Grundlagen der Elektrotechnik Vorlesung

Grundlagen der Elektrotechnik Vorlesung
Dr.-Ing. Jörg Stammen Bismarckstr. 81, Duisburg, BE 003 Tel.:

Inhalt Einführung Das elektrische Feld Der elektrische Strom
Elektrische Bauelemente I Gleichstromnetzwerke Das magnetische Feld Elektrische Bauelemente II Wechselstromkreise Drehstromsysteme Inhalt 2

Literatur [Bra2007] Brakelmann, H. : Grundlagen der Elektrotechnik I (siehe Downloadbereich der ETS) [Büt01] Wolf-Ewald Büttner: Grundlagen der Elektrotechnik 1, Oldenbourg Verlag; 2. Auflage, ISBN [Büt02] Wolf-Ewald Büttner: Grundlagen der Elektrotechnik 2, Oldenbourg Verlag; 2. Auflage, ISBN [STB2007] Horst Steffen, Hansjürgen Bausch: Elektrotechnik Grundlagen,Vieweg+Teubner Verlag, 6. Auflage 2007, ISBN 3

Literatur (Aufgabensammlungen)
[Lin01] Helmut Lindner: Elektro-Aufgaben Band 1: Gleichstrom HANSER FACHBUCHVERLAG; 29. Auflage 2009, ISBN [Lin02] Helmut Lindner: Elektro-Aufgaben, Bd. 2: Wechselstrom, Carl Hanser Verlag; 24. Auflage 2010, ISBN [Vöm01] Martin Vömel: Aufgabensammlung Elektrotechnik 1: Gleichstrom, Netzwerke und elektrisches Feld. Mit strukturiertem Kernwissen, Lösungsstrategien und –methoden, Vieweg+Teubner Verlag; 5. Auflage 2010, ISBN [Vöm02] Martin Vömel: Aufgabensammlung Elektrotechnik 2: Magnetisches Feld und Wechselstrom. Mit strukturiertem Kernwissen, Lösungsstrategien und –methoden, Vieweg+Teubner Verlag 5. Auflage 2010, ISBN 4

Literatur Download der Vorlesung und Übung:
oder: Benutzername: students Passwort: herrenwyk „50 WII Grundlagen der Elektrotechnik“ „70 MB Grundlagen der Elektrotechnik“ 5

Einführung 6

Geschichte der Elektrotechnik
17. Jahrhundert: Naturwissenschaftler interessieren sich zum ersten Mal für Elektrizität und ihre Erscheinungen. 1663: Otto von Guericke erfindet die erste Elektrisiermaschine, eine Schwefelkugel mit einer Drehachse, die Elektrizität durch von Hand bewirkte Reibung erzeugt. Einführung 7

1745: von Kleist und van Musschenbroek erfinden die Leidener Flasche (Urform des Kondensators). 1752: Benjamin Franklin erfindet den Blitzableiter. 1792: Luigi Galvani unternimmt das Froschschenkel-Experiment, welches zur Entwicklung der Galvanischen Zelle (Umwandlung von chemischer in elektrische Energie) führt. 1800: Alessandro Volta baut die so genannte Voltasche Säule, die erste funktionierende Batterie. 1820: Hans Christian Ørsted unternimmt Versuche zur Ablenkung einer Magnetnadel durch elektrischen Strom. 1820: André-Marie Ampère weist nach, dass zwei stromdurchflossene Leiter eine Kraft aufeinander ausüben. Ampère erklärt den Begriff der elektrischen Spannung und des elektrischen Stromes und legt die Stromrichtung fest. 1831: Michael Faraday entdeckt die elektromagnetische Induktion. 1860: Philipp Reis erfindet das Telefon und damit die elektrische Sprachübermittlung. 1864: James Clerk Maxwell veröffentlicht die maxwellschen Gleichungen; sie sind eine der grundlegenden Theorien in der Elektrotechnik. Einführung 8

1866: Werner von Siemens, Entdeckung des dynamoelektrischen Prinzips (selbsterregte Gleichstromgeneratoren ermöglichen Großmaschinenbau). 1879: Thomas Alva Edison erfindet das elektrische Licht (Kohlefadenglühlampe). 1880: Beginn der Elektrifizierung New Yorks mit Gleichspannung 1881: Gaulard und Gibbs stellen den ersten Transformator in London aus. 1883: erster Wechselstrommotor (Nicola Tesla). 1891: Durchbruch der Energieversorgung mit Drehstrom; ca. 100 kW werden über eine 15 kV-Freileitung 175 km vom Kraftwerk Laufen/Neckar zur elektrotechnischen Ausstellung in Frankfurt transportiert. 1905: John Ambrose Fleming erfindet die erste Radioröhre. 1906: entwickeln von Lieben und De Forest die Verstärkerröhre. 1926: John Logie Baird baut mit einfachsten Mitteln den ersten Fernseher. 1931: Manfred von Ardenne führt mithilfe der Kathodenstrahlröhre das elektronische Fernsehen ein. 1941: Konrad Zuse baut den ersten funktionsfähigen Computer, Z3. Einführung 9

1947: Erfindung des Transistors durch Shockley, Bardeen und Brattain 1958: Jack Kilby erfindet den Integrierten Schaltkreis (IC) und legt den Grundstein für die heutigen Prozessorchips. 1958: Devol und Engelberger bauen in den USA den ersten Industrieroboter. 1968: Marcian Edward Hoff erfindet bei der Firma Intel den Mikroprozessor. 1973: Bau des ersten PCs, Altair 8800 1978: Die Firma Philips erfindet die Compact Disc (CD) zur Speicherung digitaler Informationen. 1982: aus dem Arpanet geht durch Adaption von TCP/IP das Internet hervor 1985: erscheint die CD-ROM 1992: Das erste digitale Mobilfunknetz (D-Netz) wird in Deutschland eingeführt 1994: BellSouth und IBM vertreiben das erste Smartphone, den „Personal Communicator“ 1996: die Firma Honda präsentiert den ersten humanoiden Roboter, P2. Einführung 10

2002 Deutschland novelliert das Atomgesetz und beschließt den Ausstieg aus der Atomenergie. 2009 der erste deutsche Offshore-Windpark „alpha ventus“ in der Nordsee geht in Betrieb und liefert umweltfreundlichen Strom. …und die Geschichte geht weiter… Elektrische Energie und deren technische Nutzung ist aus dem heutigen Leben nicht mehr wegzudenken! Warum wurde ihr Nutzen so spät entdeckt? Einführung 11

Der Mensch und die Elektrizität
Der Mensch besitzt kein Sinnesorgan für Elektrizität. Lange hat er deshalb die Elektrizität nicht als eine weitere Form von Energie erkannt. Er ist nur in der Lage, elektrische Energie in Form von sekundären Erscheinungen wie z.B. Wärme (el. Heizung), Licht (Glühlampe, Blitz), akustische Signale (Radio) wahr zu nehmen. Elektrizität und Magnetismus lassen sich mit den bis dahin bekannten Begriffen der Mechanik nicht beschreiben. Im Bereich der Mechanik können viele Begriffe aus dem Alltag abstrahiert werden. Es existiert eine große Anschaulichkeit bei der Beschreibung physikalischer Vorgänge. Die Erscheinungen der Elektrizität und des Elektromagnetismus liegen außerhalb dieser Erfahrungswelt. Ausgehend von Experimenten werden mathematische Verfahren und Modelle entwickelt, die das Verhalten elektromagnetischer Erscheinungen beschreiben. Einführung 12

Beschreibung der Elektrizität durch Modelle
Diese Modelle müssen im Einklang mit übergreifenden physikalischen Gesetzen stehen. Zum Beispiel muss für alle Modelle, die die Wirkung der elektrischen Energie beschreiben, der Energieerhaltungssatz (in einem abgeschlossenen System muss die Energie immer konstant sein) erfüllt sein. Im den folgenden Kapiteln werden die Modelle „Elektrisches Feld“ und „Magnetisches Feld“ vorgestellt. In einem weiteren Kapitel werden für eine einfache mathematische Beschreibung die elektrischen Bauelemente entwickelt. In den weiteren Kapiteln werden mathematische Verfahren zur Beschreibung und Berechnung von elektrischen Netzwerken (Zusammenschluss mehrerer elektrischer Bauelemente) vorgestellt. Einführung 13

Das elektrische Feld 14

Die elektrische Ladung
Reibt man einen Bernstein an einem Fell, so lassen sich mit dem Stein kleine Papierschnipsel anziehen – eine Kraftwirkung, welche sich durch Gesetze der Mechanik nicht beschreiben lässt. Das Wort „Elektrizität“ leitet sich vom Griechischen Wort „Elektron“ ab, was nichts anderes als „Bernstein“ bedeutet. Zur Erklärung des Phänomens wird eine neue physikalische Eigenschaft herangezogen, die „Elektrizität“ bzw. die „elektrische Ladung“. Mit einfachen Apparaturen wie Elektrisiermaschinen oder Bandgeneratoren lassen sich Gegenstände elektrisch aufladen: Bandgenerator Elektrisiermaschine

Die elektrische Ladung/ Bohrsches Atommodell
Mit weiteren Experimenten (z.B. geriebener Hartgummistab und geriebener Glasstab) lassen sich anziehende und abstoßende Kräfte beobachten, was auf zwei unterschiedliche Arten von elektrischer Ladung schließen lässt. Ein kurzer Blick auf das einfachste Modell der Atomphysik (dem Bohrschen Atommodell) hilft bei der weiteren Erklärung: Die Atome aller 103 in der Natur vorkommenden chemischen Grundstoffe, (Elemente), kann man sich vereinfacht nach dem Bohrschen Atommodell aufgebaut vorstellen aus einem Atomkern und einer diesen umgebenden Atomhülle. Grundbausteine der Materie sind unter anderen: a) die Nukleonen im Atomkern: die elektrisch neutralen Neutronen sowie die nahezu massegleichen, positiv mit der Elementarladung „e“ geladenen Protonen b) die Elektronen in der Atomhülle: sie sind Träger der negativen, kleinstmöglichen Ladung „-e“.

Bohrsches Atommodell Es gilt e = 1,6.10-19 C .
Für 1 Coulomb (1 C = 1 As) als Einheit der elektrischen Ladung benötigt man 6, Protonen! Für die Zusammensetzung aller Atome gilt: wobei x die Zahlenwerte 0 bis 146 und y die Zahlenwerte 1 bis 103 annehmen können. Die Atome aller Elemente sind elektrisch neutral, da sich die Wirkungen der y positiven und y negativen Elementarladungen nach außen hin aufheben. Das Formelzeichen für die elektrische Ladung ist Q. Somit gilt für neutrale Atome: Einige Beispielatome sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Bohrsches Atommodell Atome mit gleicher Protonen- bzw. Elektronenanzahl haben gleiche chemische Eigenschaften. Unterscheiden sich solche Atome in ihrer Neutronenanzahl, so sind auch ihre Massen verschieden; man spricht von den unterschiedlichen Isotopen eines Elements. Im einfachsten Atommodell bewegen sich die Elektronen auf festen Bahnen, wobei sie durch die elektrostatischen Anziehungskräfte durch die Protonen an den Atomkern gebunden sind. Die Atomhülle weist bis zu 7 unterschiedliche Bahnen (Schalen) auf.

Bohrsches Atommodell (Beispiele)
Modell a) Wasserstoffatom, b) Kupferatom

Ladungstrennung/ Ionisation
Es ist möglich, ein Elektron (z.B. das Elektron auf der äußersten Bahn) vom Atom abzulösen – genannt Ionisation. Damit erhält man ein freies negativ geladenes Elektron und ein positiv geladenes Restatom (Ion). Lagert sich das freie Elektron an ein neutrales Atom an (z.B. um die äußere Schale aufzufüllen), entsteht ein negativ geladenes Ion. Somit gibt es zwei Arten elektrischer Ladung – positive und negative. Das elektrostatische Aufladen von Gegenständen erfolgt also durch Ladungstrennung. In Festkörpern, in denen Atome in einem bestimmten Verband miteinander verbunden sind (Kristallgitter), können sich Elektronen lösen und sich frei im Material bewegen. Man spricht von einem „Elektronengas“. Man unterscheidet drei Klassen von Materialien: Isolatoren, mit weniger als 107 freien Elektronen/cm3 bis 109 Elektronen/cm3 Bernstein, Teflon, Porzellan, Polyethylen, PVC Halbleiter, mit 1010 freien Elektronen/cm3 bis 1018 Elektronen/cm3 , z.B. IV-Hauptgruppe: Silizium (Si), Germanium (Ge), III-V Halbleiter: GaAs, InP) Leiter, mit ca freien Elektronen/cm3 Metalle, z.B. Au, Ag, Cu, Al).

Das elektrische Feld Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. Es existiert also eine Kraftwirkung zwischen den Ladungen, die anhand eines Modells erklärt werden soll. Eine Ladung verändert den Zustand des Raums in dem sie sich befindet; es wird ein „elektrisches Feld“ aufgebaut. Im Folgenden werden Punktladungen betrachtet. Wird eine zweite Ladung Q2 auf die Ladung Q1 zu bewegt, so muss Arbeit gegen das elektrische Feld verrichtet werden. Auf die Ladungen wirkt die Kraft:

Das elektrische Feld Ist die Kraftwirkung auf eine Punktladung Q2 in einem vorhandenen elektrischen Feld: dann verursacht die erste Punktladung Q1 eine elektrische Feldverteilung:

Die Permittivität e Befindet sich im Feldraum nicht Vakuum, sondern ein Isolierstoff, so verschieben sich die positiven und negativen Ladungen innerhalb der Atome des Isolierstoffes unter der Kraftwirkung des elektrischen Feldes. Die Atome bleiben zwar auf ihren festen Plätzen, werden aber deformiert und stellen somit elektrische Dipole dar. Dieser Effekt wird Elektronenpolarisation genannt. Bei Materialien, deren Gitter aus positiven und negativen Ionen aufgebaut ist, werden diese ebenfalls ausgerichtet. Dies nennt man Ionenpolarisation. Bei Materialien, deren Ladungsschwerpunkte bereits ohne Feld verschoben sind (z. B. Wasser ist eine polare Flüssigkeit), richten sich die Dipole nach dem Feld aus, man spricht von Orientierungspolarisation.

Die Permittivität e ist die Permittivität und drückt die Polarisierbarkeit eines Materials aus. Die Permittivität des Vakuums beträgt: Die Polarisierbarkeit eines Materials wird meistens als relative Größe bezogen auf das Vakuum angebeben, es gilt: Die folgende Tabelle gibt die relative Permittivität einiger gebräuchlicher technischer Werkstoffe an:

Die Permittivität Werkstoff er bei 20°C Glas 3,5...8 Glimmer 5...8
Hartgewebe Hartporzellan 5,5...6,5 Luft 1 Papier, imprägniert 2,5...4 Polyäthylen 2,3 Polyurethan 3,1...4 Quarzglas 4,2 Transformatorenöl 2,5

Überlagerung von Ladungen
Die zweite Punktladung baut natürlich ebenfalls ein elektrisches Feld auf. Bringt man sie in den Raum der ersten Ladung, überlagern sich die Felder zu einem Gesamtfeld (Superpositionsprinzip). Feldverteilung zweier gleich großer positiver Ladungen Feldverteilung einer positiven und negativen Ladung

Positive Ladungen stellen Quellen (Anfang), negative Ladungen die Senken (Ende) der Feldlinien dar. Dementsprechend ist des elektrische Feld ein Vektorfeld, d. h. die Feldstärke hat einen Betrag und eine Richtung. Das Feld einer positiven Punktladung Q zeigt in radialer Richtung: Allgemeine Berechnung des Feldes mehrer Punktladungen:

Berechnung der Feldstärke am Beispiel von zwei Ladungen:

Abstandsvektoren definieren:

Ergebnis:

Leitende Materialien Wird ein leitendes Material in ein elektrisches Feld eingebracht, durchsetzen die Feldlinien das Material. Auf die freien Elektronen werden Kräfte ausgeübt, die Elektronen bewegen sich. Die Ladungsverschiebung erfolgt innerhalb von t<10-12 s. Durch die Ladungsverschiebung entsteht ein sekundäres Feld, welches sich dem ursprünglichen überlagert, ein Feld, welches dem ursprünglichen entgegengerichtet ist.

Leitende Materialien Ein Gleichgewicht stellt sich ein, wenn das Innere des Leiters feldfrei ist. Dann ist die Kraft, die die Ladungen verschiebt, Null und keine weiteren Ladungen werden mehr verschoben. Die Feldlinien der resultierenden Feldverteilung stehen senkrecht auf dem elektrischen Leiter, werden quasi in den Leiter „hineingesaugt“.

Die Verschiebungsdichte D
Das vorherige Experiment wird mit zwei leitenden Platten wiederholt. Die Platten werden in ein elektrisches Feld eingebracht, die Ladungsträger verschieben sich (Influenz). Trennt man die Platten im elektrischen Feld, so ist der Feldraum dazwischen feldfrei. Bringt man die Platten außerhalb des Feldes, bleibt die Ladung erhalten und zwischen den Platten kann ein Feld gemessen werden.

Die influenzierte Ladung erzeugt ein Feld D, welches Verschiebungsdichte oder elektrische Erregung genannt wird. D beschreibt die Flächenladungsdichte, also die influenzierte Ladung pro Plattenfläche: Die elektrischen Ladungen sind die Ursache der Verschiebungsdichte. Legt man eine Integrationshülle um ein Gebiet und integriert über die Verschiebungsdichte, erhält man Informationen über die Ladungen innerhalb der Integrationshülle. Es gilt: 1. Grundgesetz der Elektrostatik

Beispiel: Integralhülle um die Platte mit der influenzierten Ladung (Streufelder werden vernachlässigt): Ohne Streufeld liefert nur die der anderen Platte zugewandte Plattenfläche einen Beitrag. Da die Verschiebungsdichte zwischen den Platten homogen ist, geht das Integral in eine Multiplikation über:

Elektrisches Feld und Verschiebungsdichte
Zwischen dem elektrischen Feld und der Verschiebungsdichte gilt der Zusammenhang: Damit gilt für die Verschiebungsdichte von Punktladungen: vergleiche elektrisches Feld einer Punktladung: Merke: Die elektrische Feldstärke E beschreibt die Kraftwirkung auf eine Probeladung und damit die Intensität eines elektrischen Feldes (materialabhängig über e). Die Verschiebungsdichte D ist ein Maß für die Anzahl der Ladungen und damit ein Maß für die Ursache (nicht materialabhängig!).

Das elektrische Potential
Experiment: Betrachtet wird wieder eine positive Kugelladung Q. Eine zweite, kleine positive Ladung, q befinde sich (am Punkt P0) fest in der Nähe der Kugelladung. Das elektrische Feld übt eine Kraftwirkung auf die kleine Ladung aus. Wird sie los gelassen, beschleunigt die Ladung, entfernt sich von der Kugelladung und und besitzt am Punkt P1 die kinetische Energie Wkin. Nach dem Energieerhaltungssatz muss die kinetische Energie vorher als potentielle Energie Wpot vorhanden gewesen sein.

Wkin ist die vom Feld geleistete Arbeit: Zur Beschreibung der potentiellen Energie einer Ladung an einem Punkt im elektrischen Feld wird das elektrische Potential j eingeführt: Die Einheit des elektrischen Potentials ist Volt: Bildet man den Gradienten des Potentials, gelangt man zur elektrischen Feldstärke: Die elektrische Feldstärke zeigt somit in Richtung des stärksten Potentialgefälles.

Feldlinien und Äquipotentialflächen
Flächen gleichen Potentials werden Äquipotentialflächen genannt. Feldlinien zeigen immer in die Richtung des größten Gradienten. Somit stehen Feldlinien immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen. Beispiele: Das elektrische Feld der zwei planparellen aufgeladenen Platten (Elektroden) ist senkrecht zu den Platten orientiert. Alle zu den Elektroden parallelen, waagerechten Flächen sind Äquipotentialflächen. Bei der Punktladung sind die Äquipotentialflächen konzentrische Kugeln.

Beispiel: Das elektrische Potential einer Punktladung Geht man davon aus, dass das elektrische Potential im unendlich fernen Punkt verschwindet, so gilt: Damit ist das Potential einer positiven Punktladung:

Die elektrische Spannung
Wird eine kleine Ladung von P1 nach P2 auf die Punktladung zu bewegt, steigt das Potential. Es gilt: wenn Die Potentialdifferenz wird als elektrische Spannung bezeichnet:

Merke: Die elektrische Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten. Die elektrische Spannung u entspricht damit der Arbeit W, bezogen auf die Ladung q, die vom elektrischen Feld geleistet wird, wenn diese Ladung q von Punkt P1 nach Punkt P2 transportiert wird. Es gilt: Zur Richtung des Spannungspfeils: Die Spannung ist positiv, wenn in Richtung des Feldes integriert wird, dementsprechend negativ, wenn die Integration in Gegenrichtung erfolgt. Es gilt:

Beispiel: Die elektrische Spannung zwischen den Platten mit und folgt: Achtung! ist die Arbeit, die das elektrische Feld leistet, um die Ladung q zu transportieren. Nicht zu verwechseln mit dem Energieinhalt Wel des elektrischen Feldes!

2. Grundgesetz der Elektrostatik
Dass das elektrische Feld eine Potentialfunktion u besitzt, deutet daraufhin, dass es sich beim zeitunabhängigen elektrischen Feld um ein konservatives Feld handelt. Bei einem konservativen Feld ist das Ergebnis der Integration unabhängig vom Integrationsweg: Das Vertauschen der Integrationsgrenzen…

2. Grundgesetz der Elektrostatik
führt zum 2. Grundgesetz der Elektrostatik: Die beim Transport einer Ladung im elektrostatischen Feld geleistete Arbeit ist bei einem geschlossenen Weg immer Null. Das Integral der elektrischen Feldstärke längs eines geschlossenen Weges verschwindet somit zu Null. 2. Grundgesetz der Elektrostatik

Energieinhalt des elektrischen Feldes
Gedankenexperiment: Es soll das elektrische Feld zwischen zwei Platten vergrößert werden. Ein elektrisch neutrales Teilchen wird getrennt und –dQ gegen das Feld auf die gegenüber liegende Platte transportiert. Hierzu muss die Arbeit aufgewendet werden, die als zusätzliche Energie im el. Feld gespeichert wird. Es ergibt sich:

Stellt man sich vor, dass das gesamte Feld zwischen den Platten so entstanden ist, muss über die Ladung der Platten integriert werden: mit: erhält man: mit: und: erhält man auch:

Merke: In einem homogenen elektrischen Feld mit der Feldstärke E, der Verschiebungsdichte D und dem Volumen V ist die elektrische Energie Wel gespeichert. Allgemein gilt für inhomogene Felder:

Grenzbedingungen geschichteter Dielektrika
Die elektrische Feldstärke ist abhängig vom Material. Befinden sich unterschiedliche Materialien im elektrischen Feld, stellt sich die Frage, wie sich das Feld an der Grenzschicht verhält. Betrachtet werden senkrecht und waagerecht geschichtete Dielektrika. Grenzschicht senkrecht zu den Elektroden bzw.

Merke: In der Grenzschicht ist die Feldstärke, die parallel zur Grenzschicht der Materialien liegt, stetig! Ist die Feldstärke nicht parallel zur Grenzschicht orientiert, so ist die Tangentialkomponente der Feldstärke stetig. Es gilt allgemein: bzw.

Merke: Die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke ist stetig! Aus folgt mit Die Tangentialkomponente der elektrischen Verschiebungsdichte springt in der Grenzschicht um: Folie: 51

Ist die Grenzschicht waagerecht zu den Elektroden angeordnet, ergibt sich mit: oder:

Merke: An einer Grenzschicht, die senkrecht zur Verschiebungsdichte orientiert ist und in der keine Ladung gespeichert ist, ist die Verschiebungsdichte stetig! Allgemein gilt: Ist die Grenzschicht nicht senkrecht zur Verschiebungsdichte orientiert, so ist die Normalkomponente der Verschiebungsdichte stetig! Aus folgt mit Die Normalkomponente der Feldstärke springt in der Grenzschicht um:

Dass die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke wesentlich von den Materialeigenschaften der Isolierung abhängt, ist in der Energietechnik von großer Bedeutung! Praktische Bedeutung: Immer dann, wenn innerhalb eines Isoliermaterials ein schmaler Gasspalt (Hohlraum oder Stoßfuge in einer Isolierung) auftritt, der vornehmlich senkrecht zur Feldrichtung orientiert ist, wird die Feldstärke um die Dielektrizitätszahl des Isoliermaterials angehoben (d.h. üblicherweise um den Faktor 2...6). Damit wird aber gerade der elektrisch schwächste Bereich der Isolierung – der Gasspalt - am stärksten beansprucht, so dass unerwünschte Durchschläge oft von solchen Fehlstellen ausgehen. Folie: 54

Stetigkeit des elektrischen Potentials: Das elektrische Potential ist gemäß Definition eine Integralfunktion und somit differenzierbar und stetig. Aus diesem Grund muss das elektrische Potentialfeld auch an der Grenzschicht stetig sein: Merke: Das elektrische Potential in der Grenzschicht zwischen zwei verschiedenen Materialien ist stetig! Es gilt: Folie: 55

Brechungsgesetz der Felder
Kombiniert man die Grenzbedingungen für die tangentialen und normalen Komponenten: und erhält man das Brechungsgesetz: Bei Austritt aus einem Material hoher in ein Material niedriger Dielektrizitätszahl werden die Feldlinien zur Flächennormalen hin gebrochen.

Das elektrische Feld Ende

Der elektrische Strom

Der elektrische Strom in Leitern
Es wird ein elektrisch leitendes Material (elektrischer Leiter) im elektrischen Feld betrachtet. Wie bereits besprochen, bewegen sich die Ladungsträger (Elektronen) aufgrund der Kraftwirkung. Werden die Enden des Leiters an eine Batterie angeschlossen, so entsteht durch die Spannung (Potentialdifferenz zwischen beiden Leiterenden) ein elektrisches Feld im Leiter. Die in Bewegung versetzten Elektronen können nun über die Zuleitungen in das Leitermaterial eintreten und am anderen Ende wieder austreten. Es entsteht ein elektrischer Strom.

Stromstärke und Ladung
Betrachtet man die Anzahl der Ladungsträger dQ, die pro Zeiteinheit dt durch die Querschnittsfläche ALeiter treten, erhält man den elektrischen Stom i: Integriert man die Stromstärke über die Zeit, in der sie fließt, so erhält man die durch den Leiterquerschnitt transportierte Ladung:

Stromstärke und Ladung
Beispiel: Gleichstrom; die Stromstärke ist über die Zeit konstant. Anmerkung: Die Stromstärke beschreibt den Fluss positiver Ladungsträger pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt. In metallischen Leitern wird diesem Strom tatsächlich eine Bewegung von Elektronen entsprechen in der ihm genau entgegen gesetzten Richtung. In leitfähigen Flüssigkeiten wiederum kann einem Strom durchaus eine Bewegung positiver Ionen in Stromrichtung entsprechen.

Stromstärke und Stromdichte
Bezieht man die Stromstärke i auf die Leiterquerschnittsfläche ALeiter, so gelangt man zur Stromdichte S: Im allgemeinen Fall inhomogener Stromdichte, also wenn der Strom sich nicht gleichmäßig über die Leiterquerschnittsfläche verteilt, gilt: mit n dem Normalenvektor, der senkrecht auf der Leiterquerschnittsfläche steht.

Die spezifische elektrische Leitfähigkeit
Merke: Je größer die Spannung über dem Leiter ist, desto größer die elektrische Feldstärke. Die Stromdichte wächst proportional mit der elektrischen Feldstärke. Es gilt: Proportionalitätskonstante k Wie groß die Stromdichte bei einer bestimmten Feldstärke ist, wird durch die Leitfähigkeit des Materials bestimmt. Die Proportionalitätskonstante k (Kappa) wird deshalb spezifische elektrische Leitfähigkeit genannt. Der Kehrwert der spezifischen el. Leitfähigkeit ist ebenfalls gebräuchlich und wird spezifischer elektrischer Widerstand r genannt:

Temperaturabhängigkeit des el. Widerstands
Die Temperaturabhängigkeit des spezifischen elektrischen Widerstands: Bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunktes schwingen die Atome um Ihre Gitterplätze. Mit steigender Temperatur nehmen diese Gitterschwingungen zu und reduzieren damit die mittlere freie Weglänge der Elektronen. Bei elektrischen Leitern macht sich dies makroskopisch in einer Erhöhung des spezifischen elektrischen Widerstandes mit steigender Temperatur bemerkbar. Bei Halbleitern erhöht sich durch die zugeführte thermische Energie die Anzahl der freien Elektronen im Material und überdeckt den Effekt der abnehmenden mittleren freien Weglänge. Bei Halbleitern nimmt deshalb der spezifische elektrische Widerstand mit steigender Temperatur ab. Es wird ein Temperaturkoeffizient a eingeführt. Mit folgender Gleichung wird der temperaturabhängige spezifische elektrische Widerstand berechnet: spez. el. Widerstand bei der Temperatur J spez. el. Widerstand bei Raumtemperatur linearer Temperaturkoeffizient Temperaturdifferenz (Erwärmung)

Der lineare Temperaturkoeffizient
Beim linearen Temperaturkoeffizienten sind drei Fälle zu unterscheiden:  > 0: R steigt mit steigender Temperatur, was für alle Metalle typisch ist. Als Temperaturmesswiderstände werden sie PTC-Widerstände (positive temperature coefficient) genannt.  = 0: R ändert sich nicht mit der Temperatur. Diese Eigenschaft ist wichtig für Präzisions- und Messwiderstände (Materialien z.B. Konstantan, Manganin).  < 0 : R fällt mit steigender Temperatur. So verhalten sich Halbleiterwerkstoffe und Isolatoren wegen des temperaturbegünstigten Entstehens zusätzlicher freier Ladungsträger. Aus solchen Materialien hergestellte Temperaturmessfühler werden NTC-Widerstände (negatitive temperature coefficient) genannt.

Der lineare Temperaturkoeffizient
Die folgende Tabelle gibt die spezifische elektrische Leitfähigkeit bzw. den spezifischen elektrischen Widerstand einiger gebräuchlicher Werkstoffe bei Raumtemperatur und den linearen Temperaturkoeffizienten an:

Spez. elektr. Widerstand einiger Werkstoffe
Metall/Legierung r20 W mm2/m k20 S m/mm2 a 1/K Kupfer 0,0179 56 0,0039 Aluminium 0,0286 35 0,0040 Wolfram 0,055 18 0,0041 Silber 0,016 62,5 0,0038 Zink 0,063 16 0,0037 Stahl 0,10...0,15 10...7 0,0045 Zinn 0,11 9 0,0042 Platin 0,11...0,14 9...7 0, ,003 Blei 0,21 4,8 Bronze 0, ,056 - Messing 0,07...0,09 0,0015 Konstantan 0,50 2 -0,00003

Das ohmsche Gesetz Liegt an dem betrachteten Leiter der Länge l die Spannung u an, so berechnet sich die elektrische Feldstärke im Leiter zu: Damit ergibt sich für die Stromdichte: Und für die Stromstärke: Nach der Spannung umgestellt:

Das ohmsche Gesetz Fasst man die Material- und Geometriegrößen zusammen: bzw. Erhält man das Ohmsche Gesetz: Merke: Die elektrische Stromstärke i in einem Leiter ist proportional zur Spannung u über dem Leiter. Die Proportionalitätskonstante R ist der elektrische Widerstand des Leiters.

Das ohmsche Gesetz Da der spezifische elektrische Widerstand r und der elektrische Widerstand R über verknüpft und somit proportional zueinander sind, gilt ebenfalls: Der Kehrwert des elektrischen Widerstands ist der Leitwert G: Der Einheit des Leitwerts ist Siemens:

Elektrischer Widerstand und Leitwert
Anmerkung: Wegen der Gleichung wird der spez. elektrische Widerstand auch mitunter in folgender Form angegeben (siehe Tabelle „Spez. elektr. Widerstand einiger Werkstoffe“: Leiterlänge in Metern Leiterquerschnitt in Quadratmillimetern

Die elektrische Leistung
Im Abschnitt „Das elektrische Feld“ wurde bereits die Arbeit berechnet, die das elektrische Feld beim Transport einer Ladung verrichtet. Die Spannung u ist die Spannung, die längs des Leiter (von Klemme 1 bis 2) abfällt. Es gilt: Für die Arbeit ergibt sich: Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit:

Die elektrische Leistung
dQ/dt ist die transportierte Ladung pro Zeiteinheit und entspricht der elektrischen Stromstärke i im Leiter: Merke: Liegt an einem Leiter die elektrische Spannung u an und fließt im Leiter ein Strom der Stromstärke i, so bringt das elektrische Strömungsfeld im Leiter die Leistung p = u . i auf. Weist der elektrische Leiter den elektrischen Widerstand R auf, so gilt unter Anwendung des Ohmschen Gesetzes: mit folgt:

Der elektrische Strom Ende

Elektrische Bauelemente I

Elektrische Bauelemente I
Bauelemente in der Elektrotechnik sind physikalische Geräte, die einen gewünschten funktionalen Zusammenhang z.B. zwischen der elektrischen Spannung und dem el. Strom realisieren. Hier werden zunächst die für Gleichstromnetzwerke wichtigen Bauelemente vorgestellt. Zu unterscheiden sind zwei Arten von Bauelementen: aktive Bauelemente bzw. elektrische Quellen ohne Anlegen einer Spannung von außen kann ein elektrischer Strom fließen. Spannungsquellen, Stromquellen Beispiele für Gleichspannungsquellen: Batterie, Gleichstromgenerator passive Bauelemente ohne Anlegen einer Spannung von außen kann in ihnen kein elektrischer Strom fließen. Bei Anlegen einer Spannung wandeln sie die el. Energie in Wärme um, speichern oder übertragen sie. Beispiele: Widerstand, Kondensator

Elektrische Quellen Starre oder ideale elektrische Spannungsquellen sind Spannungsquellen, die unabhängig von der Stromstärke eine konstante Spannung u0 aufweisen.

Elektrische Quellen Starre oder ideale elektrische Stromquellen sind Stromquellen, die unabhängig von der Belastung eine konstante Stromstärke i0 aufweisen. Bezugspfeile: Verbraucher nehmen elektrische Leistung auf. Die von Verbrauchern aufgenommene Leistung wird positiv gezählt, weshalb die Bezugspfeile für Spannung und Stromstärke bei Verbrauchern in dieselbe Richtung zeigen, damit das Produkt p = u . i positiv ist. Demzufolge werden bei elektrischen Quellen die Bezugspfeile für Spannung und Stromstärke in entgegen gesetzter Richtung eingezeichnet , da Quellen elektrische Leistung abgeben. (Verbraucher-Bezugspfeilsystem).

Elektrische Gleichspannungsquellen
Anmerkung: In der Realität gibt es keine elektrischen „Quellen“. Es handelt sich vielmehr um Energiewandler. Beispiele: Gleichstromgeneratoren - wandeln Rotationsenergie in elektrische Energie um Batterien - wandeln chemische in elektrische Energie um. Gleichstromgenerator nach Hefner-Alteneck (1873) Batterien

Widerstände Das Bauelement „elektrischer Widerstand“ stellt ein passives Bauelement dar. Es wird durch das nachstehende Ersatzschaltbild erfasst durch ein Schaltzeichen mit Richtungspfeil für Strom und Spannung (DIN ). Strom und Spannung zeigen in dieselbe Richtung (siehe Verbraucher-Bezugspfeilsystem). allgemeines Schaltsymbol Stufig einstellbarer Widerstand Schiebewider-stand

Widerstände Legt man eine Spannung u an den Widerstand an, so fließt entsprechend der Größe R ein elektrischer Strom der Stromstärke i. Das Produkt p = u . i beschreibt die elektrische Leistung, die in dem Widerstand in thermische Leistung umgesetzt wird. In Folge dessen erwärmt sich der Widerstand. Abhängig von den für das Bauelement eingesetzen Materialien verändert das Bauelement „Widerstand“ seinen Größenwert R. Geht man zum Beispiel von einem gewickelten Drahtwiderstand aus, wird bei größerem el. Strom der Drahtes sich stärker erwärmen, was bei Metallen zu einem steigenden el. Widerstand führt. Bestimmte Materialmischungen (z. B. Konstantan) gewährleisten innerhalb eines bestimmten Betriebsbereichs einen nahezu konstanten elektrischen Widerstand. Mit der folgenden Messschaltung kann die Linearität eines Widerstands geprüft werden:

Widerstände Es werden unterschiedliche Spannungen eingestellt und der Strom durch den Widerstand gemessen. Mit werden die Widerstandswerte bei unterschiedlichen Arbeitspunkten bestimmt. U-I-Kennlinie eines Widerstandes mit linearem und nichtlinearem Bereich

Verlustleistung an el. Widerständen
Anmerkung: Solange nicht gesondert erwähnt, werden Widerstände bei der Berechnung als linear (mit konstantem Größenwert) betrachtet. Im Folgenden wir die elektrische Verlustleistung an linearen elektrischen Widerständen betrachtet. Es gilt: Verdoppelt man die Spannung, so verdoppelt sich auch die Stromstärke: Somit erhält man für die Leistung: Merke: Bei linearen Widerständen wächst die elektrische Leistung quadratisch bei linearer Erhöhung des Stroms und der Spannung.

Verlustleistung an el. Widerständen
Quadratisches Wachstum der elektrischen Leistung am elektrischen Widerstand: Folie: 84

Widerstände Im Folgenden werden einige Bauformen von Widerständen gezeigt: Drahtwiderstand Widerstand im Keramikrohr glasierter Hochlastwiderstand im Metallgehäuse Folie: 85

Widerstände Einstellbarer Widerstand: „Trimmer“ genannt
Drahtwiderstände Massewiderstand (Consumer electronics) Metallschichtwiderstand

Widerstände Farbcode für Widerstandswerte nach DIN IEC 62 bzw. mit Temperaturkoeffizient nach DIN :

Widerstände Beispiel:

Kondensatoren Kondensator:
In den vorherigen Kapiteln wurden Ladungen auf zwei parallele Metallplatten aufgebracht, bzw. gespeichert. Diese Anordnung nennt man Kondensator bzw. Plattenkondensator. Je größer die angelegte Spannung an den Elektroden ist, umso größer ist die gespeicherte Ladung auf den Platten. Es gilt: Den hierbei wirksamen Proportionalitätsfaktor nennt man die Kapazität C der Anordnung. Die Einheit der Kapazität ist: Farad: zu Ehren des englischen Physikers und Chemikers „Michael Faraday“ Folie: 89

Kondensatoren Berechnung der Kapazität eines Plattenkondensators: mit
folgt: Folie: 90

Kondensatoren Der Zylinderkondensator:
Koaxialkabel (z.B. Antennenkabel) besitzen den Aufbau eines Zylinderkondensators. Der Innenleiter ist von einer koaxialen Isolierung umgeben auf der eine Schirmung aufgebracht ist. Zur Berechnung wird die elektrische Feldstärke E bzw. Verschiebungsdichte D benötigt! Folie: 91

Kondensatoren Kapazität des Zylinderkondensators: Folie: 92

Kondensatoren Kapazität des Zylinderkondensators: Folie: 93

Aufladen des Kondensators
Legt man an die ungeladenen Platten eines Kondensators eine Gleichspannung wie im nebenstehenden Bild an, dann fließen die Elektronen von der oberen Platte ab und werden zur unteren Platte transportiert. Es entsteht ein elektrischer Strom: mit folgt Mit dem Strom lädt sich der Kondensator auf und die Spannung u(t) zwischen den Platten wächst. Folie: 94

Aufladen des Kondensators
Ist der Verlauf des Ladestroms bekannt, so kann die Spannung zwischen den Platten berechnet werden: Weisen die Platten zu Beginn t0 bereits eine Ladung auf, so dass zwischen den Platten bereits eine Spanung besteht, dann gilt: Folie: 95

Energieinhalt des Kondensators
Die im Kondensator gespeicherte Energie berechnet sich mit Hilfe des Energieinhaltes des elektrischen Feldes: mit der Kapazität erhält man: Folie: 96

Schaltsymbol Das Bauelement „Kondensator“ stellt ein passives Bauelement dar. Es wird durch das nachstehende Ersatzschaltbild erfasst durch ein Schaltzeichen mit Richtungspfeil für Strom und Spannung. Strom und Spannung zeigen in dieselbe Richtung (siehe Verbraucher-Bezugspfeilsystem). Folie: 97

