatzproblem (m = 2) Umformen ergibt Geradengleichung: wird minimiert bei Optimierung des skalaren Problems F z finde Gerade mit minimalem z, so dass F gerade noch berührt wird Tangentialpunkte mit F z min w1w1 w2w2

4 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden4 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Definition 4.1: Sei Menge aller Vektoren, die für gegebene Gewichte w i die gewichtete Summe minimieren, wobei w 2 int(C m ).

5 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden5 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Satz 4.1: S(F) µ F*. d.h. jeder durch Summenbildung mit positiven Gewichten gefundene Zielvektor ist effizient! Beweis von Satz 4.1: Wenn z* 2 S(F), dann existiert w 2 int(C m ), so dass 8 z 2 F: Annahme: z* F*. Dann existiert z 2 F, das z* dominiert: z Á z* bzw. im Widerspruch zu ( * ). bzw. (mal w i > 0) (*)(*)

6 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden6 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden 2. Ansatz: Referenzpunktmethode wobei z 0 Referenzpunkt. Definition 4.2: Der Zielvektor heisst idealer Punkt. Wie wählt man Referenzpunkt? Anmerkung: Idealer Punkt bei konfliktären Zielen nicht erreichbar.

7 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden7 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden min-max-Methode Tschebyscheff- Methode

8 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden8 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden f1f1 f2f2 F z0z0

9 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden9 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Erweiterungen: weighted metric method Abweichungsterme je Ziel gewichten rotated weighted method zusätzlich rotieren achsenparallel rotiert

10 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden10 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Satz 4.2: Sei z 0 der ideale Punkt eine mehrkriteriellen Problems und 1 r < 1. Jede optimale Lösung des skalaren Ersatzproblems ist Pareto-optimal. Beweis: (durch Widerspruch) Ann.: Sei x* optimale Lösung des Ersatzproblems, aber x* nicht Pareto-optimal. ) 9 x 2 X: 8 i: f i (x) f i (x*) und 9 k: f k (x) < f k (x*). ) 8 i: 0 f i (x) – z i 0 f i (x*) – z i 0 und 9 k: 0 f k (x) – z i 0 f k (x*) – z i 0 ) i ( f i (x) – z i 0 ) r < i ( f i (x*) – z i 0 ) r ) x* nicht opt. für Ersatzproblem! WIDERSPRUCH zur Annahme.

11 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden11 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden 3. Ansatz: Goal Attainment wobei w i zu wählende Gewichte

12 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden12 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Anmerkungen: bei systematischem Variieren der Gewichte alle Lösungen auf konvexem Zielbereich auffindbar kann nicht alle Lösungen im nicht-konvexen Bereich finden kann Lösungen finden, die nicht Pareto-optimal ( ausfiltern, wenn möglich)

13 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden13 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden 4. Ansatz: Kompromissmethode ( – constraint method) wobei i erlaubter Höchstwert für Ziel i Prozedur: systematisches Variieren der i liefert Pareto-optimale Lösungen (auch für nicht kegelkonvexes F)

14 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden14 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden f1f1 f2f2 F 1 min! z*

15 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden15 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden f1f1 f2f2 F 2 min! z*

16 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden16 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden 5. Ansatz: Lexikografische Methode Idee: m monokriterielle Probleme, zunehmend angereichert mit Nebenbedingungen …Lösung von (m) = multikriterielle Lösung

17 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden17 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Probleme: 1.Reihenfolge der Ziele muss vorgegeben werden 2.Häufig keine natürliche Priorisierung vorhanden willkürliche Reihenfolge 3.Verschiedene Reihenfolgen Verschiedene Lösungen! Fazit: Ohne natürliche Zielpriorisierung erhält man beliebige Lösung!

18 Rudolph: MOMH (SS 2006) Kap. 4: Skalarisierungsmethoden18 Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden Zusammenfassung bzgl. Skalarisierungsmethoden 1. 9 Lösungen, die diesen Methoden verborgen bleiben 2.bei einmaliger Anwendung nur eine Lösung zudem: a-priori-Auswahl von Gewichten, Schranken, etc. fragwürdig 3.bei mehrmaliger Anwendung mehrere Lösungen falls Gewichte, Schranken, etc. systematisch variiert und dominierte Lösungen ausgefiltert werden 4.stillschweigende Annahme: monokriterielle Optimierung einfach aber: auch monokriterielle Optimierung ist schwierig! multimodale Probleme, lokale Lösungen welche Verfahren?


Herunterladen ppt "Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI)"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen