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Graphenalgorithmen Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering / Experimentelle Algorithmen, LS11 WS 2006/06.

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1 Graphenalgorithmen Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering / Experimentelle Algorithmen, LS11 WS 2006/06

2 Kurz-Vorstellung Studium an Univ. Augsburg (WiMa/Math) Wiss. Mitarb. an Rice University, Houston (TX) Wiss. Mitarb. an FU Berlin Promotion an Univ. zu Köln (Inf) 1994 Habilitation am Max-Planck-Institut für Informatik, Saarbrücken 1999 Vertr.-Professur (C3) an Univ. Heidelberg (Inf) 1999 Lehrstuhl für Algorithmen und Datenstrukturen, TU Wien seit Dezember 2004: Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11

3 Algorithm Engineering Design, theoretische Analyse, Implementierung, und experimentelle Evaluation von Algorithmen und Datenstrukturen anwendungsorientiert

4 Forschungsinteressen Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen Kombinatorische Optimierung anwendungsorientiert

5 Graphenalgorithmen Datenstrukturen für Graphen Graphtraversierung: BFS, DFS Matching- und Assignmentprobleme: maximales Matching, Heiratsproblem Graphenfärbung: Landkartenfärbung Netzwerkdesign: MST, Minimum Steiner Tree Wegeprobleme: kürzeste, längste, TSP Flüsse in Netzwerken: max-flow, min-cost-flow Graphpartitionierung: st-min-cut, min-cut, max-cut Überdeckungsprobleme: vertex cover Spezielle Graphklassen: planare Graphen

6 Themen der VO: Probleme Heiratsproblem, Maximales Matching Graphenfärbungsprobleme Travelling Salesman Problem (TSP) Minimum Steiner Tree max-cut in planaren Graphen min-cost flow vertex-cover Test auf Klassenzugehörigkeit, z.B. planar externe Graphtraversierung: BFS externer Minimum Spanning Tree (MST)

7 Themen der VO: Methoden Effiziente Graphenalgorithmen (spezielle Verfahren) Algorithmen für Spezialklassen, z.B. planare Graphen, beschränkte Baumweite Branch-and-Cut, Schnittebenenverfahren, ILP Approximationsalgorithmen FPT- (Fixed-Parameter-Tractable) Algorithmen Externspeicheralgorithmen

8 Organisatorisches Zeiten: Vorlesung: Mo 12:15-13:45 Übung: Übungsaufgaben zum Nachdenken über behandelten Stoff, aber auch Originalartikel über Varianten klassische Übungen und Projektarbeit in Gruppen mit Präsentationen Termine: Di / Do um 14:15-15:45 Uhr Wie oft? 7-14-tägig, d.h. ca. 10 Termine Termine: Anmeldung: jetzt (Listen) Einteilung kommenden Montag

9 Schwerpunktgebiete Algorithmen, Komplexität und formale Modelle Computational Intelligence und Natural Computing Intelligente Systeme

10 Prüfungselemente Mündliche Fachprüfung: Über VO 2 inkl Ü 2: 6LP Anforderungen: Zusammenhänge des Gebiets Spezielle Fragestellungen einordnen und bearbeiten (ich hätte gerne: regelmäßige aktive Mitarbeit in Übungen, darf ich aber nicht fordern) Mündliche Prüfung: Stoff der VO und Ü, 20 Minuten

11 Prüfungselemente Leistungsnachweis: Über VO 2 inkl. Ü 2: 6LP Anforderungen: Regelmäßige aktive Mitarbeit in Übungen Mündliche Prüfung (in einer Art Fachgespräch): 15 Minuten

12 Literatur für diese VO Aktuelle Originalliteratur, Folien, VO-Mitschriften? Cook, Cunningham, Pulleyblank, Schrijver, Combinatorial Optimization, John Wiley and Sons, New York, 1998 Graphentheorie (weniger Algorithmen): F. Harary: Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, MA, 1969 R. Diestel: Graph Theory, 3. Auflage, Springer- Verlag, Heidelberg Graduate Texts in Maths, Vol. 173 (auch in deutsch); elektronische Ausgabe: graph.theory/download.html