Kondensatoren Technische Bauformen von Kondensatoren:
Die folgende Abbildung zeigt Folien- und Keramikkondensatoren Stirnkontaktierter Wickelkondensator Keramik-Vielschicht-Kondensator Aufbau eines Kondensatorwickels Folie: 98

Kondensatoren Kondensatoren (Beispiele):
Keramik-Schichtkondensator: Elektroden mit einem keramischen Dielektrikum, für genau definierte Frequenzbereiche und einem definierten Temperaturverhalten. Elektrolytkondensator: Anoden-Elektrode mit einer Oxidschicht als Dielektrikum und einem Elektrolyt (elektrisch leitende Flüssigkeit) als Kathode. Kompakte Bauform aber hohe Kapazität, große Toleranz (20%). Folie: 99

Elektrische Bauelemente I Ende

Gleichstromnetzwerke

Der elektrische Stromkreis
Schaltet man eine Quelle (aktiver Zweipol) mit einem Verbraucher (passiver Zweipol) zusammen, so entsteht ein Stromkreis: Dieser geschlossene Stromkreis ist denkbar einfach: hier stimmt die Klemmenspannung UK mit der Spannung U0 der Spannungsquelle und der Spannung UR am Verbraucher überein. Quelle und Verbraucher werden von demselben Strom I durchflossen. Elektrische Netze bzw. Stromkreise sind oft weitaus komplizierter. Im Folgenden werden Regeln zur Berechnung von Netzwerken aufgestellt: Folie: 102

Die Kirchhoffsche Knotenregel
Knoten: Ein Punkt, von dem mehrere Stromzweige abgehen, nennt man Knoten. Ein Knoten kann keine Ladung speichern. Im Gleichstromkreis muss daher die Summe der auf den Knoten zufließenden Ströme gleich der Summe der von ihm abfließenden Ströme sein, da sonst eine Ladungsanhäufung im Knoten stattfinden würde. Merke: Die Summe aller dem Netzknoten zufließenden Ströme muss Null sein! Beispiel: Folie: 103

Die Kirchhoffsche Maschenregel
Masche: Unter einer Masche versteht man einen beliebig gewählten, aber geschlossenen Umlauf innerhalb eines elektrischen Netzwerkes. Merke: Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null! Beispiel: Folie: 104

Die Kirchhoffsche Maschenregel
Beispiel Fortsetzung: Diese Gleichung lässt sich nach den Quellspannungen umstellen: und besagt in dieser Form, dass die Summe aller treibenden Quellen-Spannungen in einer Masche gleich der Summe der Verbraucherspannungen ist. Merke: Die Maschenregel folgt zwingend aus dem Energieerhaltungssatz!. Eine Ladung q, die diese Masche durchläuft, nimmt in den beiden Spannungsquellen dieselbe Energie auf, die sie in den Verbrauchern wieder abgibt: Folie: 105

Reihenschaltung von zwei Widerständen
Reihenschaltung von Widerständen: mit dem ohmschen Gesetz: folgt: mit: ergibt sich: Folie: 106

Die Spannungsteilerregel
Reihenschaltung von Widerständen: Durch Umformen ergibt sich die Spannungsteilerregel: Analog ergibt sich für U2: Dividiert man U1 durch U2 erhält man eine weitere Form des Spannungsteilers: Merke: Die Spannung teilt sich entsprechend dem Verhältnis der Widerstände auf!

Reihenschaltung von n Widerständen
Aus der Spannungsteilerregel ergibt sich auch, dass bei einer Reihenschaltung der Gesamtwiderstand die Summe der Einzelwiderstände ist: allgemein gilt für n Widerstände in Reihe: Für die Spannungen gilt: Charakteristisch für eine Reihenschaltung ist, das durch alle Teilwiderstände derselbe Strom fließt:

Messbereichserweiterung
Anwendungsbeispiel: Messbereichserweiterung Zwischen den Klemmen A und B soll die Spannung U, die einen Maximalwert von 1000 V annehmen kann, mit einem Spannungsmessgerät gemessen werden, das maximal mit einer Spannung von 100 V beansprucht werden darf. Zur Messbereichserweiterung schaltet man einen geeigneten Vorwiderstand Rv in Reihe zum Innenwiderstand des Meßgerätes RM, dass bei der größtmöglichen Spannung zwischen den Klemmen A und B am Messgerät gerade dessen höchstzulässige Spannung anliegt. Spannungsteiler- Regel:

Gesucht wird der benötigte Vorwiderstand: Mit Größenwerten ergibt sich: Anmerkung: Der Innenwiderstand des Messgeräts ist dem Datenblatt des Messgeräts zu entnehmen.

Reihenschaltung von Kondensatoren
Schaltet man zwei identische Kondensatoren in Reihe, so sind die beiden mittleren Platten miteinander elektrisch verbunden und bilden somit eine Äquipotential-fläche. Es ergibt sich somit ein Kondensator mit dem doppelten Plattenabstand. Für dessen Kapazität gilt: mit Allgemein: Bei der Reihenschaltung addieren sich die Spannungsabfälle: Folie: 111

Reihenschaltung von Kondensatoren
Folie: 112

Parallelschaltung von Widerständen
M1: M2: Knoten K1: mit dem ohmschen Gesetz: Folie: 113

Die Stromteilerregel Parallelschaltung von Widerständen:
wird aus der Knotenregel: mit: ergibt sich die Stromteilerregel: Analog ergibt sich für I2: Folie: 114

Die Stromteilerregel Dividiert man I1 durch I2 erhält man eine weitere Form des Stromteilers: Merke: Der Strom teilt sich entsprechend dem Verhältnis der Leitwerte auf! Aus der Stromteilerregel ergibt sich auch, dass bei einer Parallelschaltung von Widerständen der Gesamtwiderstand sich aus der Summe der Leitwerte ergibt: Folie: 115

Die Stromteilerregel Damit ergibt sich für die Parallelschaltung zweier Widerstände: Allgemein ergibt sich für die Parallelschaltung von n Widerständen (bzw. Leitwerten): oder… Folie: 116

Die Parallelschaltung von n Widerständen
Charakteristisch für eine Parallelschaltung ist, das über allen parallelen Teilwiderständen dieselbe Spannung U ansteht: Folie: 117

Anwendungsbeispiel: Messbereichserweiterung bei der Strommessung In dem Stromzweig zwischen den Knoten A und B soll der Strom I, der einen Maximalwert von 20 A annehmen kann, mit einem Strommessgerät gemessen werden, das maximal einen Strom von 5 A führen darf. Man schaltet hierzu einen sogenannten „Shunt“-Widerstand RP parallel, der gerade den für das Messgerät unzulässigen Stromanteil IP übernimmt. Dieser Shunt-Widerstand berechnet sich zu: Folie: 118

Belasteter Spannungsteiler
Anwendungsbeispiel: belasteter Spannungsteiler Mit Hilfe eines Spannungsteilers kann eine zu hohe Spannung auf die für den Verbaucher geeignete Spannung heruntergeteilt werden. Wird ein Verbraucher angeschlossen, so verändert dieser das Teilerverhältnis! Die Spannung U2 muss neu ausgerechnet werden. Merke: Je kleiner der Verbraucherwiderstand, desto mehr bricht die Spannung ein! Folie: 119

Parallelschaltung von Kondensatoren
Schaltet man zwei identische Kondensatoren parallel, so verdoppelt sich die Plattenfläche. Für die Kapazität gilt: mit Folie: 120

Parallelschaltung von Kondensatoren
Allgemein: Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Ströme: mit folgt Folie: 121

Die reale Spannungsquelle
Gedankenexperiment: Bei den bisherigen Schaltungen wurde immer eine ideale Spannungsquelle angenommen, welche belastungsunabhängig immer dieselbe Spannung liefert. Halbiert man bei einer solchen idealen Spannungsquelle den Verbraucherwiderstand, so verdoppelt sich der Strom. Halbiert man ihn erneut, so vervierfacht sich der Strom, usw. Für die Leistungen würde somit gelten: usw. Bei einer idealen Spannungsquelle geht die Leistung für immer kleinerer Verbraucherwiderstände gegen unendlich! Reale Spannungsquellen sind nicht in der Lage, beliebig viel Leistung abzugeben. Als Energiewandler sind sie nur in der Lage, maximal die aufgenommene Leistung multipliziert mit ihrem Wirkungsgrad als elektrische Leistung abzugeben. Folie: 122

Die reale Spannungsquelle
Beispiel: Bei einem Generator werden Spannungen in Leiterschleifen aus Kupfer induziert. Bei Anschluss eines Verbrauchers muss der elektrische Strom über den elektrischen Widerstand dieser Leiterschleifen fließen. Es entsteht ein Spannungs-fall an diesen inneren Widerständen. Dieser Spannungsfall steht an den Außen-klemmen nicht als Klemmenspannung zur Verfügung. Die Spannung bricht ein. Der Klemmenstrom beträgt: Der Maschenumlauf liefert die Klemmenspannung: Mit der Spannungs-teilerregel ergibt sich: Folie: 123

Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle
Der Innenwiderstand einer realen Spannungsquelle lässt sich durch zwei Versuche bestimmen: 1. Leerlaufversuch: Beim Leerlauf ist der Strom I Null und damit auch der Spannungsfalll am Innenwiderstand. Mit einem hochohmigen Spannungsmessgerät kann die Leerlaufspannung gemessen werden: Folie: 124

Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle
2. Kurzschlussversuch: Beim Kurzschlussversuch stellt sich der maximale Strom IK ein und die Klemmenspannung beträgt Null. Mit einem Strommessgerät kann der Kurzschlussstrom gemessen werden. Es gilt: Mit der gemessenen Leerlaufspannung U0 bestimmt sich der Innenwiderstand zu: Anmerkung: Im Labor wird der Kurzschlussversuch mit reduzierter Quellenspannung durchgeführt, um díe Spannungsquelle nicht zu zerstören. Folie: 125

Strom- Spannungskennlinie
Betrieb: Generatorkennlinie (1): in Abhängigkeit des Verbrauchers RV stellt sich die Klemmenspannung UK ein. Verbraucherkennlinie (2): in Abhängigkeit des Klemmenstroms stellt sich der Spannungsfall UV ein. Der Schnittpunkt beider Kennlinien, UV = UK stellt den Arbeitspunkt der Schaltung dar. Fragen: In welchem Arbeitspunkt gibt die Quelle die maximale Leistung ab? In welchem Arbeitspunkt arbeitet die Quelle mit dem maximalen Wirkungsgrad? Folie: 126

Maximale Verbraucherleistung
Maximale Leistung: mit und folgt Extremwertsuche: Erste Ableitung gleich Null setzen. Folie: 127

Maximale Leistung (Fortsetzung: Die Quelle gibt die maximale Leistung ab, wenn: Damit ergibt sich die maximal abgebbare Leistung: Folie: 128

Graphische Erklärung: Die Fläche unterhalb der Strom-Spannungskennlinie stellt die Leistung dar. Werden die Achsen des Strom-Spannungsdiagramms gleich skaliert, so wird die Leistung maximal, wenn Strom und Spannung ein Quadrat bilden. Der Wirkungsgrad im Arbeitspunkt der maximalen Leistungsabgabe ergibt sich zu: da  Schlechter Wirkungsgrad! Folie: 129

Maximaler Wirkungsgrad
In der elektrischen Energieversorgung geht es weniger um Leistungsanpassung als um die Erzielung eines möglichst hohen Wirkungsgrades. Der Wirkungsgrad wir umso höher, je größer RV zu Ri ist! Merke: Um einen hohen Wirkungsgrad zu erzielen, muss der Verbraucherwiderstand groß im Vergleich zum Innenwiderstand der Quelle gewählt werden! Folie: 130

Wirkungsgradkennlinie
Das Diagramm zeigt die die Kennlinien für die im Verbraucher umgesetzte Leistung sowie für den Wirkungsgrad als Funktion des Widerstandsverhältnisses (RV/Ri). Großer Verbraucherwiderstand RV und gleichzeitig große Verbraucherleistung PV lassen sich jedoch nur bei hoher Spannung erreichen, - in der Energietechnik eine Maßgabe für die Übertragung großer Leistungen über weite Entfernungen von den Kraftwerken hin zu den Verbrauchsschwerpunkten mit Hilfe von Hoch- und Höchstspannunngs-Freileitungen und -Kabeln. Folie: 131

Die reale Stromquelle Ebenso wie die reale Spannungsquelle, ist die auch reale Stromquelle nicht in der Lage, beliebig viel Leistung abzugeben. Bei der Spannungsquelle ist die Klemmenspannung belastungsabhängig, bei der Stromquelle der Klemmenstrom. Die Stromquelle wird erweitert um einen parallel geschalteten Innenwiderstand. Man spricht auch von einer Stromquelle mit Innenleitwert. Ein Teil des Stroms fließt über den Innenleitwert und steht somit an den Klemmen nicht zur Verfügung. Je größer die Belastung und damit IV desto kleiner die Klemmenspannung UV.

Die reale Stromquelle Auch hier werden die Fälle Leerlauf und Kurzschluss betrachtet. Kurzschluss: Damit ist der Verbraucher-strom gleich dem Quellen-strom (Kurzschlussstrom). Der Strom fließt vollständig über den Kurzschluss: Leerlauf: Der Verbraucherstrom ist gleich Null. Der Strom fließt vollständig über den Innenleitwert: Die Klemmen-spannung ist gleich:

Äquivalente Quellen Reale Strom-und Spannungsquellen zeigen gleichartiges Verhalten: Steigt die Belastung und damit der Verbraucherstrom, sinkt die Klemmenspannung. Bei der realen Spannungsquelle wurde der Kurzschlussstrom bestimmt zu: Wählt man den Quellenurstrom der Stromquelle zu: Dann weisen beide Quellen identisches Verhalten an den Klemmen auf! Die Quellen sind äquivalent zueinander. Die Quellenumwandlung erleichtert das Berechnen komplizierter Netzwerke!

Äquivalente Quellen Beispiel: Leerlaufspannung der äquivalenten Stromquelle: mit ergibt sich: Beispiel: Leistungsanpassung bei der äquivalenten Stromquelle Bei der Spannungsquelle ergab sich: Bei der Stromquelle ergibt sich: mit folgt: 

Verzweigte Stromkreise
Systematische Analyse verzweigter Stromkreise: Im Folgenden werden an diesem Beispielnetzwerk einige einfache Regeln zur Netzwerkanalyse aufgestellt. Es besteht aus drei Maschen und zwei Knoten. Bestimmt werden sollen die drei Ströme I1, I2 und I3. Folie: 136

M1:+M2: entspricht M3! Folie: 137

Die Masche M3 ist nicht linear unabhängig von Masche M1 und M2! Dies liegt darin begründet, daß bei dem Umlauf der Masche III keine neuen Informationen gegenüber den beiden vorher berücksichtigten Maschen I und II hinzukommen, da kein neuer Netzzweig berücksichtigt wird. Man darf also nur solche Maschenumläufe durchführen, die gegenüber allen anderen Maschenumläufen einen neuen Netzzweig einführen. Merke: Von M möglichen Maschenumläufen im Netzwerk (hier: M = 3) können also immer nur (M-1) Maschenumläufe ausgewertet werden! K1: Auswerten der Knoten K1 und K2: K2: Auch die Gleichung des Knotens K2 ist nichtlinear unabhängig von K1! Merke: Von den K Knotenpunkten im Netzwerk (hier: K = 2) können immer nur (K-1) Netzknoten ausgewertet werden! Folie: 138

Mit zwei Maschengleichungen und einer Knotengleichung stehen drei Gleichungen zur Verfügung, um die drei Unbekannten I1, I2 und I3 zu bestimmen. Es ergibt sich in Matrixschreibweise: oder ausführlich: Folie: 139

Die Lösung wird durch Inversion der Widerstandsmatrix gewonnen: Ein solches Gleichungssystem kann Computer unterstützt (z.B. MatLab oder Spice) mit Standardverfahren ausgewertet werden, so dass mit dem beschriebenen Verfahren prinzipiell auch sehr große, komplizierte Netzwerke mit vielen Tausend Unbekannten analysiert werden können. Beinhaltet das Netzwerk nur lineare Bauelemente, so kann auch das Überlagerungsverfahren -auch Superpositionsprinzip genannt- eingesetzt werden. Das Netzwerk wird in mehrere Netzwerke zerlegt, die jeweils nur noch eine Quelle enthalten: Folie: 140

Es ergeben sich zwei Netzwerke: Folie: 141

Im oberen Netzwerk wird nur die Spannungsquelle (U01) berücksichtigt und die zweite Spannungsquelle (U02) kurzgeschlossen. Im unteren Netzwerk wird genau umgekehrt verfahren. In beiden Fällen hat sich das Netzwerk jeweils so vereinfacht, dass alle auftretenden Spannungen und Ströme durch einfache Berechnung der Widerstandsschaltung (siehe Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen) berechnet werden können. Die tatsächlichen Ströme und Spannungen erfolgen dann durch Überlagerung: Zum Beispiel die Spannung am Widerstand R4: Folie: 142

Eine weitere Methode ist das Ersatzquellenverfahren: Bei der Methode der Ersatzspannungsquellen wird das gesamte Netzwerk als eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand dargestellt. Zunächst wird das Bauteil, an dem die Spannung oder durch das der Strom berechnet werden soll, herausgetrennt und die Spannung Ue an den neu entstandenen Klemmen berechnet. Beispielaufgabe: Berechnen der Spannung und des Stroms für den Widerstand R4: Folie: 143

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung): Masche M2: Masche M1: I2 ist noch unbekannt: Folie: 144

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung): Die Klemmenspannung ergibt sich zu: Die Klemmenspannung Ue wird als Quellenspannung der Ersatzquelle angenommen. Das restliche Netzwerk wird zum Innenwiderstand Ri zusammengefasst: Folie: 145

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung): Da die Quellenspannungen bereits berücksichtigt wurden, werden sie bei der Berechnung des Innenwiderstands Ri kurzgeschlossen: Folie: 146

Ersatzquellenverfahren (Fortsetzung): Das so berechnete Netzwerk wird schließlich mit R4 belastet: mit den bekannten Größen: ergeben sich Strom und Spannung für den Widerstand R4: und Aufgabe gelöst! Folie: 147

Gleichstromnetzwerke Ende

Das magnetische Feld

Das magnetische Feld Die Veränderung des Raums durch ruhende Ladungen und deren Kaftwirkung aufeinander wurde anhand des elektrischen Feldes beschrieben. 1820 zeigten Ørsted und Ampère eine weitere Kraftwirkung, hervorgerufen durch bewegte elektrische Ladungen: ein vom elektrischen Strom durchflossener Leiter lenkt eine Kompassnadel ab, zwei Strom durchflossene Leiter üben eine Kraft aufeinander aus. Der elektrische Strom, also die Bewegung, elektrischer Ladungen, ruft eine weitere Veränderung des Raums hervor. Zur Beschreibung dieser Kraftwirkungen wird ein neues Feld eingeführt: das magnetische Feld. Mit Hilfe von Eisenspänen lassen sich die Feldlinien eines Strom durchflossenen Leiters sichtbar machen.

