Black Box Algorithmen Hartmut Klauck Universität Frankfurt SS 05 22.4.

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1 Black Box Algorithmen Hartmut Klauck Universität Frankfurt SS 05 22.4.

2 K-Färbbarkeit Ein Graph heisst k-färbbar, wenn es eine Partition der Knoten in k Mengen gibt, wobei keine Kante innerhalb einer der Mengen verläuft 2-färbbare Graphen: bipartit Entscheidung von 3-Färbbarkeit ist NP-vollständig ! Dennoch testbar!

3 K-Färbbarkeit Tester [AK99]: Ziehe O(k log k 2 ) Knoten Frage alle Kanten Bestimme, ob k-färbbar Ja: akz., nein: verw. Fragen: O(k 2 log 2 4 ) Zeit: exp(k log k/ 2 ) Also testbar!

4 K-Färbbarkeit Beweis eines etwas schwächeren Resultats verläuft ähnlich wie bei Bipartitheit NP-Vollständigkeit schliesst Testbarkeit nicht aus!

5 Das Testparadigma im Matrixmodell Es wird ein Subgraph ausreichender Grösse gesamplet, und dann auf Grapheigenschaft getestet Theorem 4.1. [GT01]: Jede testbare Grapheigenschaft [im Matrixmodell] kann auch durch getestet werden, indem ein Subgraph uniform zufällig gewählt wird, alle Kanten im Subgraph gefragt werden, und dann auf dem Subgraph eine Grapheigenschaft entschieden wird Die Anzahl der Fragen steigt von q auf 2q 2

6 Beweis Ein Tester heisst nichtadaptiv, wenn alle seine Fragen unabhängig von den Antworten am Anfang feststehen (dürfen abhängig von der Randomisierung sein) Tester folgend dem Subgraph Paradigma sind offensichtlich nichtadaptiv Schwächerer Beweis: exponentieller blowup der Fragenanzahl Bewahrt immer noch Testbarkeit

7 Beweis Gegeben: beliebiger Property Tester für eine Grapheigenschaft P Schritt 1: Umwandlung in nichtadaptiven Tester Random bits seien am Beginn festgelegt Bei q Fragen gibt es 2 q verschiedene Antwortmuster Frage alle! Insgesamt q 2 q Fragen, nun nichtadaptiv Genauer: in Schritt i gibt es 2 i-1 mögliche Fragen, insgesamt 2 q

8 Beweis Also nun gegeben: nichtadaptiver Tester, q viele Fragen Gesucht: Tester, der Subgraphparadigma folgt Es gibt · 2q Knoten in der Folge von Fragen Frage alle inzidenten Kanten, also O(q 2 ) Damit wird ein Subgraph gefragt, und dies nichtadaptiv Noch zu zeigen: Erreiche uniforme Verteilung Entscheide eine Grapheigenschaft

9 Beweis Grapheigenschaften sind invariant unter Permutation der Knoten Neuer Tester: Bestimme zuerst eine zufällige Permutation von {1,…,n} Lasse den alten Tester laufen, bilde Fragen des Testers mit der Permutation ab D.h. Auf Frage (i,j) Antwort ( (i), (j)) Klar: Algorithmus hat selbe Korrektheitseigenschaft wie zuvor Ebenfalls: Jeder Subgraph hat nun dieselbe Wahrscheinlichkeit, gefragt zu werden

10 Beweis Genauer gesagt: Ein Graph wird akzeptiert mit einer Wahrscheinlichkeit, die der Erwartungswert ist über die Ws. dass seine Permutationen akzeptiert werden Analoges für Verwerfen Wenn vorher immer ¸ 2/3, dann nachher auch

11 Beweis Noch zu zeigen: Tester entscheidet eine Grapheigenschaft auf dem Subgraphen Egal, was der vorherige Tester getan hat, nach der Transformation ist seine Akzeptierungs/Verwerfungsws. invariant unter Knotenpermutation D.h. nun Entscheidung auf einem Subgraphen nur noch vom Subgraphen abhängig, nicht von seiner Position im Graphen, aber noch randomisiert