13 1.Matchingprobleme 1.1 Das Heiratsproblem

14 Übersicht Problembeschreibung / Anwendungen Algorithmus Analyse des Algorithmus Korrektheit des Algorithmus Eigenschaften des Algorithmus Laufzeit des Algorithmus

15 Das Heiratsproblem Gegeben n Männer und n Frauen Jede Person hat eine nach persönlichen Präferenzen sortierte Liste aller Personen des anderen Geschlechts Gesucht Stabile Paarungen von jeweils einem Mann und einer Frau

16 Stabile Paarung? Balduin Caroline Doris Alfred

17 Stabile Paarung? Balduin Doris 1.Alfred 2.Balduin Caroline Alfred 1.Doris 2.Caroline Instabile Paarungen Es gibt zwei Personen die beide miteinander glücklicher wären als mit ihren zugeordneten Partnern

18 Fragestellung Existiert immer eine stabile Paarung? Wie berechnet man eine solche stabile Paarung?

19 Umfeld & Anwendung Umfeld: Matching- und Assignment-Probleme Anwendung: Zuordnung von Medizinstudierenden zu Krankenhäusern in den USA Zulassungen zu Colleges

20 Formale Definitionen M = Menge der Männer F = Menge der Frauen | M | = | F | Jeder m M hat Reihung < m (Totalordnung) aller Frauen f F Jede f F hat Reihung < f aller Männer m 1 < f m 2 bedeutet jeweils: f würde lieber m 1 als m 2 heiraten.

21 Formale Definitionen ff. Eine Paarung ist eine bijektive Abb. H:MF. Wir schreiben (m,f) H, H(m)=f, H - 1 (f)=m Eine Paarung H ist instabil, wenn es m M und f F gibt, so dass: 1.(m,f) H, d.h. m und f sind nicht verheiratet 2.m wäre lieber mit f verheirat als mit seiner Frau H(m) 3.f wäre lieber mit m verheiratet als mit ihrem Mann H - 1 (f)

22 Formale Definitionen ff. Eine Paarung ist stabil, wenn sie nicht instabil ist. Das Problem der stabilen Heirat ist es, eine stabile Paarung zu berechnen.

23 Beispiel M = {Anton, Bernd, Christoph} F = {Gabi, Heike, Iris} Anton: H,G,I Bernd: I,G,H Christoph: I,H,G Gabi: A,B,C Heike: B,C,A Iris: A,C,B Ist Paarung {AI, BG, CH} stabil?

24 Algorithmus von Gale & Shapley Alle Frauen und Männer sind unverlobt 2.While ( nicht verlobter Mann m M) { 3. m macht oberster Frau f auf Liste Antrag; 4. if ( f nicht verlobt): 5. verlobe m und f, d.h. (m,f) H 6. else if ( f zieht m ihrem akt. Partner m´ vor ){ 7. löse Verlobung (f,m´); 8. verlobe m,f; 9. m´ streicht f von seiner Liste } 10. else m streicht f von seiner Liste

25 Flora D, B, A, E, C Albert F, G, H, I, J Gabi A, B, C, D, E Heike A, B, C, D, E Iris C, A, B, D, E Julia A, B, C, D, E Balduin F, I, H, G, J Casper I, H, F, J, G Daniel G, F, I, H, J Egon J, I, G, H, F

26 Flora D, B, A, E, C Albert F, G, H, I, J Gabi A, B, C, D, E Heike A, B, C, D, E Iris C, A, B, D, E Julia A, B, C, D, E Balduin F, I, H, G, J Casper I, H, F, J, G Daniel G, F, I, H, J Egon J, I, G, H, F

27 Flora D, B, A, E, C Albert F, G, H, I, J Gabi A, B, C, D, E Heike A, B, C, D, E Iris C, A, B, D, E Julia A, B, C, D, E Balduin F, I, H, G, J Casper I, H, F, J, G Daniel G, F, I, H, J Egon J, I, G, H, F