Das magnetische Feld Die Feldlinien umschließen den Leiter kreisförmig, sie sind in sich geschlossene Wirbel und besitzen demnach keinen Anfang (keine Quellen) und kein Ende (keine Senken) wie das elektrische Feld. Das magnetische Feld ist ein quellenfreies Wirbelfeld. Die Drehrichtung der Feldlinien ist dem Rechtsschraubensinn zugeordnet: Zeigt der Strom aus der Ebene hinaus, drehen sich die Feldlinien im Gegenuhrzeigersinn (Bild a links), zeigt der Strom in die Ebene hinein, drehen sich die Feldlinien im Uhrzeigersinn (Bild a rechts). Rechte-Faust-Regel: hält man den Daumen in Stromrichtung, zeigen die Finger die Richtung der Feldlinien an. Folie: 151

Das magnetische Feld Neben dem Magnetfeld, verursacht durch elektrische Ströme, sind auch magnetische Effekte von magnetisierten Körpern, z. B. Permanentmagneten bekannt. Beispiele: Magnetit (Fe3O4) – wegen seines starken Magnetismus gehört es zu den wichtigsten Eisenerzen der Elektroindustrie. Erdmagnetfeld - der stark eisenhaltige Erdkern sorgt für die Nordweisung magnetisierter Körper (z.B. Kompassnadeln). Die Kraftwirkungen solcher Permanentmagnete sind auf mikroskopische Ströme im atomaren Bereich zurückzuführen. Die magnetischen Feldlinien im Bereich eines Stabmagneten: sie repräsentieren wie im elektrostatischen Feld die Richtung der vom Feld (z.B. auf eine Kompassnadel) ausgeübten Kräfte. Folie: 152

Das magnetische Feld Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Feldes. Zu erkennen ist, dass die Feldlinien aus einem Bereich des Stabmagneten - dem Nordpol - austreten und in den abgewandten Bereich - den Südpol - wieder eintreten. Sie schließen sich innerhalb des Magneten. Magnetische Felder haben große Bedeutung für den Elektromaschinenbau: fast alle elektrischen Maschinen erzeugen in ihrem Inneren durch die in den Wicklungen fließenden Ströme starke Magnetfelder. Diese technischen Magnetfelder im Nahbereich der Wicklungen weitaus höher (ca. Faktor ) als das Erdmagnetfeld (ca. 40 µT). Eine Wicklung entsteht, wenn ein elektrische Leiter zu Leiterschleifen geformt wird. Das den Leiter kreisförmig umgebende Magnetfeld überlagert sich dann von einer Windung zur nächsten zu einem Gesamtmagnetfeld. Folie: 153

Das magnetische Feld Das magnetische Feld einer langen Spule mit großer Windungszahl (typisch: 100 oder mehr) überlagert sich auf analoge Weise. Zu erkennen ist, dass das Magnetfeld im Inneren einer hinreichend langen Spule, das so genannte Hauptfeld, homogen ist und parallel zur Spulenachse ausgerichtet ist. Das äußere Feld, das so genannte Streufeld, einer solchen langen Spule entspricht demjenigen eines Stabmagneten. Im unteren Bild sind die Feldlinien einer langen Spule mit Eisenspänen sichtbar gemacht worden. Folie: 154

Der magnetische Fluss Merke: Die Gesamtheit aller magnetischen Feldlinien, die eine bestimmte Fläche senkrecht durchsetzen, nennt man den magnetischen Fluss . (Weber) Bei der Zylinderspule tritt der magnetische Fluss durch die kreisförmige Querschnittsfläche. Bezieht man den magnetischen Fluss auf die Fläche, erhält man die magnetische Induktion B (früher auch magnetische Flussdichte genannt). (Tesla) Im Fall des homogenen magnetischen Flusses im Innern der Zylinderspule gilt: Voraussetzung hier ist, dass die betrachtete Fläche A senkrecht zur Flussrichtung orientiert ist. Folie: 155

Der magnetische Fluss Ist die magnetische Induktion nicht homogen, ändert sich der magnetische Fluss mit dem betrachteten Flächenelement dA. Anmerkung:  ist der Winkel zwischen den Feldlinien und dem Normalenvektor der Durchtrittsfläche. Integriert man über die Durchtrittsfläche A, die die magnetische Induktion durchsetzt, ergibt sich im allgemeinen Fall für den magnetischen Fluss: Folie: 156

Die magnetische Durchflutung
Der elektrische Strom ist als Ursache für das Magnetfeld anzusehen. Bei einer Spule mit mehreren Windungen überlagern sich die Einzelfelder der einzelnen Windungen zu einem Gesamtfeld. Der magnetische Gesamtfluss hängt also von der Anzahl der Windungen ab. Als ursächliche Größe des Magnetfeldes in einem magnetischen Kreis wird daher die Durchflutung eingeführt. Es gilt: Beispiel: eines magnetischen Kreises Eine Spule, in der die für den Magnetfluss notwendige Durchflutung erzeugt wird, ist auf einem magnetisch gut leitfähigen Material aufgewickelt. Man nennt die Durchflutung auch die „magnetische Urspannung“ bei einem magnetischen Kreis. Folie: 157

Der magnetische Kreis Der magnetische Kreis besitzt einen Luftspalt, der ebenfalls vom Magnetfluss durchsetzt wird. Mit Hilfe dieses Magnetfeldes im Spalt können Kraftwirkungen erzielt werden, z.B. die Auslenkung des Zeigers eines Messwerkes oder die Ablenkung eines Elektronenstrahls (Funktionsprinzip der Fernsehröhre). Analogie magnetischer Kreis - Gleichstromkreis: die Durchflutung  entspricht der Spannungsquelle, der Magnetfluss  entspricht dem elektrischen Strom, den Schenkeln des Magnetkreises lassen sich magnetische Widerstände Rm zuordnen, die den elektrischen Widerständen entsprechen, über den magnetischen Widerständen liegen magnetische Spannungen V, die den elektrischen Spannungen nach dem ohmschen Gesetz entsprechen.

Der magnetische Kreis Die magnetische Spannung über den Luftspalt beträgt: und für den magnetisch leitfähigen Kern: Für die magnetischen Widerstände gilt: mit µ, der magnetische Leitfähigkeit (wird später noch eingehend erläutert). Folie: 159

Der magnetische Kreis Wendet man die Maschenregel auf den magnetischen Kreis an, ergibt sich analog zur Reihenschaltung bei den Gleichstromkreisen: Merke: Die Summe aller magnetischen Spannungen in einem geschlossenen Umlauf ist gleich der elektrischen Durchflutung. Allgemein gilt: (vergleiche Ohmsches Gesetz) Der magnetische Fluss errechnet sich allgemein zu: Folie: 160

Die magnetische Feldstärke
Analog zur elektrischen Feldstärke: wird im magnetischen Feld die Feldstärke H als längenbezogene magnetische Spannung eingeführt: Beispiel: Beträgt die Feldstärke im Luftspalt aus dem magnetischen Kreis H und integriert man über die Länge des Luftspalts, erhält man die magnetische Spannung: Ist das Feld homogen, ergibt sich vereinfacht: Folie: 161

Das Durchflutungsgesetz
Analog zum 2. Grundgesetz der Elektrostatik: ergibt das Integral über die magnetische Feldstärke H bei einem geschlossenem Umlauf Null, solange der Umlauf keine Ströme einschließt. Beispiel: Ein geschlossenes Umlaufintegral im Luftspalt des magnetischen Kreises ergibt Null. Folie: 162

Umschließt das Umlaufintegral jedoch Ströme, so ergibt das Integral die resultierende Durchflutung: Beispiele: Diverse Umlaufintegrale im magnetischen Kreis: Das Umlaufintegral entlang der mittleren Weglänge im Kern: Folie: 163

Beispiele (Fortsetzung): Diverse Umlaufintegrale im magnetischen Kreis Für n Leiterströme gilt allgemein: Folie: 164

Sind Stromdichten gegeben, so berechnet sich die Durchflutung aus dem Flächenintegral über die Stromdichte. Dabei handelt es sich um die Fläche, die vom Umlaufintegral eingeschlossen wird. Folie: 165

Anmerkungen zum Durchflutungsgesetz und zum Magnetfeld: Beim elektrostatischen Feld ist das Umlaufintegral immer Null. Das elektrostatische Feld ist ein wirbelfreies Quellenfeld und besitzt eine skalare Potentialfunktion. Das Umlaufintegral im Magnetfeld ist nicht Null, es ist gleich der Durchflutung, wenn es elektrische Ströme einschließt. Das Integrationsergebnis ist abhängig vom Integrationsweg. Das Magnetfeld ist somit ein Wirbelfeld und besitzt keine skalare Potentialfunktion. Folie: 166

Der stromdurchflossene Leiter
Anwendungsbeispiel: Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Ausgegangen wird von einem Leiter mit dem Radius R, der von einem Strom I durchflossen wird. Damit ist dieser Strom von koaxialen Feldlinien umgeben, die ihm rechtsschraubig zugeordnet sind. Magnetische Feldstärke im Leiterinneren (r < R): Hier wird mit dem Abstand r von der Leiterachse eine Fläche umlaufen, die nur einen Teil des Leiterstromes I erfasst. Dieser Teilstrom lässt sich über die Stromdichte S im Leiter und die umlaufene Teilfläche A(r) berechnen: Folie: 167

Der von der Teilfläche umfasste Strom beträgt: mit und ergibt sich: Folie: 168

Das Durchflutungsgesetz ergibt: Eingeschlossenen Strom und Umlaufintegral gleichsetzen: Damit ergibt sich die magnetische Feldstärke eines stromdurchflossenen Leiters zu: Folie: 169

Innerhalb des Leiters steigt die magnetische Feldstärke, beginnend in der Leiterachse mit der Größe Null, mit dem Radius r linear an bis zu einem größten Wert, der sich an der Leiteroberfläche zu ergibt. Magnetische Feldstärke außerhalb des Leiters (r > R): Im Abstand r von der Leiterachse liefert das Durchflutungsgesetz für einen Umlauf: Folie: 170

Damit ist die magnetische Feldstärke außerhalb des Leiters proportional zum Strom und nimmt hyperbolisch mit dem Leiterradius ab. Das Diagramm zeigt die Verteilung der magnetischen Feldstärke innerhalb und außerhalb des stromdurchflossenen Leiters. Folie: 171

Magnetfeld und Materie
Der magnetisch leitfähige Kern aus dem Beispiel des magnetischen Kreises weist folgenden magnetischen Widerstand auf: ? So wie für das elektrische Feld die Permittivität e eingeführt wurde, so wird hier die Permeabilität µ eingeführt. Sie ist ein Maß für die magnetische Leitfähigkeit und lässt sich wie die Permittivität in zwei Faktoren aufspalten: Die Permeabilität des Vakuums beträgt: Folie: 172

Die Permeabilität Die relative Permeabilität beschreibt die magnetische Leitfähigkeit eines Material in Vergleich zum Vakuum. Die meisten Stoffe sind unmagnetisch, hierfür gilt: „Unmagnetische“ Stoffe unterscheidet man in diamagnetische und paramagnetische Stoffe. Der Spin des Elektrons besitzt ein magnetisches Moment und erzeugt so ein Feld, welches jedoch aufgrund des Pauli-Prinzips (antiparallele Spins) und der ungeordneten Ausrichtung makroskopisch nicht in Erscheinung tritt. Alle Stoffe sind daher grundsätzlich diamagnetisch. Dieser Effekt wird jedoch bei einigen Materialien vom stärkeren Paramagnetismus oder Ferromagnetismus überlagert. Diamagnetische Stoffe weisen ein µr < 1 auf: hierzu gehören z. B. Kupfer, Gold, Silber, Wasser (Kupfer hat z. B. eine relative Permeabilität von µr = 0,999991) Paramagnetische Stoffe weisen ein µr > 1 auf: hierzu gehören z. B. Luft, Sauerstoff, Aluminium, Platin (z.B. Sauerstoff: µr = 1,000002; Aluminium: µr = 1,000024) Folie: 173

Die Permeabilität Ferromagnetische Stoffe (kommt vom Lateinischen „ferrum“ und bedeutet Eisen). Diese Stoffe weisen ein µr >> 1 auf: hierzu gehören z. B. Eisen Kobalt und Nickel. Oft ist µr > 1000, speziell entwickelte, ferromagnetische Legierungen weisen µr bis zu einigen auf. Die Elementarmagnete (Elektronenspins) richten sich über große Bereiche spontan parallel aus. Ferromagnetische Materialien bestehen aus mehreren Domänen (Weiss‘sche Bezirke), die jeweils eine bestimmte Magnetisierungsrichtung besitzen. Die Grenzen zwischen den Domänen werden Blochwände genannt. Bei Anlegen eines Magnetfeldes verschieben sich die Blochwände. Die Domänen, die in Richtung des Magnetfeldes liegen, wachsen auf Kosten der anderen Domänen. Folie: 174

Die Permeabilität Temperaturabhängigkeit des Ferromagnetismus:
Mit wachsender Temperatur nimmt die Permeabilität langsam ab. Bei Erreichen der Curie-Temperatur verschwindet der Ferromagnetismus schlagartig, und es stellt sich Paramagnetismus ein. Dieser Effekt ist reversibel. Die Curie-Temperatur beträgt bei Eisen 760°C, bei Nickel 360°C und bei Kobalt 1120°C. Einfluss von ferromagnetischen Materialien auf das Magnetfeld: Betrachtet werden zwei Ringspulen gleicher Geometrie von denen die linke mit Luft gefüllt ist und die rechte auf einem Eisenkern gewickelt ist. Im Bild rechts wurden die Feldlinien in der Ringspule wieder mit Eisenspänen sichtbar gemacht. Folie: 175

Die Permeabilität Einfluss von ferromagnetischen Materialien auf das Magnetfeld: Das Experiment ergibt, dass der magnetische Fluss in der Eisenspule weitaus höher ist als derjenige in der Luftspule: Materialien mit hoher Permeabilität konzentrieren und führen den magnetischen Fluss in Ihrem Innern und verringern so auch das Streufeld. Den Ferromagnetika kommt deshalb als technischer Werkstoff eine große industrielle Bedeutung zu. Folie: 176

Die Magnetisierungskennlinie
Messanordnung zum Aufnehmen einer Magnetisierungskennlinie Auf einen ferromagnetischen Ringkern sei eine Spule (Querschnittsfläche A; mittlere Länge l) aufgebracht, deren Strom eingestellt werden kann. Zur Bestimmung des magnetischen Verhaltens dieses Materials wird mit einem speziellen Messverfahren der magnetische Fluss  im Kern als Funktion des Spulenstroms ermittelt: Für den magnetischen Fluss ergibt sich: Folie: 177

Der magnetische Fluss wird durch Variation des Stromes I eingestellt. Hieraus folgt die magnetische Flussdichte bzw. magnetische Induktion zu: Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke entlang der mittleren Länge l des Kerns ergibt nach dem Durchflutungsgesetz: Daraus folgt der Zusammenhang: Folie: 178

Für diamagnetische und paramagnetische Materialien ist die Magnetisierungskennlinie aufgrund der feldunabhängigen Permeabilität eine Gerade. Bei den Ferromagnetika hingegen zeigt sich kein eindeutiger Zusammenhang, es entsteht eine Hysteresekennlinie: Ist das Material zuvor noch nicht magnetisiert worden, erhält man beim ersten Hochfahren des Spulenstroms die Neukurve. Die Kennlinie verläuft zuerst sehr steil (hohes µr) um dann für große Magnetfeldstärken (bzw. großem Spulenstrom) abzuflachen. In diesem Bereich haben sich die Domänen nahezu vollständig in Feldrichtung ausgerichtet. Das Material geht in die Sättigung. Folie: 179

Wird nach Erreichen der Sättigung die magnetische Feldstärke (bzw. der Spulenstrom) wieder verkleinert, so ergeben sich für jeden Strom höhere magnetische Induktionen, als sie vorher erreicht wurden; es tritt eine Hysterese auf. Werden Spulenstrom bzw. Magnetfeldstärke zu Null reduziert, bleibt eine bestimmte Induktion - die Remanenzinduktion Br - im Material bestehen. Bei abnehmender magnetischer Feldstärke ist das Material bestrebt, seine ursprüngliche Domänenstruktur wieder einzunehmen, jedoch bleiben die Blochwände an den Gitterdefekten des Materials hängen. Folie: 180

Wird die Magnetfeldstärke jetzt negativ (d.h. der Strom fließt anwachsend in umgekehrter Richtung), so wirkt die erzeugte Durchflutung dem remanenten Magnetfluss entgegen, - das Material wird entmagnetisiert. Die Magnetfeldstärke HC, bei der dies passiert, heißt Koerzitivfeldstärke. Sie ist ein Maß für die Entmagnetisierbarkeit des ferromagnetischen Materials. Folie: 181

Bei weiterer Steigerung der Magnetfeldstärke in negativer Richtung wird die magnetische Induktion ebenfalls negativ. Das Material wird nun in die entgegen gesetzte Richtung magnetisiert. Die Steigung nimmt ab, wenn die Sättigung erreicht wird. Folie: 182

Wird der umgekehrte Spulenstrom nun auch wieder zu Null reduziert, erreicht man den Punkt der negativen Remanenz. Lässt man den Spulenstrom nun wieder in der ursprünglichen Richtung anwachsen, erreicht man die Koerzitvifeldstärke und schließlich wieder die Sättigung. Die Neukurve wird nicht wieder erreicht. Die gesamte durchlaufene Kennlinie nennt man Hystereseschleife. Sättigung Remanenz Entmag-netisierung Neukurve Koerzitiv-feldstärke Koerzitiv-feldstärke Entmag-netisierung Remanenz Folie: 183 Sättigung

Hart- und weichmagnetische Materialien
Die Form der Hystereseschleife gibt Aufschluss über die magnetischen Eigenschaften des Materials. Die Breite der Hystereseschleife ist ein Maß für die Verlustleistung beim Ummagnetisieren. Weichmagnetische Werkstoffe kleine Koerzitivfeldstärken schmale Hystereseschleifen leicht zu entmagnetisieren Anwendungsgebiete: elektrischen Maschinen und Transformatoren, da hier wegen der Wechselströme laufend Ummagnetisierungen im Material stattfinden. Hartmagnetische Werkstoffe breite Hystereseschleife schwer zu entmagnetisieren hohe Remanenz Anwendungsgebiete: Dauermagnete Ton- und Videobänder, Festplatten Folie: 184

Hart- und weichmagnetische Materialien
Beispiel: Ein Magnetkopf „beschreibt“ (magnetisiert) ein hartmagnetisches Band mit Informationen. Die Bezeichnung „weich“ bzw. „hart“ kennzeichnen die mechanischen Eigenschaften dieser Werkstoffe, von denen sich die eine Gruppe weich und zäh, die andere sich hingegen hart und spröde verhält. Genau wie bei den elektrischen Feldern stellt sich die Frage, wie sich die magnetische Feldstärke verhält, wenn die Feldlinien des Magnetfeldes von einem magnetischen Material mit der relativen Permeabilität µr1 in ein anderes mit der rel. Permeabiltät µr2 übergeht. Folie: 185

Stetigkeit der magnetischen Feldstärke
Betrachtet wird eine Grenzschicht zwischen zwei magnetisch unterschiedlichen Materialien mit den Permeabilitäten µ1 und µ2 (siehe auch zum Beispiel magnetischer Kreis mit Kern und Luftspalt): Folie: 186

Lässt man l3 und l4 gegen Null gehen, ergibt sich die Stetigkeitsbedingung: mit mit Merke: Die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke an der Grenze zweier magnetisch unterschiedlicher Materialien ist stetig, wenn in der Grenzschicht kein Strom fließt. Folie: 187

Beispiel: Der magnetische Kreis (die magnetische Feldstärke steht normal zur Querschnittsfläche) Der Magnetische Fluss beträgt: Bei Vernachlässigung von Streufeldern gilt AFe=ALuft. Die Magnetische Induktion ist überall gleich: Geht man davon aus, dass das µr im Kern aufgrund des homogenen Flusses konstant, z.B. µr = 1000 ist: vgl. Dann erhöht sich die magnetische Feldstärke beim Übergang vom Eisenkern zum Luftspalt um den Faktor 1000! Folie: 188

Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld
Verläuft ein vom elektrischen Strom durchflossener Leiter durch ein Magnetfeld, so wird auf den Leiter eine Kraft ausgeübt. Versuchsanordnung: Das Magnetfeld sei homogen und die Feldlinien stehen senkrecht auf dem Leiter. Dann ist die Kraft, die auf diesen Leiter ausgeübt wird, umso größer, je größer die magnetische Induktion, der Leiterstrom I und die Leiterlänge sind. Es gilt: Sind die Feldlinien nicht senkrecht zum Leiter orientiert, gilt allgemein: Folie: 189

Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld
90° F B I Kraftrichtung: Die Richtung der Kraftwirkung erhält man als Axialbewegung einer Rechtsschraube, deren Kopf mit dem Strompfeil auf kürzestem Wege in die Induktionsrichtung gedreht wird. Noch einfacher ist die Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Daumen in Richtung des Stroms, der Zeigefinger in Richtung des B-Feldes, dann zeigt der Mittelfinger Mittelfinger die Kraftrichtung an. Schließen der Strom I und die magnetische Induktion B einen Winkel a ein, so gilt: Folie: 190