12 Beweis Mache nun die Entscheidung deterministisch: Wenn Tester einen Graphen mit >1/2 akzeptiert, akzeptiere immer, sonst verwerfe immer Wie verhält sich der Fehler ? Beispiel: 1/3 aller Subgraphen werden mit Wahrscheinlichkeit 1 akzeptiert, alle anderen mit ½, insgesamt also Akzeptanz Nach Modifikation: Ausweg: verringere zuerst Fehler auf 1/6 Zu akzeptierende Graphen: Im schlimmsten Fall werden 1/3 aller Subgraphen mit ½ akzeptiert, alle anderen sicher. Gesamtakzeptanz 5/6. Nach Modifikation immer noch 2/3. Zu verwerfende Graphen analog

13 Beweis Erhalten also einen Tester, der Subgraph uniform wählt, und dann deterministisch eine Grapheigenschaft entscheidet [GT01] tun das Ganze mit nur quadratischem blowup in der Anzahl der Fragen

14 Idee GT01 Nicht zuerst nichtadaptiv machen Zuerst Wechsel zu Subgraph Test Dann Entscheidung unabhängig machen von der Position des Subgraphen Zum Schluss auf deterministische Grapheigenschaftstests modifizieren

15 Skizze Gegeben ein Tester Wenn q Fragen gestellt werden, sind nur 2q Knoten im Spiel Simuliere Tester Frage (i,j) im originalen Tester: Frage alle Kanten zu Knoten, die vorher einmal vorkamen Gesamt: 2q 2 Fragen, es wird ein Subgraph mit 2q Kanten komplett aufgedeckt

16 Skizze Gegeben Tester, der (adaptiv) Subgraphen mit 2q Knoten aufdeckt Jetzt wieder Tester mit zufälliger Permutation der Knoten simulieren Zeige jetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Subgraphen aufzudecken, uniform ist Genauer: Wenn i Knoten (und ihre Kanten zu vorherigen Knoten) gefragt sind, ist nächster Knoten uniform zufällig

17 Skizze Ersetze nun durch Algorithmus, der zu Beginn uniform einen Subgraphen wählt Entkoppelt Wahl Subgraph von Randomisierung im restlichen Tester Klar auch: Akzeptanzws. OK

18 Skizze Nun noch gegeben: Tester, der Subgraph wählt, und dan probabilistisch weiterrechnet Zeigen: Akz. Ws. unabhängig von Position des Subgraphen Dann: Deterministisch machen Es ergibt sich wieder Test einer Grapheigenschaft auf zuf. Subgraphen, diesmal polynomieller Grösse

19 Schlussfolgerung Wenn eine Grapheigenschaft P auf n Knoten testbar ist, dann Gibt es eine Konstante q( ) und eine Grapheigenschaft P auf q Knoten, so dass in einem -weit von P entfernten Graphen 2/3 aller Subgraphen mit q Knoten P nicht erfüllen Für Property Testing von Grapheigenschaften ist der Unterschied zwischen adaptiven und nichtadaptiven Algorithmen höchstens quadratisch

20 Clique Problem Sei p ein Parameter aus [0,1] Ein Graph hat Cliquendichte p, wenn es eine Clique mit pn Knoten gibt D.h. eine Menge aus pn Knoten, die alle paarweise miteinander verbunden sind p-Clique sei die Eigenschaft, Cliquendichte p zu haben Ein Graph ist -weit von p-Clique entfernt, wenn für jede Menge von pn Knoten n 2 Kanten zwischen ihnen nicht vorhanden sind

21 Clique Beachte: Clique zu entscheiden (gibt es eine Clique der Grösse n/2 z.B.) ist NP-vollständig Selbst eine Approximation mit einem Faktor n 1-o(1) ist schwer Theorem 4.2.: p-Clique ist testbar

22 Tester nach Paradigma Tester: Ziehe eine Subgraphen mit S=poly(1/ ) Knoten uniform Frage alle Kanten im Subgraphen Wenn es eine Clique mit (p- S Knoten gibt, akz, sonst verwerfe Relativ klar: wenn es eine Clique mit pn Knoten gibt, dann werden erwartet pS davon gezogen, mit guter Wahrscheinlichkeit wird akzeptiert Nicht so klar: verwerfen, denn pn Knoten, denen n 2 Kanten zur Clique fehlen sollen nicht zum Akz. führen Bemerkung: In diesem Beispiel ist Eigenschaft auf kleinen Graphen nicht exakt dieselbe wie auf grossem