28 Flora D, B, A, E, C Albert F, G, H, I, J Gabi A, B, C, D, E Heike A, B, C, D, E Iris C, A, B, D, E Julia A, B, C, D, E Balduin F, I, H, G, J Casper I, H, F, J, G Daniel G, F, I, H, J Egon J, I, G, H, F

29 Flora D, B, A, E, C Albert F, G, H, I, J Gabi A, B, C, D, E Heike A, B, C, D, E Iris C, A, B, D, E Julia A, B, C, D, E Balduin F, I, H, G, J Casper I, H, F, J, G Daniel G, F, I, H, J Egon J, I, G, H, F

30 Flora D, B, A, E, C Albert F, G, H, I, J Gabi A, B, C, D, E Heike A, B, C, D, E Iris C, A, B, D, E Julia A, B, C, D, E Balduin F, I, H, G, J Casper I, H, F, J, G Daniel G, F, I, H, J Egon J, I, G, H, F

31 Runde 5 Flora D, B, A, E, C Gabi A, B, C, D, E Heike A, B, C, D, E Iris C, A, B, D, E Julia A, B, C, D, E Casper I, H, F, J, G Egon I, J, G, H, F Albert F, G, H, I, J Daniel G, F, I, H, J Balduin F, I, H, G, J Kein Kandidat Jeder ist verlobt FERTIG

32 ABER: Terminiert der Algorithmus immer? Können am Ende Personen übrig bleiben? Sind die Paarungen stabil? Ist die Lösung des Algorithmus eindeutig? Ist die Lösung fair, oder bevorzugt sie die Männer oder die Frauen? Wie lange braucht dieser Algorithmus um die Lösung zu finden?

33 Terminiert der Algorithmus immer? Ja! Jeder Mann kann nur n mal einen Antrag machen In jeder Runde macht mindestens ein Mann einen Antrag Irgendwann ist die Liste jedes Mannes leer.

34 Können am Ende Personen übrig bleiben? Nein! # verlobter Männer = # verlobter Frauen Sobald eine Frau verlobt ist, bleibt sie bis zum Schluss verlobt (ggf. mit wechselndem Partner) Indirekter Beweis: Annahme: Ein Mann A und eine Frau B bleiben übrig Widerspruchsargument: A hätte B einen Antrag gemacht und sie hätte akzeptiert

35 Sind die Paarungen stabil? Ja! Indirekter Beweis: Balduin Doris 1.Alfred 2.Balduin Caroline Alfred 1.Doris 2.Caroline A hat D vor C einen Antrag gemacht: D hat akzeptiert: Sie hätte später nie A mit jmd. weiter unten in der Liste getauscht D hat abgelehnt: Sie war verlobt mit jmd. weiter oben auf der Liste als A. Sie hätte später nie diesen mit jmd. noch weiter unten als A getauscht.

36 Ist die Lösung fair? Nein! Männer haben Vorteile! Balduin 1.Doris 2.Caroline Caroline 1.Balduin 2.Alfred Doris 1.Alfred 2.Balduin Alfred 1.Caroline 2.Doris

37 Ist die Lösung fair? Nein! Männer haben Vorteile! Balduin 1.Doris 2.Caroline Caroline 1.Balduin 2.Alfred Doris 1.Alfred 2.Balduin Alfred 1.Caroline 2.Doris

38 Ist die Lösung fair? Wenn die Frauen die aktive Rolle hätten… Balduin 1.Doris 2.Caroline Caroline 1.Balduin 2.Alfred Doris 1.Alfred 2.Balduin Alfred 1.Caroline 2.Doris

39 Ist die Lösung fair? Wenn die Frauen die aktive Rolle hätten… Balduin 1.Doris 2.Caroline Doris 1.Alfred 2.Balduin Alfred 1.Caroline 2.Doris Caroline 1.Balduin 2.Alfred

40 Ist die Lösung fair? D.h. es existiert keine andere stabile Paarung, bei der ein Mann eine für ihn bessere Frau erhalten hätte… bzw. eine Frau einen für sie schlechteren Mann. Der Algorithmus findet unter allen stabilen Paarungen diejenige, die Männer-optimal und Frauen-pessimal ist.