Kraftwirkung zweier stromdurchflossener Leiter
Es werden zwei parallele, stromdurchflossene Leiter betrachtet: Jeder Leiter erfährt eine Kraftwirkung durch das Magnetfeld des anderen Leiters. Die folgende Abbildung zeigt den Fall, dass die Leiter von gegensinnigen Strömen durchflossen werden: Die Feldschwächung erfolgt jeweils auf der dem anderen Leiter abgewandten Seite. Die Leiter stoßen sich also ab. Gleichsinnig durchflossene Leiter ziehen sich an. Folie: 191

Die Kraftwirkung auf den Leiter 2 erhält man, indem zunächst das Magnetfeld bestimmt wird, das der Leiter 1 am Ort von Leiter 2 hervorruft. Dann wird die Kraft auf den Leiter 2 berechnet: Folie: 192

Die Kraftwirkung auf den Leiter 2 ergibt sich zu: Analog ergibt sich die Kraft auf den Leiter 1: Beispiel: Gegeben sind zwei parallele Leiter in Luft mit dem Abstand 0,2 m und der Länge 10 m. In beiden Leitern fließt ein Kurzschlussstrom von I1 = I2 = 60 kA. Damit ergibt sich eine Kraft auf die Leiter von: Das entspricht einer Gewichtskraft von etwa 3,67 Tonnen! Folie: 193

Kraftwirkung auf Ladungen im Magnetfeld
Die Kraftwirkung wirkt auf die bewegten Ladungsträger (el. Strom I) im elektrischen Leiter. Folglich muss sich die Ladung nicht in einem Leiter befinden, um eine Kraftwirkung zu erfahren. Statt des Stroms I wird nun eine Ladung Q im Magnetfeld betrachtet. Es gilt: Merke: Auf einen bewegten Ladungsträger wird im Magnetfeld eine Kraft ausgeübt. Die ist die so genannte Lorentz-Kraft. Dass Elektronen im Magnetfeld abgelenkt werden, findet z. B. in Fernsehröhren Anwendung. Folie: 194

Das magnetische Feld Ende

Zeitlich veränderliche Felder

Induktionsvorgänge Bisher wurden nur stationäre, also zeitunabhänge Felder betrachtet: z.B. ruhende Ladungen oder zeitlich konstante Ströme, zeitlich konstante Magnetfelder. Hier sollen nun Effekte betrachtet werden, die bei zeitlich sich ändernden Feldern auftreten. Es war M. Faraday, der 1831 experimentell das Induktionsgesetz nachwies. Faraday benutzte eine von einer Gleichspannungsquelle versorgte, schaltbare Spule in deren Nähe sich eine Leiterschleife so befand, dass ein von der Spule erzeugter Magnetfluss teilweise auch diese Leiterschleife durchsetzte. Die Enden der Leiterschleife waren zu einem Spannungsmessgerät geführt. Folie: 197

Induktionsvorgänge Versuchsergebnis:
Immer dann, wenn der Schalter geschlossen oder geöffnet wird, zeigt das Spannungsmessgerät einen Spannungsstoß an. Sowohl bei lange geschlossenem Schalter (konstanter Strom und Magnetfluss in der Spule) als auch bei geöffnetem Schalter (Strom und Magnetfluss Null) ist die angezeigte Spannung Null. Daraus ist zu folgern, dass nur dann eine Spannung in der Leiterschleife entsteht, wenn der von ihr umfasste Magnetfluss sich zeitlich ändert, d.h. in Zeiten des Flussaufbaus oder Flussabbaus. Nach dem Schaltvorgang klingt die Spannung rasch auf Null ab. Folie: 198

Induktionsvorgänge Man nennt diesen Vorgang des Entstehens einer Spannung aufgrund des zeitveränderlichen Magnetflusses Induktion und die entstehende Spannung induzierte Spannung. Die induzierte Spannung ist als Quellenspannung in der Leiterschleife aufzufassen. Sie ist bei geschlossener Leiterschleife in der Lage, einen Strom zu treiben und an angeschlossene Verbraucher (und auch an den Eigenwiderstand der Schleife) elektrische Energie abzugeben. Merke: Je schneller sich der Magnetfluss ändert, desto größer ist die induzierte Spannung uind: Welches Vorzeichen hat die induzierte Spannung uind? Schließt man die Leiterschleife, z.B. mit einem Kurzschlussbügel oder über einen Verbraucher, so fließt in diesem geschlossenen Kreis ein Strom. Folie: 199

Induktionsvorgänge Die Lenzsche Regel sagt aus, dass der durch die induzierte Spannung getriebene Strom in der Leiterschleife immer so gerichtet ist, dass das vom Strom erzeugte Magnetfeld die induzierende Flussänderung zu schwächen versucht. Linksschrauben-Regel: Man erhält die Richtung des induzierten Stromes aus der Drehbewegung einer linksgängigen Schraube, die sich axial in Richtung des Flusszuwachses (df/dt) bewegt. Oder: Der induzierte Strom wirkt seiner Ursache entgegen. Folie: 200

Induktionsvorgänge Ursachen eines Induktionsvorganges:
1) Der magnetische Fluss ändert sich aufgrund einer Stromänderung in einer induzierenden Spule (siehe vorheriges Experiment), 2) Der magnetische Fluss ändert sich, wenn ein Dauermagnet in die Nähe der Leiterschleife gebracht wird. Beispiel: Ringpendelversuch - der geschlossene Metallring wird beim Durchfahren des Magnetfeldes abgebremst). Folie: 201

Induktionsvorgänge Ursachen eines Induktionsvorganges (Fortsetzung):
3) Das äußere Magnetfeld bleibt konstant, aber der Leiter wird durch das Magnetfeld bewegt, wodurch sich die Fläche der Leiterschleife verändert. Folie: 202

Induktionsvorgänge Das Prinzip Induktion durch bewegte Leiter wird in Generatoren durch rotierende Leiterschleifen angewandt. Folie: 203

Induktionsvorgänge Nur der Bewegungsanteil senkrecht zu den Feldlinien (in x-Richtung) induziert eine Spannung. Steht die Schleife senkrecht, ist die Spannung am größten und wird Null, wenn die Schleife waagerecht steht. Folie: 204

Induktionsvorgänge Dreht sich die Schleife über die waagerechte Lage hinaus weiter, kehrt sich die Bewegungsrichtung der Leiter um, die induzierte Spannung wird negativ. Der Generator gibt also eine Spannung wechselnder Polarität ab! Folie: 205

Induktionsvorgänge Um eine höhere induzierte Spannung zu erhalten, besitzt die vom Fluss f durchsetzte Leiterschleife nicht nur eine, sondern N Windungen. In jeder dieser Windungen wird dann eine Spannung induziert. Da diese Windungen elektrisch in Reihe geschaltet sind, entsteht an dieser Spule insgesamt die Spannung: Y ist der mit der Spule der Windungszahl N verkettete Fluss. Seine Einheit ist die des magnetischen Flusses. Folie: 206

Die Quellenspannung iind
Sind die Enden der Leiterschleife in die hinein induziert wird, nicht verbunden, so steht an den Klemmen eine Spannung uq an: iind Hier wird die Leistung in der Leiterschleife umgesetzt. Sie dient als Verbraucher. Bei Anschluss eines Verbrauchers wird der Leiterschleife Leistung entnommen. Sie dient als Quelle. Für die Quellenspannung gilt: Folie: 207

Die Quellenspannung Damit folgt für die Quellenspannung:
Damit lässt sich die Leiterschleife mit der Quellenspanung Uq, dem Schleifenwider-stand Ri als reale Spannungsquelle mit dem Verbraucherwiderstand RV zeichnen: Folie: 208

Das elektromagnetische Feld
Anmerkung: Betrachtet man die geschlossene Leiterschleife, in die von einem sich zeitlich ändernden Magnetfeld eine Spannung uind induziert wird, dann treibt diese Spannung einen Strom iind. Dieser Strom verursacht eine elektrische Feldstärke. (siehe Abschnitt „Der elektrische Strom“) Das Umlaufintegral über diese Feldstärke ergibt gerade die treibende, induzierte Spannung: Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld, das als wirbelfreies Quellenfeld (und als Potentialfeld) definiert war, ist dieses Umlaufintegral über die elektrische Feldstärke hier von Null verschieden. Dies bedeutet, dass zeitveränderliche Magnetfelder durch Induktion quellenfreie elektrische Wirbelfelder hervorrufen. Man spricht von elektromagnetischen Feldern, da hier das elektrische mit dem magnetischen Feld verknüpft ist. Folie: 209

Selbstinduktion Bei den bisherigen Induktionsversuchen wurde die Induktion durch äußere Magnetfelder in einer Leiterschleife hervorgerufen. Der induzierte Strom in der Leiterschleife baut aber selbst ein Magnetfeld auf. Wie wirkt das selbst bewirkte Feld sich auf den Strom bzw. der Spannung in der Leiterschleife aus? Experiment: Eine Leiterschleife wird an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen. Nach dem Einschalten wird sich ein anwachsender Strom i einstellen, der seinerseits einen wachsenden Magnetfluss f erzeugt. Dieser zeitlich sich ändernde Magnetfluss induziert eine Spannung in die Schleife: Folie: 210

Selbstinduktion Da die Leiterschleife geschlossen ist, bewirkt diese induzierte Spannung einen Strom in Gegenrichtung, so dass der Gesamtstrom in der Leiterschleife sich zunächst zu Null ergibt. Dies bedeutet, dass in einer Leiterschleife mit zeitveränderlichem Strom durch Selbstinduktion eine Gegenspannung entsteht, die von der äußeren Spannungsquelle kompensiert werden muss. Handelt es sich bei der Leiterschleife um eine Spule mit w Windungen, so beträgt die induktive, von der Spannungsquelle aufzubringende Spannung: Drückt man den verketteten magnetischen Fluss durch den Leiterstrom i aus, so erhält man mit Folie: 211

Selbstinduktion Je schneller der Strom sich ändert, umso größer ist die zu kompensierende Gegenspannung. Der Vorfaktor wird zusammengefasst zu: L ist die Eigeninduktivität oder Selbstinduktivität der Spule. Dann ergibt sich: Folie: 212

Die Induktivität Vergleicht man die beiden Gleichungen: ergibt sich:
und durch Integration auf beiden Seiten: bzw. Die Einheit der Eigeninduktivität der Spule ist damit: Folie: 213

Die Induktivität Mit dem magnetischen Widerstand einer Spule:
Ergibt sich die Induktivität einer Spule zu: Querschnittsfläche der Spule Windungszahl Permeabilität des (Eisen)-Kerns Länge der Spule A l w Man erkennt, dass die Induktivität einer Spule quadratisch mit der Windungszahl anwächst: Verdoppeln der Windungszahl bewirkt also eine vierfache Induktivität. Folie: 214

Die Induktivität Viel stärker noch wächst die Induktivität der Spule, wenn ein Eisenkern in das Spuleninnere eingebracht wird. Deshalb werden in der Energietechnik zur Erzeugung großer Magnetfelder und Induktivitäten meist Spulen mit Eisenkern, sog. Drosselspulen oder Drosseln, verwendet. Für den Kern industriell verwendete kernorientierte Elektrobleche erhöhen die Induktivität einer Spule um ein Mehrtausendfaches. Folie: 215

Energieinhalt des Magnetfeldes
Ähnlich wie im elektrostatischen Feld lässt sich auch der Energieinhalt des magnetischen Feldes berechnen. In der Elektrostatik wurde dies am Beispiel des Kondensators vorgenommen, hier wird die in einer Spule gespeicherte magnetische Energie bestimmt: Allgemein gilt für die elektrische Leistung und Arbeit: Wird der Strom um di erhöht, wird eine Spannung uind induziert, die der Erhöhung des Stroms entgegenwirkt (Lenzsche Regel). Diese Spannung muss von der angeschlossenen Spannungsquelle durch uL komensiert werden: Folie: 216

Energieinhalt des Magnetfeldes
Für den Energieinhalt ergibt sich: Die Induktivität ist zeitlich konstant und wird vor das Integral gezogen: In der Zeit von 0 bis t1 wird der Strom von Null auf I erhöht: Damit ergibt sich der Energieinhalt des Magnetfeldes zu: Folie: 217

Zeitveränderliche Felder Ende

Elektrische Bauelemente II

Die Spule Mit der Spule ist ein neues elektrisches Bauelement hinzugekommen. Um es in Netzwerken verwenden zu können, muss ein Schaltsymbol definiert werden: Für eine Spule mit Eisenkern werden auch folgende Symbole verwendet: Folie: 220

Bauformen von Spulen Beispiele und Bauformen:
Kleinere Bauformen für die Verwendung in elektronischen Schaltungen: Vorschaltdrossel für Leuchtstoffröhren Ölgekühlte Kompensationsdrosselspulen und Strombegrenzungsdrosseln werden in der Energietechnik vor allem eingesetzt, um Oberspannungen oder Kurzschlussströme zu begrenzen.

Reihenschaltung von Spulen
Schaltet man zwei identische Spulen in Reihe, so ergibt sich eine Spule mit doppelter Windungszahl und doppelter Länge. Für deren Induktivität gilt: Allgemein: Bei der Reihenschaltung addieren sich die Spannungsabfälle: Folie: 222

Reihenschaltung von Spulen
Daraus ergibt sich: Allgemein ergibt sich für die Reihenschaltung von n Spulen: Bei der Parallelschaltung von Spulen addieren sich die Ströme: Folie: 223

Parallelschaltung von Spulen
mit ergibt sich: Allgemein ergibt sich für die Parallelschaltung von n Spulen: Daraus ergibt sich: Folie: 224

Die verzögernde Wirkung von Induktivitäten
Es wurde bereits angeführt, dass Spulen auch als Strom begrenzende Drosseln eingesetzt werden. Diese Eigenschaft, den Stromanstieg zu verzögern, wird im Folgenden rechnerisch untersucht. An eine Spule der Induktivität L und dem ohmschen Widerstand R (der Draht, aus dem die Spule gewickelt ist, weist einen Widerstand auf) wird eine Gleichspannungsquelle geschaltet: Masche: Folie: 225

Es ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung: 1. Schritt: Lösen der homogenen DGL: Folie: 226

Beide Seiten integrieren: bzw. 2. Schritt: Anfangsbedingungen ausnutzen Der Strom muss stetig sein, i(t =-0) = i(t = +0) = 0: Einsetzen ergibt: Folie: 227

Nach Abklingen des Schaltvorgangs ist die Spannung an der Spule Null. Der Strom ergibt sich zu: Einsetzen ergibt: =0 Damit ergibt sich als Lösung: oder mit der Zeitkonstanten Folie: 228

Für die Spannung an der Spule ergibt sich: Strom- und Spannungsverlauf ist in den folgenden Diagrammen gezeigt: Folie: 229

Ergebnisse: Die Spannung an der Spule springt im Einschaltmoment auf U0 und verhindert dass sprungartig ein Strom fließen kann. Der Strom steigt stetig von Null an und geht asymptotisch gegen seinen stationären Endwert U0/R. Es findet ein Ausgleichsprozess statt, bei dem der Strom nach dreifacher Zeitkonstante rund 95 %, nach fünffacher Zeitkonstante rund 99,3 % seines Endwertes erreicht hat. Der Strom in einer Spule kann sich niemals sprunghaft ändern. Die Ausgleichsfunktion verläuft umso langsamer, je größer die Zeitkonstante t = L/R der widerstandsbehafteten Spule ist. Frage: Stimmen der zeitliche Verlauf des Stroms und der Spannung mit der Gleichung für die im Spulenfeld gespeicherten magnetischen Energie überein? Folie: 230

Der Energieinhalt der Spule
Die im Verbraucher umgesetzte Energie ist: Sie setzt sich zusammen aus: Damit ergibt sich die Spulenenergie zu: Spulenstrom einsetzen: Folie: 231

Der Energieinhalt der Spule
Ausmultiplizieren: Integrieren: Integrieren: mit: mit: ergibt sich: folgt:  Folie: 232

Gegeninduktion Gegeninduktion:
Sind zwei Spulen so angeordnet, dass der zeitveränderliche Magnetfluss der einen Spule (N1) zumindest teilweise die andere Spule (N2) durchsetzt, so wird in die zweite Spule eine Spannung induziert. Folie: 233

Der Strom in der Spule N1 verursacht also einen magnetischen Fluss in der Spule N2. Es gilt: wenn N2 eine Windung aufweist. wenn N2 mehrere Windungen besitzt. L12 heißt Gegeninduktivität und drückt die magnetische Kopplung beider Spulen aus.

Das Experiment kann auch umgekehrt durchgeführt werden: Ein Strom in Spule 2 erzeugt einen magnetischen Fluss in Spule 1. Es gilt: Nach den Überlegungen zum Induktionsgesetz wird aufgrund des Stromes i1 in Spule 1 in der Spule 2 eine Spannung uind2 induziert: Ebenso wird natürlich auch ein in der Spule 2 fließender Strom i2 in der Spule 1 eine Spannung uind1 induzieren: Folie: 235

Der Transformator Technische Anwendung der Gegeninduktion:
Das Phänomen der Gegeninduktion wird beim Transformator ausgenutzt. Es werden zwei Spulen auf einen Eisenkern gewickelt: Ist die Permeabilität des Kernmaterials hoch, so wird der gesamte Magnetfluss im Kern geführt (keine Streuflüsse in der Luft), und beide Spulen werden von demselben magnetischen Fluss durchsetzt. Folie: 236

Der Transformator Geht man von einem magnetischen Widerstand des Trafokerns von aus, so ist der Magnetfluss im Eisenkern, falls nur eine der beiden Spulen Strom führt: oder: Da der magnetische Fluss im Kern überall gleich ist (keine Streufelder), gilt: Es ergibt sich: bzw.: Folie: 237

Der Transformator Merke:
Beim idealen Transformator verhalten sich die Ströme umgekehrt wie die Wicklungswindungszahlen! Für die in den Spulen induzierten, an den Klemmen anstehenden Spannungen gilt dann: und Dividiert man u1 durch u2, ergibt sich: Folie: 238

Der Transformator Merke:
Beim idealen Transformator verhalten sich die Spannungen wie die Wicklungswindungszahlen! Damit ist man in der Lage, zeitveränderliche Spannungen auf Spannungen anderer Höhen zu transformieren. Bei den Spannungsquellen galt, dass man viel Leistung bei gutem Wirkungsgrad nur bei hohen Spannungen erzielen kann. Mit Hilfe von Transformatoren kann man niedrige Spannungen entsprechend hoch transformieren. Sie sind daher unverzichtbar zur verlustarmen, wirtschaftlichen Übertragung elektrischer Energie! Folie: 239

Der Transformator Berechnung der Gegeninduktivität:
Lässt man eine Seite offen, z. B. i1= 0, dann lässt sich die Gegeninduktivität (auch Koppelinduktivität genannt) des Transformators einfach berechnen zu: Der magnetische Fluss wird von Spule 2 erzeugt: mit: Ergibt sich die Gegeninduktivität zu: Der Transformator wird vertiefend in der Vorlesung „Elektrische Maschinen“ behandelt.

Elektrische Bauelemente II Ende

Wechselstromkreise

Erzeugen einer Wechselspannung
In einem Generator (z.B. die Lichtmaschine im Auto) dreht sich ein Läufer in einem Magnetfeld. Nach dem Induktionsgesetz wird eine Spannung in die Läuferwicklung induziert. Um den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung zu bestimmen, wird exemplarisch eine Windung der Läuferwicklung betrachtet: Folie: 243

Rotiert die Leiterschleife in dem homogenen Erregermagnetfeld, so ändert sich fortwährend der die Schleife durchsetzende Magnetfluss. Mit dem Flächennormalenvektor n ergibt sich der senkrecht zur Leiterschleife orientierte Anteil des magnetischen Flusses zu: Folie: 244

Mit dem Winkel a: Bei konstanter Rotationsgeschwindigkeit w (z.B. 50 Umdrehungen in der Sekunde) gilt für den Winkel  : Damit ergibt sich der magnetische Fluss zu: Nach dem Induktionsgesetz wird folgende Spannung in die Leiterschleife induziert: Folie: 245

Besitz die Läuferwicklung w Windungen, erhöht sich entsprechend die induzierte Spannung: Im Allgemeinen Fall wird zum Zeitpunkt t0 der Läufer nicht beim Winkel 0° starten, sondern wird eine beliebige Winkelstellung j0 aufweisen. Es ergibt sich eine Zeitfunktion der Form: Scheitelwert Phasenwinkel Periodendauer Folie: 246

Der Kehrwert der Periodendauer ist die Frequenz: Die Frequenz und gibt die Anzahl der Schwingungen je Zeiteinheit an. In einem 50 Hz-Netz schwingt die Spannung 50-mal in der Sekunde; die Periodendauer beträgt T = 20 ms Wegen des Drehwinkels a der Leiterschleife trägt man die Schwingung oft statt über der Zeit t über dem Winkel  t auf. Dabei gilt für die Winkelgeschwindigkeit: Die Winkelgeschwindigkeit wird auch Kreisfrequenz genannt. Folie: 247

Kenngrößen von Wechselspannungen
Eine Gleichspannung ist durch die Angabe ihrer Größe, z.B. 100 V, vollständig beschrieben. Welche Angaben sind zur vollständigen Beschreibung von Wechselgrößen geeignet, die ständig ihre Größe ändern? Der arithmetische Mittelwert: Der arithmetische Mittelwert einer periodisch zeitveränderlichen Größe entspricht der Fläche zwischen ihrer Zeitfunktion und der Zeitachse, dividiert durch die Periodendauer. Der zeitliche Mittelwert einer sinusförmigen Spannung ergibt sich zu Null. Ein an diese Spannung Spannung angeschlossener Gleichstrommotor würde sich nicht bewegen. Folie: 248

Würde hingegen die Spannung um einen zeitlichen Mittelwert U schwingen, so würde der Motor dieselbe Drehzahl entwickeln, als würde er mit einer Gleichspannung U gespeist. Der arithmetische Mittelwert gibt also den Gleichanteil in einer Wechselspannung wieder. Wechselspannung mit Gleichanteil Beispiel: Um den Gleichstrommotor anzutreiben, wird ein einpulsiger Gleichrichter (Gleichrichter, der nur die positive Halbwelle durchlässt) vorgeschaltet: Folie: 249

Da die negative Halbwelle ausgefiltert wird, erfolgt die Integration bis T/2: Folie: 250

Der arithmetische oder zeitliche Mittelwert beträgt also 31,8 % des Scheitelwertes. Beträgt der der Scheitelwert z.B. 100 V, so dreht sich der Gleichstrommotors so schnell wie bei Anschluss an eine 31,8 V Gleichspannung. Der Effektivwert: Weitaus größere Bedeutung hat in der Elektrotechnik der Effektivwert. Wenn nicht anders gesagt, werden Spannungen, Ströme, elektrische Feldstärken, magnetische Induktionen usw. immer als Effektivwerte angegeben! Die physikalischen Auswirkungen von Wechselspannungen und -ströme können meistens über die Effektivwerte beschrieben werden! Folie: 251

Beispiel: Ein ohmscher Widerstand wird von einem Wechselstrom i(t) durchflossen: Die im Widerstand umgesetzte augenblickliche Leistung beträgt: Die mittlere Leistung P beträgt: Vergleicht man das Ergebnis mit dem Effektivwert: Folie: 252

Berechnung des Effektivwertes: Vergleich: Der Effektivwert des sinusförmigen Stroms erzeugt also die gleiche mittlere thermische Leistung im Widerstand wie der entsprechende Gleichstrom! Der Effektivwert einer sinusförmigen Wechselgröße beträgt demnach etwa 70,7 % ihres Scheitelwertes. Folie: 253

Merke: Zeitabhängige Größen, bzw. Augenblickswerte werden mit Kleinbuchstaben u, i gekennzeichnet, Effektivwerte mit Großbuchstaben U, I. Analog zur Stromstärke gilt ebenfalls für die sinusförmige Spannung: mit Beispiel: Die gewöhnliche Netzspannung aus der Steckdose von U = 230 V besitzt einen Scheitelwert von: Folie: 254

Die Richtung von Strom und Spannung
In der Gleichstromtechnik zeigt ein Strompfeil die Bewegung der positiven Ladungsträger an. Beim Wechselstrom entfällt diese physikalische Bedeutung da sich ständig die Polarität der Spannung und damit die Stromrichtung ändert. Man interpretiert den Strompfeil als einen willkürlich festzulegenden Zählpfeil. Nach Verbraucherbezugspfeilsystem sind Strom und Spannung in die gleiche Richtung zu zeichnen, wenn das Bauelement passiv ist, also Leistung aufnimmt. Das Produkt aus Spannung und Strom ist somit positiv. Folie: 255

Die Richtung von Strom und Spannung
Bei Wechselspannungs- und Wechselstromquellen (aktive Bauelemente) zeigen Strom und Spannung in die entgegen gesetzte Richtung. Die Leistung ist dann negativ (vergleiche auch den Abschnitt „Elektrische Bauelemente I“). Folie: 256

Sinusförmige Größen als komplexe Zeiger
Problem: In der Wechselstromrechnung sind wegen der Strom-Spannungsgleichungen von Kondensatoren und Spulen und immer wieder Differentiationen oder Integrationen der sinusförmigen Größen vorzunehmen, so dass in Stromkreisen mit mehreren Bauelementen unübersichtliche Differentialgleichungen höherer Ordnung zu behandeln sind. Bereits bei einer einfachen Aufgabe wie der Leistungsberechnung entstehen Produkte sinusförmiger Größen, die das Anwenden komplizierter Additionstheoreme erfordert: Folie: 257

Man entgeht dieser Problematik und kommt zu einfachen Rechenregeln, die denjenigen des Gleichstromkreises entsprechen, wenn man auf die so genannte komplexe Wechselstromrechnung übergeht. Sinusförmigen Spannungen und Ströme werden durch komplexe Zeiger ersetzt. Die Zeitfunktion wird ergänzt: Es gilt die Eulersche Gleichung: Die trigonometrischen Funktionen sind verschwunden, es entsteht ein komplexer Scheitelwertzeiger: Folie: 258

Merke: Die Überlagerung dieser linearen Funktionen, kann durch Realteilbildung wieder rückgängig gemacht werden, so dass nach der Berechnung wieder das richtige Ergebnis herauskommt. Komplexer Drehzeiger verursacht die Drehung Komplexer Scheitelwert-zeiger Die sinusförmige Zeitabhängigkeit durch den Faktor ejwt ausgedrückt. Da man aber bei der Wechselstromrechnung weiß, dass man es mit sinusförmigen Größen der Kreisfrequenz w zu tun hat, ist diese Information redundant: sie kann entfallen. Die wesentlichen Informationen zur Spannung u(t) sind der Scheitelwert und die Phasenlage, die durch den komplexen Scheitelwertzeiger û ausgedrückt werden. Man muss daher nicht mit den Drehzeigern rechnen sondern es reicht die Berechnung über die Scheitelwertzeiger. Folie: 259

Abbildung des komplexen Drehzeigers als Sinusfunktion auf die reelle Ebene: Anmerkung: In der Elektrotechnik wird häufig auch der komplexe Effektivwertzeiger verwendet: mit ergibt sich: Folie: 260

Vorteile: Mit den komplexen Scheitelwertzeigern gestaltet sich die Berechnung wesentlich einfacher als mit den Zeitfunktionen. Wie sich noch zeigen wird, vereinfachen sich die Differentialgleichungen (die beim Einsatz von Spulen und Kondensatoren entstehen) zu algebraischen Gleichungen. Nachteil: Der zusätzliche Aufwand, welcher zunächst für das Verständnis der Transformation in die komplexe Ebene aufgebracht werden muss und das Beherrschen der Rechenregeln für komplexe Zahlen. Grundregeln: Eine komplexe Größe A wird dargestellt durch ihren Realteil Ar, der auf der reellen Achse aufgetragen wird, und ihren Imaginärteil jAi, der auf der imaginären Achse aufgetragen wird. Folie: 261

Grundregeln der komplexen Rechnung
Imaginäre Einheit: Die imaginäre Einheit ist die Wurzel aus minus Eins. Die Zeigerdarstellung gleicht einer Vektordarstellung in der (x, y) -Ebene. Für die Betragbildung und die Winkelberechnung gilt: Folie: 262

Real- und Imaginärteil bildet man durch: Beispiel: Gegeben sei eine sinusförmige Spannung Der Scheitelwertzeiger ist: Nach der Eulerschen Formel ergibt sich: Folie: 263

Produkt zweier komplexer Größen: Merke: Der Betrag des Produktes C ist das Produkt der Beträge. Der Winkel des Zeigers C ist die Summe der einzelnen Winkel. Sonderfall: Ist B =1 erfährt A, eine Drehung um jB: Der Zeiger A wird um den Winkel jB in mathematisch positiver Richtung, entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Folie: 264

Damit gelten die Zusammenhänge: Eine Multiplikation mit j entspricht einer Drehung um 90°. Eine Multiplikation mit -j entspricht einer Drehung um -90°. Eine Multiplikation mit -1 entspricht einer Drehung um 180°. Kehrwerte: Folie: 265

Summe zweier komplexer Größen: Anwenden der Eulerschen Formel: Merke: Die Summe zweier Zeiger A und B entspricht der Vektoraddition. Man erhält die Summe C, indem man jeweils die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile addiert. Folie: 266

Quotient zweier komplexer Größen: Merke: Der Betrag des Quotienten C ergibt sich als Quotient der Beträge. Der Winkel des Zeigers C als Differenz der einzelnen Winkel. Folie: 267

Die Induktivität in der komplexen Rechnung
Zunächst die Berechnung mit der Zeitfunktion: Für die Spule gilt: Es soll ein sinusförmiger Strom durch die Spule fließen: Die Differentiation ergibt: Der Sinus wird durch Verschieben um 90° wieder in die cos-Funktion überführt: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus. Folie: 268

Jetzt folgt die Berechnung mit dem komplexen Drehzeiger: Für die Spule gilt: Der sinusförmige Strom wird komplex ergänzt: Die Differentiation ergibt: Der Vorfaktor j erzeugt eine Drehung um 90°: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus. Folie: 269

Für den Drehzeiger der Spannung an der Spule ergibt sich: Hat man die Differentiation einmal ausgeführt, reicht die Darstellung mit Scheitelwertzeigern, die Drehung kann weggelassen* werden: Für den Scheitelwert-Spannungszeiger an der Spule ergibt sich: Darstellung mit Effektivwertzeigern: *Mathematisch gesehen, handelt es sich um eine Fouriertransformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Das Differential geht in eine Multiplikation mit jw über. Folie: 270

Fasst man die Größen vor dem Stromzeiger zusammen: und vergleicht dieses mit dem Ohmschen Gesetz: Dann besitzt die Spule einen imaginären frequenzabhängigen Widerstand: Merke: Die Spule besitzt einen imaginären, frequenzabhängigen Widerstand, welcher induktiver Blindwiderstand oder Impedanz genannt wird. Je häufiger der Strom seine Polarität wechselt, je höher also seine Frequenz ist, umso größer ist seine Impedanz. Die imaginäre Einheit „j“ bewirkt eine Drehung um 90°. Die Spannung eilt also dem Strom um 90° voraus. Den reinen Größenwert des Blindwiderstands nennt man Reaktanz. Es gilt Folie: 271

Für die Spule ergibt sich folgendes Zeigerbild: Zeigerdarstellung Zeitverlauf von Strom und Spannung Folie: 272

Die Kapazität in der komplexen Rechnung
Zunächst die Berechnung mit der Zeitfunktion: Für den Kondensator gilt: Es soll ein sinusförmiger Strom durch den Kondensator fließen: Die Integration ergibt: Der Sinus wird durch Verschieben um 90° wieder in die cos-Funktion überführt: Spannung eilt dem Strom um 90° nach. Folie: 273

Jetzt folgt die Berechnung mit dem komplexen Drehzeiger: Für den Kondensator gilt: Der sinusförmige Strom wird komplex ergänzt: Die Differentiation ergibt: Der Vorfaktor j erzeugt eine Drehung um 90°: Spannung eilt dem Strom um 90° nach. Folie: 274

Für den Drehzeiger der Spannung am Kondensator ergibt sich: Hat man die Integration einmal ausgeführt, reicht die Darstellung mit Scheitelwertzeigern, die Drehung kann weggelassen* werden: Für den Scheitelwert-Spannungszeiger am Kondensator ergibt sich: Darstellung mit Effektivwertzeigern: *Mathematisch gesehen, handelt es sich um eine Fouriertransformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Die Integration geht in eine Multiplikation mit 1/jw über. Folie: 275

Damit besitzt der Kondensator einen imaginären frequenzabhängigen Widerstand: Merke: Der Kondensator besitzt einen imaginären, frequenzabhängigen Widerstand, welcher kapazitiver Blindwiderstand oder Impedanz genannt wird. Je häufiger der Strom seine Polarität wechselt, je höher also seine Frequenz ist, umso geringer ist seine Impedanz. Die imaginäre Einheit „-j“ bewirkt eine Drehung um -90°. Der Strom eilt also der Spannung um 90° voraus. Den reinen Größenwert des Blindwiderstands nennt man Reaktanz. Es gilt Folie: 276

Für den Kondensator ergibt sich folgendes Zeigerbild: Zeigerdarstellung Zeitverlauf von Strom und Spannung Folie: 277

Der Widerstand in der komplexen Rechnung
Aus dem Ohmschen Gesetz für zeitabhängige, sinusförmige Ströme und Spannungen wird im Komplexen: bzw. mit Effektivwert-zeiger Der ohmsche Widerstand ist rein reell und erzeugt somit keine Phasenverschiebung. Strom und Spannung sind in Phase. Folie: 278

Impedanzen Strom- und Spannungszeigerdiagramme: Folie: 279

Impedanzen Impedanzzeigerdiagramme: Folie: 280

Impedanzen Allgemein berechnet sich die Impedanz zu:
Der Winkel der Impedanz entspricht also der Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom: Der Kehrwert der Impedanz nennt man Admittanz: Folie: 281

Frequenzabhängigkeit von Impedanzen
Betreibt man eine Spule mit einer Induktivität von L = 1 mH mit einer Wechselspannung der Frequenz f = 50 Hz, ergibt sich die Impedanz zu: Mit f = 100 Hz, verdoppelt sich die Impedanz: Merke: Die Impedanz der Spule ist proportional zur Frequenz! Folie: 282

Frequenzabhängigkeit von Impedanzen
Betreibt man einen Kondensator mit einer Kapazität von C = 10 nF mit einer Wechselspannung der Frequenz f = 50 Hz, ergibt sich die Impedanz zu: Mit f = 100 Hz, halbiert sich die Impedanz: Merke: Die Impedanz des Kondensators ist antiproportional zur Frequenz! Folie: 283

Verlustbehaftete Spule
Die bisher behandelten Impedanzen waren entweder reell (ohmscher Widerstand) oder rein imaginär (sog. Blindwiderstand der Spule oder des Kondensators). Im allgemeinen Fall weisen Impedanz einen Realteil und einen Imaginärteil auf. Beispiel: Verlustbehaftete Spule Ist die Spule z.B. aus Kupferdraht gewickelt, besitzt der Draht einen ohmschen Widerstand. Es ergibt sich eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand und Induktivität. Diese Schaltung entspricht zwei in Reihe geschalteten Bauelementen (vergleiche Reihenschaltung von Widerständen im Gleichstromkreis). Merke: Mit der Einführung der komplexen Rechnung können alle Methoden der Analyse von Gleichstromnetzwerken übernommen werden. Folie: 284

mit dem ohmschen Gesetz: Die ohmschen Widerstände und die Blindwiderstände werden zu einer Impedanz zusammen gefasst: mit Vergleicht man die Impedanz mit der Darstellung nach Real- und Imaginärteil, ergibt sich: Im-Teil positiv! Folie: 285

Umwandlung in Betrag und Phase: Strom-Spannungszeigerdiagramm: Impedanzzeigerdiagramm: Merke: Der Phasenwinkel j Z der Impedanz gibt gleichzeitig die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung an! Folie: 286

Betrag und Phasenwinkel der Impedanz einer Spule hängen von der Frequenz f (bzw. der Kreisfrequenz  = 2pf ) ab. Variiert man die Frequenz, erhält man die sogenannte Ortskurve: Ortskurve Frequenzabhängiger Impedanzverlauf Folie: 287

Beispiel: Die Impedanz einer Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand R und einer Induktivität L lässt sich mit den gleichen Methoden berechnen wie bei den Gleichstromkreisen: Folie: 288

Diese Gleichung lässt sich nicht sofort nach Real- und Imaginärteil trennen, da der Nenner komplex ist. Es muss konjugiert komplex erweitert werden! Im Nenner entfallen (siehe dritte binomische Formel) beim Ausmultiplizieren die gemischten Terme: = -1 Folie: 289

Nun ist die Darstellung nach Betrag und Phase möglich: Betrag von Z: Phasenwinkel von Z: Folie: 290

Verlustbehafteter Kondensator
Beispiel: Verlustbehafteter Kondensator Die Isolierung eines technischen Kondensators ist nicht ideal, sie besitzt eine geringe Leitfähigkeit G = 1/R. Es ergibt sich eine Parallelschaltung von Kondensator und Widerstand: Die Admittanz beträgt: Folie: 291

Daraus ergibt sich die Impedanz: Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen: Ergibt sich: Im-Teil negativ! Real- und Imaginärteil: Folie: 292

Nun ist die Darstellung nach Betrag und Phase möglich: Betrag von Z: Phasenwinkel von Z: Betrag und Phasenwinkel der Impedanz eines Kondensators hängen von der Frequenz f (bzw. der Kreisfrequenz  = 2pf ) ab. Variiert man die Frequenz, erhält man die sogenannte Ortskurve. Folie: 293

Die Impedanz eines verlustbehafteten Kondensators geht für hohe Frequenzen gegen Null. Die Impedanz eines verlustbehafteten Kondensators geht für geringe Frequenzen immer mehr gegen den (großen) ohmschen Widerstand R der elektrischen Isolierung. Folie: 294

Der Reihenschwingkreis
Schaltet man Spulen und Kondensatoren zusammen, so entsteht ein schwingungsfähiges System. Man unterscheidet zwei Grundtypen von Schwingkreisen: Spule, Kondensator und Widerstand in Reihe –Reihenschwingkreis Spule, Kondensator und Widerstand parallel – Parallelschwingkreis Impedanz des Reihenschwingkreises: Der Realteil dieser Impedanz ist konstant, ihr Imaginärteil dagegen frequenzabhängig. Folie: 295

Kleine Frequenzen: Der Reihenschwingkreis wirkt kapazitiv, d.h. der Impedanzzeiger liegt im vierten Quadranten (j < 0), der Strom eilt der Spannung voraus. Mit immer kleiner werdender Frequenz wächst die Impedanz hyperbolisch gegen Unendlich. Große Frequenzen: Der Reihenschwingkreis wirkt induktiv, d.h. der Impedanzzeiger liegt im ersten Quadranten (j > 0), der Strom eilt der Spannung nach. Mit wachsender Frequenz wächst die Impedanz linear gegen Unendlich. Resonanzfrequenz: Bei einer bestimmten Frequenz - der Resonanzfrequenz - wird der Imaginärteil Null. Die Impedanz ist minimal, reell und ist gleich dem ohmschen Widerstand R. Folie: 296

mit Obwohl Induktivität und Kapazität in Reihe liegen, machen sie sich bei der Resonanzfrequenz nach außen hin nicht bemerkbar. Über beiden Elementen können hohe Spannungen über beiden Elementen liegen, die sich aber aufgrund ihrer Phasenverschiebung um 180° gegeneinander aufheben. Folie: 297

Impedanz eines Reihenschwingkreises als Funktion der Frequenz Folie: 298 Ortskurve eines Reihenschwingkreises

Man spricht von einem Bandpass, da der Schwingkreis Ströme in einem bestimmten Frequenzbereich (Frequenzband) durchlässt und andere Frequenzen sperrt. Stellt man sich den Reihenschwingkreis als Spannungsteiler vor, wird die Spannung U2 am Ausgang maximal, wenn die Frequenz der Eingangsspannung U1 der Resonanzfrequenz entspricht. Folie: 299 Einfaches Bandpassfilter

Der Parallelschwingkreis
Beim Reihenschwingkreis teilten sich die Spannungen auf, den Parallelschwingkreis kann man als Stromteiler auffassen. Bei einer Parallelschaltung ist es vorteilhaft, die Admittanz auszurechnen. Admittanz des Reihenschwingkreises: Hauptnenner bilden: Folie: 300

Zähler ausmultiplizieren: j2 ergibt -1: Erweitern mit j, um den Nenner reell zu bekommen: Ergibt die Admittanz, getrennt nach Real- und Imaginärteil: Folie: 301