41 Männer-Optimal – Indirekter Beweis Def.: Eine Frau f heißt für einen Mann m unerreichbar, wenn es keine stabile Paarung P mit (m,f) P gibt. Annahme: M1 wird im Algorithmus von F2 zurückgewiesen, und es gibt eine stabile Paarung P mit (M1,F2) P. O.B.d.A. sei dies das erste Mal, dass der Algorithmus einen Fehler macht. Wir zeigen: Falls ein Mann m von einer Frau f zurückgewiesen wird, ist die Frau für ihn unerreichbar.

42 Männer-Optimal – Indirekter Beweis ff Annahme: M 1 wird im Algorithmus von F2 zurück- gewiesen, und es gibt eine stabile Paarung P mit (M1,F2) P. O.B.d.A. erster Fehler des Alg. Sei M2 der Ehemann von F2 in H (von Algorithmus). M2 ist in H´ mit F3F2 verheiratet Fall 1: M2 mag F3 lieber als F2. Dann hätte der Algorithmus schon vorher einen Fehler gemacht, denn M2 hat in H F3 vor F2 schon einen Antrag gemacht. Fall 2: M2 mag F 3 weniger gerne als F2. M2: …F2…F3… F2: …M2…M1… Widerspruch zur Stabilität von P.

43 Männer-Optimal – Indirekter Beweis Annahme: Algorithmus (H): (M1,F1), (M2,F2), … Alternative stabile Paarung (P): (M1,F2), (M2,F3)… M1 mag F2 lieber als F1 erster Fehler des Algorithmus Folgerung: M1 wurde von F2 zurückgewiesen, d.h. F2 mag M2 lieber als M1 In (P): (M2,F3): M2 mag F3 lieber als F2 Widerspruch zu erster Fehler M2 mag F2 lieber als F3 Widerspruch zu Stabilität

44 Eindeutigkeit Das Ergebnis des Algorithmus ist eindeutig. Beweis: Seien H 1 und H 2 verschiedene m -optimale Lösungen. Dann existiert ein m, dem es in H 1 oder H 2 schlechter geht.

45 Frauen-Pessimal – Indirekter Beweis Beweis: Sei stabile Paarung H´H das schlechtest mögliche Arrangement für die Frauen. Dann existiert f mit (m,f) H und (m´,f) H´. m: xxxx < m f < m … (unerreichbare Frauen für m ) f: …m…m´… Widerspruch zur Stabilität von H´.

46 Laufzeit In jeder Runde gibt es mindestens einen Antrag Der Algorithmus endet spätestens, wenn alle Männer beim letzten Namen angekommen sind n Listen mit je n Einträgen = n 2 Einträge Maximal n 2 Anträge Aufwand pro Antrag: konstant (für alle Frauen init. Feld rank[1..m ]) Laufzeit ist O(n 2 ): quadratisch

47 Bemerkung zur Anwendung Wer die Rolle der Männer übernimmt? Werbetext für die Studierenden: You will be matched with your highest ranked hospital that offers you a position. Lange Zeit gingen die Betroffenen davon aus, dass der Algorithmus fair für beide Parteien ist. Wahrheit wurde erst im Jahr 1981 durch zwei große Artikel im New England Journal of Medicine bekannt. Der Algorithmus wird für die Medizin- studierenden in den USA verwendet. Krankenhäuser

48 Bemerkungen Das stabile Heiratsproblem ist ein Zuordnungsproblem im Umfeld der Matching- Algorithmen und Assignmentprobleme. Es kann als Perfektes Matching Problem in einem Graphen formuliert werden. Ein Matching ist eine Teilmenge von Kanten, die zu jedem Knoten höchstens einmal inzident ist. Ein perfektes Matching ist eine Teilmenge der Kanten, die zu jedem Knoten genau einmal inzident ist.

49 Literatur Schöne Abhandlung und Animationen von Harry Mairson: Tipp: Aktiv sein hilft!

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