Der Parallelschwingkreis ist in Resonanz, wenn der Imaginärteil verschwindet. Die Resonanzbedingung lautet: Damit ergibt sich die Resonanzfrequenz zu: bzw. Merke: Die Resonanzbedingung für den Parallelschwingkreis ist dieselbe wie für den Reihenschwingkreis. Beim Reihenschwingkreis wird bei Resonanz die Impedanz minimal, beim Parallelschwingkreis wird die Admittanz minimal. Folie: 302

Merke: Die Resonanzbedingung für den Parallelschwingkreis ist dieselbe wie für den Reihenschwingkreis. Beim Reihenschwingkreis wird bei Resonanz die Impedanz minimal, beim Parallelschwingkreis wird die Admittanz minimal. Setzt man die Resonanzfrequenz ein, verschwindet der Imaginärteil: Im Resonanzfall wird die Admittanz minimal somit die Impedanz maximal. Die Impedanz nimmt den Wert R an: Der Parallelschwingkreis kann als einfaches Filter aufgefasst werden, der Frequenzen im Bereich der Resonanzfrequenz sperrt, die restlichen Frequenz durchlässt. Man spricht auch von einer Bandsperre. Folie: 303

Impedanz eines Parallelschwingkreises als Funktion der Frequenz Folie: 304 Admittanz-Ortskurve eines Parallelschwingkreises

Leistung in Wechselstromkreisen
An eine Wechselspannungsquelle wird ein Verbraucher mit der Impedanz Z angeschlossen: Dann fließt ein Strom: Folie: 305

Die augenblickliche Leistung berechnet sich zu: Mit dem Additionstheorem: ergibt sich die Leistung zu: Mit den Effektivwertzeigern: und Folie: 306

ergibt sich die Leistung zu: Merke: Die Momentanleistung (Leistung zu einem beliebigen Zeitpunkt t) eines Verbrauchers schwingt mit doppelter Netzfrequenz um einen zeitlichen Mittelwert. Da bei technischen Frequenzen (geringe Frequenzen 50 Hz; 60 Hz) dieser Mittelwert über die physikalischen Auswirkungen, wie Wärmeentwicklung, Kraftwirkungen usw. entscheidet, nennt man den Mittelwert der Momentanleistung die Wirkleistung P. Folie: 307

Es gilt: Einheit: Watt Die Einheit der Wirkleistung wird nach dem schottischen Erfinder James Watt ( ) benannt. Der Faktor cos j bezeichnet den Anteil der Wirkleistung, die der Verbraucher Z in Wärmeleistung umsetzt. Er wird deshalb auch Wirkleistungsfaktor genannt. Das Produkt der beiden Effektivwertzeiger U.I wird Scheinleistung genannt und enthält auch den Anteil der Pendelleistung. Der Anteil der Leistung, der mit doppelter Netzfrequenz pendelt, wird nicht im Verbraucher in Wärmeleistung umgesetzt, sondern pendelt zwischen Spannungsquelle und Verbraucher. Dieser Anteil wird Blindleistung genannt. Blindleistung tritt immer dann auf, wenn das Netzwerk Energiespeicher, also Kondensatoren (Energiespeicher des elektrischen Felds), Spule (Energiespeicher des magnetischen Felds) enthält. Folie: 308

Physikalische Beschreibung: Bei der positiven Halbwelle wird zum Aufbau des Feldes Energie bezogen, welche beim Abbau des Feldes wieder an die Quelle zurückgegeben wird. Bei der negativen Halbwelle wird erneut Leistung bezogen, um das Feld in umgekehrter Richtung aufzubauen. Beim Abbau wird erneut Energie an die Quelle zurückgegeben. Die Leistung pendelt deshalb auch mit dem Doppelten der Netzfrequenz zwischen dem Energiespeicher (Spule, Kondensator) und der Wechselstromquelle. Der zusätzliche Blindstrom belastet die Betriebsmittel, z.B. muss der Querschnitt der Leitungen für den größeren Strom ausgelegt werden. Anschauliche Beschreibung: Das Bierglas muss für den Schaum größer bemessen werden. Blindleistung: Wirkleistung: Folie: 309

Berechnung der Leistung mit komplexen Zeigern: Betrachtet man die Wirkleistung im Zeitbereich, so steht dort die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom: Betrachtet man die komplexen Effektivwertzeiger: Ergibt sich die Phasendifferenz, wenn man die Spannung mit dem konjugiert komplexen Strom multipliziert: Mit der Eulerschen Formel ergibt sich: Folie: 310

Damit setzt sich die Scheinleistung aus der reellen Wirkleistung und der imaginären Blindleistung zusammen: Für die Wirkleistung ergibt sich wieder der Mittelwert im Zeitbereich: Und für die Blindleistung: Merke: Die vom Verbraucher aufgenommene Wirkleistung ist immer positiv. Die Blindleistung steht senkrecht auf der Wirkleistung und kann positiv oder negativ sein. Die Scheinleistung ist die Hypothenuse (Verbindungslinie) zwischen Wirk- und Blindleistung. Die Scheinleistung schließt den Winkel j mit der Wirkleistung ein. Folie: 311

Der Betrag der Scheinleistung lässt sich aus Wirk- und Blindleistung berechnen: Für die Leistung ergibt sich folgendes Diagramm: Der Winkel der Scheinleistung ergibt sich zu: Folie: 312

Vergleicht man die Scheinleistung mit der komplexen Impedanz: so erkennt man, dass der Phasenwinkel der Impedanz identisch mit dem Phasenwinkel der Scheinleistung ist! Folie: 313

Merke: Die Berechnung von Wirk- Blind- und Scheinleistung erfolgt völlig analog zur Berechnung von Wirk- (Resistanz) Blind- (Reaktanz) und Scheinwiderstand (Impedanz). Der Winkel j ist bei beiden identisch und kann sowohl über die Leistung als auch aus der Impedanz berechnet werden. Folie: 314

Leistung rein induktiver Verbraucher
Berechnung der Leistung einer Spule: Für die Scheinleistung gilt allgemein: Die Spule besitzt die Impedanz: Da Phasenwinkel von Impedanz und Leistung identisch sind, gilt auch für die Leistung: Aus der Eulerschen Formel folgt: Merke: Die ideale Spule nimmt keine Wirkleistung auf, sie verursacht nur positive Blindleistung, genannt „induktive Blindleistung“! Folie: 315

Berechnen der induktiven Blindleistung: Es gilt das Ohmsche Gesetz im Komplexen: Die Impedanz einer Spule ist: Für die Scheinleistung ergibt sich: Damit ergibt sich die induktive Blindleistung einer idealen Spule zu: Folie: 316

Vergleich: Impedanzzeigerbild Leistungszeigerbild Merke: Induktive Blindleistung weist immer einen positiven Imaginärteil auf! Folie: 317

Leistung rein kapazitiver Verbraucher
Berechnung der Leistung eines Kondensators: Für die Scheinleistung gilt wieder: Der Kondensator besitzt die Impedanz: Da Phasenwinkel von Impedanz und Leistung identisch sind, gilt auch für die Leistung: Aus der Eulerschen Formel folgt: Merke: Der ideale Kondensator nimmt keine Wirkleistung auf, er verursacht nur negative Blindleistung, genannt „kapazitive Blindleistung“! Folie: 318

Berechnen der kapazitiven Blindleistung: Die Scheinleistung wurde bereits mit dem Ohmschen berechnet zu: Die Impedanz eines Kondensators ist: Die Scheinleistung ergibt sich zu: Damit ergibt sich die kapazitive Blindleistung eines idealen Kondensators zu: Folie: 319

Vergleich: Impedanzzeigerbild Leistungszeigerbild Merke: Kapazitive Blindleistung weist immer einen negativen Imaginärteil auf! Folie: 320

Leistung komplexer Verbraucher
Beispiel: Ohmsch-induktiver Verbraucher mit: Damit ergeben sich Wirk- Blind-und Scheinleistung zu: Der Phasenwinkel der Scheinleistung ergibt sich zu:

Vergleich zur Impedanzberechnung der verlustbehafteten Spule: Scheinleistung - Impedanz Wirkleistung – Ohmscher Widerstand Blindleistung – Reaktanz der Spule Phasenwinkel Scheinleistung - Impedanz: Folie: 322

Beispiel: Ohmsch kapazitiver Verbraucher mit: Damit ergeben sich Wirk- Blind-und Scheinleistung zu:

Vergleich zur Impedanzberechnung des verlustbehafteten Kondensators: Scheinleistung - Impedanz Wirkleistung – Ohmscher Widerstand Blindleistung – Suszeptanz des Kondensators Phasenwinkel Scheinleistung - Impedanz: Folie: 324

Zeigerbilder für die Leistungen im Vergleich zu den Impedanzen: Ohmsch-induktiver Verbraucher Ohmsch-kapazitiver Verbraucher Merke: Bei ohmsch-induktiven Verbrauchern liegt der Impedanzzeiger bzw. die Scheinleistung immer im ersten Quadranten, bei ohmsch-kapazitiven Verbrauchern immer im vierten. Folie: 325

Leistungsanpassung In Generatoren werden Spannungen in die im Magnetfeld rotierenden Läuferwicklungen induziert. Wird einem Generator Strom entnommen, fällt ein Teil der erzeugten Spannung an der Innenimpedanz der Läuferwicklung ab. Die Verbraucherimpedanz soll nun so angepasst werden, dass der Quelle (dem Generator) die maximale Wirkleistung entnommen wird: Innenimpedanz: Lastimpedanz: Die Impedanzen können allgemein als Reihenschaltung eines Ohmschen Widerstands und einer Reaktanz gesehen werden: Folie: 326

Leistungsanpassung Der Strom ergibt sich zu:
Für die Verbraucherwirkleistung gilt: Der Strom soll maximal werden, also muss der Nenner sein Minimum annehmen! Ohmsche Widerstände sind immer positiv, aber Reaktanzen können positiv (induktiv) und negativ (kapazitiv) sein. Die Reaktanzen im Nenner verschwinden für: Folie: 327

Leistungsanpassung Ist die Kompensationsbedingung erfüllt, sind nur noch die Ohmschen Widerstände wirksam, es gilt wie im Fall der Gleichstromquelle: Damit gilt für die Verbraucherimpedanz im Fall der Leistungsanpassung: Die umgesetzte Leistung beträgt dann wie bei der Leistungsanpassung bei den Gleichstromquellen, nur dass hier U0 der Effektivwert der Spannungsquelle ist: Folie: 328

Leistungsanpassung Beispiel: Die Innenimpedanz des Generators sei ohmsch-induktiv: Dann muss der Verbraucher ohmsch-kapazitiv sein: Abgleichbedingung für die Widerstände: Abgleichbedingung für die Reaktanzen: Merke: Die Leistungsanpassung gilt nur für die Betriebsfrequenz! Hier sind Spule und Kondensator in Resonanz (vergleiche Resonanz-frequenz Reihenschwingkreis).

Blindleistungskompensation
Blindleistung bedeutet größere Ströme IL in den Netzleitungen, höhere Übertragungsverluste PL und dass Leiterquerschnitte vergrößert werden müssen. Bei Großverbrauchern wird zusätzlich zur Wirkleistung auch der Blindleistungsbedarf mittels Blindstromzähler gemessen. Bei Überschreiten vorgegebener Grenzwerte verlangen die Energieversorgungsunternehmen Strompreiszuschläge. Eine Alternative ist die Blindleistungskompensation. Die von den Verbrauchern aufgenommene Blindleistung ist meistens induktiv (Wicklungen von Antriebsmotoren, Transformatoren, Magneten, Heizspulen, usw.). Auch Freileitungen zur Stromübertragung wirken induktiv. Eine wirkungsvolle Maßnahme zur Blindleistungskompensation ist daher das Parallelschalten von Kondensatoren. Folie: 330

Parallelschalten von Kondensatoren zur Blindleistungskompensation: Die kapazitive Blindleistung des parallelen Kondensators (je nach Größe des Verbrauchers auch große Kondensatorbänke) vermindert die induktive Blindleistung des Verbrauchers. Auf eine vollständige Kompensation wird in der Praxis (z. B. aus Gründen der Netzstabilität) verzichtet. Es wird in der Regel ein Leistungsfaktor von cos j = 0,9...0,95 angestrebt. Folie: 331

Zeigerbild der Blindleistungskompensation: Der Kompensations-kondensator gibt Blindleistung ab. Blind- und Scheinleistung verringern sich. Die Wirk-leistung bleibt konstant. induktiver Verbraucher mit Blindleistungsaufnahme Folie: 332

Der Blindstrom verringert sich und damit auch der Gesamtstrom. Der Blindstrom verringert sich. Dem Verbraucher mit induktivem Blindstrom wird ein Kondensator parallel geschaltet. Folie: 333

Wechselstromkreise Ende

Drehstromsysteme

Erzeugung von Drehstrom
Elektrische Energie wird in Kraftwerksgeneratoren großer Leistung (bis zu 2000 MVA) erzeugt. Im Generator befinden sich räumlich zueinander versetzte Wicklungen, in denen durch einen rotierenden Elektromagneten (Polrad) zeitlich versetzte sinusförmige Spannungen induziert werden. Die Frequenz dieser Spannungen beträgt 50 Hz in Europa; in England, den USA und einigen anderen Ländern 60 Hz. Prinzip des Drehstromgenerators (Innenpolmaschine) Folie: 336

Erzeugung von Drehstrom
Kraftwerksgenerator (hier Innenpolmaschine) in der Turbinenhalle während der Montage Folie: 337

Funktionsprinzip Drehstromgenerator
Die Läuferwicklung wird vom Gleichstrom durchflossen und erzeugt einen magnetischen Fluss. Der Fluss tritt aus dem Läufer aus, über den Luftspalt in das Ständereisen ein und schließt sich über den Ständer. Treibt man den Läufer an, so rotiert dieser und die Feldlinien schneiden die Wicklungen im Ständer. In den jeweiligen Ständerwicklungen wird eine Spannung induziert, die an den Klemmen U1, U2 bzw. V1, V2 sowie W1, W2 des Generators abgegriffen werden kann. Es entstehen drei zeitlich jeweils um 120° versetzte Wechselspannungen. Folie: 338

Folie: 339

Folie: 340

Folie: 341

Folie: 342

Folie: 343

Folie: 344

Folie: 345

Mehrphasige Spannungsquellen
Die Anzahl der Wicklungen im Ständer des Generators entscheidet darüber, wie viele zeitlich versetzte Wechselspannungen entstehen. Jede Wechselspannung kann im Ersatzschaltbild als eine eigene Spannungsquelle gezeichnet werden: Alle Spannungsquellen haben dieselbe Frequenz f, bzw. Kreisfrequenz w. Die gemeinsame Verbindung (Knoten) der Spannungsquellen wird Sternpunkt genannt. Allgemein gilt: Sternpunkt

In der Praxis ist der Generator symmetrisch ausgelegt, das bedeutet, dass die Ständerwicklungen alle die gleiche Windungszahl besitzen und gleichmäßig auf dem Ständerumfang verteilt sind. Deshalb haben alle induzierten Spannungen dieselbe Amplitude und weisen dieselbe Phasendifferenz zueinander auf: Besitzt der Generator m Ständerwicklungen, ergibt sich die Phasendifferenz zu: Folie: 347

Die erste Phasenlage darf willkürlich festgelegt werden: Dann ergibt sich das symmetrische Mehrphasensystem zu: Unterschiedliche Phasenzahlen: In der Elektrotechnik treten Systeme mit unterschiedenen Phasenzahlen auf. Zum Beispiel die bisher betrachteten Wechselstromkreise können als Sonderfall des Mehrphasensystems mit m = 1 aufgefasst werden. Einphasensysteme kommen in der Regel nur bei kleinen Leistungen zum Einsatz. Folie: 348

Unterschiedliche Phasenzahlen (Fortsetzung): Ausnahme: Die Bahnstromversorgung wird generell bis hin zu großen Leistungen einphasig betrieben. Die Bahnstromfrequenz beträgt16,67 Hz. Die Phasenzahl m = 2 tritt zum Beispiel bei elektrischen Kleinmaschinen auf, in Form eines unsymmetrischen Systems mit einer Phasenwinkeldifferenz j = 90° bzw. 270°. Höhere Phasenzahlen treten z.B. in der Stromrichtertechnik mit m = 6; 12 oder 24 auf. Die Basis der Energietechnik bildet das rechtsdrehende symmetrische Dreiphasensystem, also m = 3.

Anmerkung: Bei rechtsdrehenden Systemen ist die Phasendifferenz negativ, da Winkel im Gegenuhrzeigersinn positiv gezählt werden. Man erkennt den Drehsinn, wenn man die Spannungszeiger aneinanderlegt. Folie: 350

Das symmetrische Dreiphasensystem
Das rechtsdehende Dreiphasensystem besteht also aus drei Wechselspannungen, die jeweils um -120° phasenverschoben sind. Die Überlagerung der drei Wechselspannungen stellt die einfachste Möglichkeit dar, ein gleichmäßiges Drehfeld zu erzeugen. Das Drehfeld wird zum Betrieb von Drehstrommaschinen (z.B. Motoren) genutzt. Das Dreiphasensystem wird deshalb auch als Drehstrom-System bezeichnet. u3(t) u2(t) u1(t) Folie: 351

Leiterfarben und Klemmenbezeichnungen
Die spannungsführenden Leitungen, auch Außenleiter genannt, werden mit L1, L2 und L3 (früher R, S, T) bezeichnet. Die Außenleiter dürfen alle Farben außer grün und gelb aufweisen. Nach DIN VDE ist der Farbcode schwarz, braun, grau. Ist der Sternpunkt nach außen geführt, wird dieser Sternpunktleiter als Neutralleiter bezeichnet. Er trägt die Bezeichnung N. Der Neutralleiter besitzt die Farbe blau. Der Schutzleiter, PE (dient nicht dem Stromtransport sondern schützt vor gefährlicher Berührungsspannung), muss die Farbe grün-gelb haben. In sehr alten Installationen findet man noch rote Schutzleiter. Im industriellen Bereich sind die Steckverbindungen nach dem CEE-System als Kraftstecker ausgeführt. Folie: 352

Leitungen und Kraftstecker
Beispiele für Leitungen: Beispiele für Steckverbindungen: NYM-Leitung 5x10mm2 Kraftstecker und Kupplung, dreipolig Kraftstecker, fünfpolig NYM-J1 1x16mm2 Erdungsleitung Folie: 353

Sternspannung / Dreieckspannung
Frage: Warum gibt es beim Drehstromsystem immer zwei Spannungen (z.B. im Niederspannungsnetz: 400 V / 230 V)? Die Lösung bringt ein Maschenumlauf: Folie: 354

Betrag und Phase ausrechnen: Folie: 355

Die Spannung U12 ergibt sich zu: Vergleich mit den Sternspannungen: Maschenumläufe ergeben für U23 und U31: Merke: Die Spannungen zwischen Außenleiter und Sternpunkt heißen Sternspannungen. Die Spannungen zwischen den Außenleitern heißen verkettete Spannungen oder Dreieckspannungen. Die Dreieckspannungen haben alle die gleiche Amplitude und sind um jeweils 120° phasenverschoben. Die beiden symmetrischen Spannungssysteme sind um 30° gegeneinander verdreht. Folie: 356

Rechts im Diagramm die Überlagerung von zwei Sternspannungen zur Dreieckspannung im Zeitbereich. bzw. Selbiges gilt natürlich auch für U23 und U31! Folie: 357

Die Subtraktion der beiden Sternspannungen kann auch im Zeigerdiagramm graphisch ausgeführt werden. Der Spannungspfeil U2 wird um 180° gedreht und an die Spitze von U1 gesetzt. Die Verbindung der beiden Fußpunkte von U1 und U2 ergibt die verkettete Spannung U12. Ein symmetrischer Drehstromerzeuger erzeugt also grundsätzlich zwei verschiedene, symmetrische Spannungssysteme. Folie: 358

Warum die verketteten Spannungen auch Dreieckspannungen genannt werden, sieht man am Zeigerbild des symmetrischen Drehstromsystems: Sternpunkt Die verketteten Spannungen bilden ein gleichseitiges Dreieck. Folie: 359

Nennspannung Kommt es nicht auf die Phasenlage an, kann man sich auf die Angabe der Beträge beschränken. Die Dreieckspannung wird mit  indiziert und die Sternspannung mit Y. Im symmetrischen Drehstromsystem gilt: Ist die Nennspannung gegeben, ist damit grundsätzlich die verkettete Spannung bzw. die Dreieckspannung gemeint. Sie wird mit N indiziert oder ohne Index geschrieben. Der Sternpunkt ist -außer im Niederspannungsnetz- in der Regel nicht als Neutralleiter nach außen geführt, so dass die Spannung nur zwischen den Außenleitern gemessen werden kann, weshalb diese Spannung als Nennspannung festgelegt ist. Folie: 360

Drehstromverbraucher
An das symmetrische Drehstromsystem soll nun ein Verbraucher angeschlossen werden. Hier gibt es eine Vielzahl von Fällen zu unterscheiden: symmetrische Verbraucher in Sternschaltung, unsymmetrische Verbraucher in Sternschaltung, symmetrische Verbraucher in Dreieckschaltung, unsymmetrische Verbraucher in Dreieckschaltung, Drehstromsysteme mit und ohne Neutralleiter sowie ein- und zweiphasige Verbraucher. Zuerst wird der Fall eines Drehstromverbrauchers in Sternschaltung betrachtet: Werden die Einflüsse der Übertragungsleitungen vernachlässigt, sind Erzeuger- und Verbraucherklemmen identisch. Am Verbraucher tritt das symmetrische Spannungssystem der Sternspannungen U1, U2, U3 auf. Folie: 361

Verbraucher in Sternschaltung
Die Knotenregel ergibt: Die Ströme im einzelnen Verbraucherstrang ent-sprechen den Leiterströmen: Die Maschenumläufe über den Neutralleiter ergeben: Die Spannung über den einzelnen Verbraucherstrang entspricht der Sternspannung. Folie: 362

Verbraucher in Sternschaltung
Merke: Die Strangspannung des im Stern geschalteten Verbrauchers ist um Wurzel 3 kleiner als die Nennspannung! Die Leiterströme entsprechen den Strangströmen! Frage: Wie groß ist der Strom im Neutralleiter, wenn der Drehstromverbraucher symmetrisch ist? Der Strom im Neutralleiter ergibt sich nach der Knotenregel allgemein zu: Folie: 363

Symmetrischer Verbraucher in Sternschaltung
Berechnen des Stroms im Neutralleiter: Die Strangströme ergeben sich zu: Beim symmetrischen Verbraucher sind alle Impedanzen gleich groß: Folie: 364

Berechnen des Stroms im Neutralleiter (Fortsetzung): Alle Sternspannungen betragsmäßig gleich groß und unterscheiden sich nur durch ihre Phasenlage: Mit der Eulerschen Formel ergibt sich: Folie: 365

Merke: Beim symmetrischen Drehstromverbraucher ist der Strom im Neutralleiter Null! Da alle Sternspannungen betragsmäßig gleich groß sind und beim symmetrischen Verbraucher alle Impedanzen gleich groß sind, sind auch die Ströme betragsmäßig gleich groß. Es gilt: Damit bilden die Ströme im Zeigerdiagramm ein gleichseitiges geschlossenes Dreieck. Folie: 366

Die Stromsumme wurde durch Division durch die Impedanz Z berechnet. Da beim symmetrischen Verbraucher alle Impedanzen identisch sind, ergibt auch die Summe aller Spannungen Null. Dies erkennt man auch am Zeigerdiagramm: Folie: 367

Ergänzt man das Zeigerbild der Sternspannungen um die Dreieckspannungen, so erkennt man, dass auch die Summe der verketteten Spannungen gleich Null ist: Folie: 368

Unsymmetrischer Verbraucher in Sternschaltung
Das Schaltbild sieht genauso aus wie im symmetrischen Fall, jedoch sind beim symmetrischen Verbraucher die Impedanzen unterschiedlich: Berechnet man den Strom im Neutralleiter: dann kompensieren sich die drei Strangströme aufgrund der unterschiedlichen Impedanzen im Allgemeinen nicht mehr zu Null und es fließt ein Strom im Neutralleiter. Folie: 369

Unsymmetrischer Verbraucher in Sternschaltung
Sonderfall: Die drei Strangströme können sich zufällig zu Null kompensieren, so dass kein Strom im Neutralleiter fließt, das Dreieck der Stromzeiger ist dann jedoch nicht mehr gleichseitig sondern unsymmetrisch. Im Diagramm rechts ergibt die Stromsumme im unsymmetrischen Verbraucher hier zufällig Null. Die Bedingung IN = 0 ist also nicht hinreichend, um einen symmetrischen Dreiphasenverbraucher zu beschreiben, es muss Z1 = Z2 = Z3 gelten! Folie: 370

Bedeutung des Neutralleiters
Ist bei symmetrischer Belastung der Strom im Neutralleiter Null, kann dieser weggelassen werden. Da ein 3-LeiterDrehstromsystem kostengünstiger ist als ein 4-Leiter- Drehstromsystem, werden generell symmetrische Belastungen und symmetrische Drehstromverbraucher angestrebt. Symmetrische Belastungen sind vor allem bei Hochspannungsnetzen (380 kV/ 220kV und 110 kV) sowie in Mittelspannungsnetzen (20 kV/ 10 kV) gegeben, weshalb in diesen Netzen auf den Neutralleiter verzichtet wird. Im Niederspannungsnetz kommen sowohl Drehstromverbraucher als auch eine Vielzahl unsymmetrischer (einphasiger) Verbraucher vor, weshalb das Niederspannungsnetz generell als 4-Leiter-Netz, also mit Neutralleiter ausgeführt ist. Im Folgenden wird der einphasige Verbraucher im Drehstromsystem mit Neutralleiter betrachtet. Folie: 371

Bedeutung des Neutralleiters
Nur wenige Haushaltsgeräte haben einen 400-V-Drehstromanschluss, z.B. Elektroherd und Durchlauferhitzer zur Warmwasserbereitung. Die Mehrheit der im Haushalt vorkommenden Geräte benötigen nur eine kleine Leistung, weshalb der Anschluss an 230 V völlig ausreicht. Der Einsatz des Dreiphasensystems ist erst ab einigen Kilowatt wirtschaftlich sinnvoll. Diese sogenannten einphasigen Verbraucher entnehmen einem Außenleiter den elektrischen Strom, welcher dann über den Neutralleiter zur Quelle zurückfließt. Um eine Schieflast (ungleichmäßige Belastung der Außenleiter eines Drehstromnetzes) zu vermeiden, sollen die einphasigen Verbraucher möglichst auf unterschiedliche Außenleiter verteilt werden, so dass sich im Mittel eine symmetrische Belastung ergibt. Folie: 372

Drehstromnetz ohne Neutralleiter
Frage: Welcher Effekt tritt bei einer unsymmetrischen Belastung bei einem Netz ohne Neutralleiter ein? Zum Beispiel kann sich eine unsymmetrische Belastung durch einen Fehler im Netz (einpoliger Kurzschluss) ergeben. Oder im unsymmetrisch belasteten Niederspannungsnetz ist der Neutralleiter unterbrochen. Es kann kein Ausgleichsstrom über den Neutralleiter fließen. Da die Sternpunkte nicht miteinander verbunden sind, kann sich zwischen ihnen ein Potentialunterschied UMP ausbilden. Folie: 373

Berechnung von UMP: Maschenumläufe: Knoten: Folie: 374

Berechnung von UMP (Fortsetzung): Aus den Maschen-umläufen folgt: Ist der Verbraucher symmetrisch, also Z1 = Z2 = Z3, ergibt sich die Spannung zwischen den Sternpunkten zu Null. Ist der Verbraucher unsymmetrisch, kommt es zu einer Potentialverschiebung zwischen den Sternpunkten! Folie: 375

Potentialverschiebung zwischen generator- und verbraucherseitigem Sternpunkt: Unerwünschter Effekt: Die Verbraucher-strangspannungen unterscheiden sich von Phase zu Phase! Bei einem Kurzschluss kann sich die Sternspannung bis zur Dreieckspannung (also um Wurzel 3) erhöhen! Im Niederspannungsnetz wird deshalb der generatorseitige Sternpunkt (herausgeführt als Neutralleiter) geerdet und so auf ein definiertes Potential gelegt. Folie: 376

Spezialfall: Symmetrischer Drehstromverbraucher ohne Sternpunktleiter
Symmetrischer Verbraucher: Bei symmetrischer Belastung liegen beide Sternpunkte auf gleichem Potential, genauso, als ob sie elektrisch miteinander verbunden wären. Merke: Punkte gleichen Potentials dürfen zur Berechnung miteinander verbunden werden. Das System verhält sich wie eines mit Sternpunktleiter. Es ergibt sich: Folie: 377

Verbraucher in Dreieckschaltung
Die Dreieckschaltung ist wie die Sternschaltung eine Grundschaltung der Dreh-stromtechnik. Die Impedanzen sind zwischen jeweils zwei Außenleiter geschaltet, so dass über den einzelnen Verbraucherstrang die verkettete Spannung, sprich Nennspannung, anliegt. Es besteht keine Anschlussmöglichkeit für den Neutralleiter. Strangspannungen: Folie: 378

Die Strangspannung entspricht der Nennspannung: Die Verbraucherimpedanzen werden durch die Strangströme belastet, deren Richtung nach Verbraucherpfeilsystem angenommen wird. Es gilt: Folie: 379

Symmetrischer Verbraucher in Dreieckschaltung
Wie groß sind die Strangströme in Bezug auf die Leiterströme? Knotenregel: Ohmsches Gesetz einsetzen: Symmetrischer Verbraucher: Folie: 380

mit Merke: Die Spannung über den einzelnen Strang des im Dreieck geschalteten Verbrauchers entspricht der Nennspannung! Der Strom in den Zuleitungen ist um Wurzel drei größer als in den Verbrauchersträngen des im Dreieck geschalteten symmetrischen Verbrauchers! Folie: 381

Wendet man die Knotenregel auf alle drei Knoten an, ergibt sich: Addiert man die der Gleichungen, erhält man: Merke: Bei der Dreieckschaltung ergänzen sich die Außenleiterströme zu Null, ohne dass Vorgaben bezüglich der Impedanzen notwendig sind – also auch für unsymmetrische Verbraucher. Die Dreieckschaltung ist als ein strukturierter Knoten aufzufassen und bei einem Knoten ist die Summe aller Ströme immer Null. Folie: 382

Unsymmetrischer Verbraucher in Dreieckschaltung
Zeigerbild der Ströme: Die Strangströme kompensieren sich nicht zu Null! Das Zeigerbild des unsymmetrischen Verbrauchers in Dreieckschaltung: Die Leiterströme kompensieren sich zu Null und bilden ein unsymmetrisches Dreieck. Folie: 383

Ist der Dreieckverbraucher symmetrisch, ergänzen sich neben den Leiterströmen auch die Strangströme zu Null. Addition der Strangströme und Anwenden des Ohmschen Gesetzes:: Symmetrischer Verbraucher: Da die Summe der verketteten Spannungen Null ergibt: gilt auch Folie: 384

Zeigerbild der Ströme: Das Zeigerbild des symmetrischen Verbrauchers in Dreieckschaltung: Die Außenleiterströme und die Strangströme kompensieren sich zu Null! Folie: 385

Einphasiges Ersatzschaltbild
Betrachtet man ein 4-Leiter-Drehstromsystem mit symmetrischem Verbraucher, unterscheiden sich die Spannungen U1, U2 und U3 dem Betrag nach nicht sondern nur durch Ihre Phasenlage. Gleiches gilt für die Ströme IL1, IL2 und IL3. Die Stränge 2 und 3 enthalten somit keine neuen Informationen, sind also redundant. Nebenstehendes Ersatzschaltbild (hier mit Leitungsimpe-danzen) soll deshalb zu einem einphasigen Ersatzschaltbild vereinfacht werden. Folie: 386

Einphasiges Ersatzschaltbild
Für das einphasige ESB wird eine der Phasen herausgegriffen: Warum fehlt beim einphasigen ESB die Leitungsimpedanz im Neutralleiter? Beim symmetrischen Verbraucher kompensieren sich die Strangströme zu Null, der Neutralleiter ist stromlos. Über die Leitungsimpedanz des Neutralleiters fällt also keine Spannung ab. Im einphasigen Ersatzschaltbild fehlen aber die Strangströme I2 und I3 zur Kompensation, der Neutralleiter dient nun als Rückleiter für den Strom I1. Damit keine Spannung über die Impedanz des Neutralleiters abfällt, muss er weggelassen werden. Damit ist aber auch klar, dass bei der Drehstromtechnik geringere Stromwärmeverluste auf der Leitung entstehen (Neutralleiter ist stromlos), als bei Anschluss an drei einphasigen Wechselspannungen. Folie: 387

Einpolige Ersatzschaltbilder
Komplizierte Drehstromsysteme werden durch einpolige Ersatzschaltbilder dokumentiert. Diese entstehen aus der einphasigen Darstellung durch Verzicht auf den Rückleiter. Drei Schrägstriche über den Leitungen bringen in Erinnerung, dass es sich um die Kurzdarstellung eines Drehstromsystems handelt. Folie: 388

Elektrische Leistung in Drehstromsystemen
Für einphasige Wechselstromsysteme ergab sich die Scheinleistung zu: Mit dem Betrag der Scheinleistung: und der Phasendifferenz: Die Scheinleistung setzt sich aus der reellen Wirkleistung und der imaginären Blindleistung zusammen: Mit der Wirkleistung: und der Blindleistung: Betrachtet man allgemein einen Drehstromverbraucher, lassen sich die Leistungen für jeden Strang gesondert berechnen. Die Gesamtleistung ergibt sich dann aus der Addition der Einzelleistungen. Folie: 389

Für den allgemeinen Fall des unsymmetrischen Drehstromverbrauchers ergibt sich die Scheinleistung zu: Damit gilt für die Wirkleistung: Folie: 390

Oder über Wirkleistungsfaktoren ausgedrückt: Merke: Im unsymmetrischen Verbraucher kann jeder Verbraucherstrang einen anderen Wirkleistungsfaktor aufweisen! Analog gilt für die Blindleistung: bzw. Folie: 391

Leistung der Sternschaltung
Ist der Drehstromverbraucher im Stern angeschlossen, gilt: Strangspannung = Sternspannung Strangsstrom = Leiterstrom (Dies gilt auch für unsymmetrische Drehstromverbraucher im Stern mit Neutralleiter) Einsetzen in die Leistungsgleichungen ergibt: Folie: 392

Ist der im Stern angeschlossen Drehstromverbraucher symmetrisch, gilt: Alle Strangspannungen bzw. alle Strangströme sind betragsmäßig gleich groß und nur um jeweils 120° phasenverschoben. Folie: 393

Damit gilt für die Scheinleistung des symmetrischen Verbrauchers in Sternschaltung: mit folgt Für Wirk- und Blindleistung gilt entsprechend: Folie: 394

Leistung der Dreieckschaltung
Ist der (unsymmetrische) Drehstromverbraucher im Dreieck angeschlossen, gilt: Strangspannung = verkettete Spannung Leiterstrom setzt sich aus zwei Strangströmen zusammen. (Dies gilt auch für unsymmetrische Verbraucher im Dreieck.) Einsetzen in die Leistungsgleichungen ergibt: Folie: 395

Ist der im Dreieck angeschlossen Drehstromverbraucher symmetrisch, gilt: Alle Strangspannungen und alle Strangströme sind betragsmäßig gleich groß und nur um jeweils 120° phasenverschoben. Folie: 396

Damit gilt für die Scheinleistung des symmetrischen Verbrauchers in Dreieckschaltung: mit folgt und Für Wirk- und Blindleistung gilt entsprechend: Folie: 397

Leistung symmetrischer Drehstromverbraucher
Merke: Die Gleichungen zur Leistungsberechnung für den symmetrischen Stern- und Dreieckverbraucher sind identisch! Zusammenfassend gilt: mit Folie: 398

Messung der elektrischen Leistung
Als elektromechanisches Messgerät kann ein elektrodynamisches Messwerk, oder Dynamometer, zur Leistungsmessung verwendet werden. Ein Eisenkern mit ausgeprägten Magnetpolen trägt eine feststehende Wicklung, die vom Strom i1 durchflossen wird. Zwischen den Polen dieses Eisenkernes befindet sich, drehbar gelagert, eine zylinderförmige Spule, die von einem zweiten Strom i2 durchflossen wird. Der Strom i1 erzeugt im Luftspalt eine magnetische Induktion B. Auf die drehbare, vom Strom i2 durchflossene Spule, wird ein Moment ausgeübt, welches beiden Strömen proportional ist. Das Rückstellmoment dieser Spule wird durch eine Spiralfeder oder ein Spannband erzeugt und ist damit proportional zum Auslenkwinkel a. Folie: 399

Betrachtet wird zunächst der Messvorgang bei Gleichstrom: Bei Gleichströmen und Gleichheit dieser Momente ist der Auslenkwinkel a beiden Strömen proportional. Das Messwerk zeigt das Produkt zweier Ströme an und kann somit zur Leistungsmessung verwendet werden. Der zu messende Strom I = I1 wird durch die niederohmige feststehende Spule geschickt und die zu messende Spannung U an die drehbare hochohmige Spule mit dem Widerstand R2 angelegt. Der Strom I2 ergibt sich zu: Leistung bei Gleichstrom Der Auslenkwinkel a ergibt sich zu: Folie: 400

Verlaufen Strom und Spannung sinusförmig, so würde bei trägheitsfreier Drehspule der Augenblickswert der Leistung gemessen: Da das mechanische System aufgrund seiner Massenträgheit der Pendelleistung mit der Frequenz von 100 Hz (im 50-Hz-Netz) nicht folgen kann, stellt sich ein mittlerer Auslenkwinkel ein: Bei Betrieb mit Wechselstrom zeigt das Dynamometer also die Wirkleistung P an und wird deshalb umgangssprachlich auch „Wirkleistungsmesser“ genannt. Folie: 401

Zur Messung der Wirkleistung wird das Messgerät also an den Spannungspfad und den Strompfad angeschlossen: Unter Verwendung eines Phasenschiebers kann auch die Blindleistung gemessen werden: Folie: 402

Bei Drehstromsystemen mit Neutralleiter können die Einzelleistungen und die Gesamtwirkleistung mit drei Leistungsmessern gemessen werden: Folie: 403

Ist der Neutralleiter nicht nach außen geführt und damit der Sternpunkt nicht erreichbar, kann ein künstlicher Sternpunkt geschaffen werden: Bei unsymmetrischer Belastung wird nur die Gesamtleistung richtig gemessen, da sich der Verbrauchersternpunkt verschiebt. Die Einzelanzeigen P1, P2 und P3 haben keine physikalische Bedeutung! Folie: 404

Ist der Drehstromverbraucher symmetrisch, zeigen die Leistungsmesser die Strangleistung an. Daher reicht ein Messgerät aus. Das Messergebnis wird mit drei multipliziert. Folie: 405

Ist der Drehstromverbraucher symmetrisch, gibt es die Möglichkeit, auch die Blindleistung mit nur einem Messgerät zu messen. Die beiden Spannungen sind um 90° phasen-verschoben: Für den Strompfad ergibt sich: Folie: 406

Das Produkt von Spannung und Strom ergibt sich zu: Damit zeigt das Messgerät folgenden Auslenkwinkel an: Überführen der cos-Funktion in die Sinusfunkion: Da die verkettete Spannung um Wurzel drei größer ist, wird das Messbergebnis anstatt mit 3 nur mit Wurzel 3 multipliziert: Folie: 407

In der Praxis wird die Leistungsmessung am (unsymmetrischen) Drehstrom-system ohne Neutralleiter nur mit zwei Leistungsmessern durchgeführt – der sogenannten Aron-Schaltung. Die Leistungsmesser werden an die verketteten Spannungen angeschlossen: Es wird nur die Gesamtleistung richtig gemessen, die Einzelanzeigen P1 und P2 haben keine physikalische Bedeutung! Der Neutralleiter darf nicht angeschlossen sein! Folie: 408

Für den unsymmetrischen Verbraucher berechnet sich die Wirkleistung zu: Der dritte Strom IL3 wird mit Hilfe der Knotenregel ersetzt: Es ergibt sich: Sortiert man nach den Strömen, erhält man: Folie: 409

Die Spannungsdifferenzen ergeben die verketteten Spannungen! Damit ergibt sich die Gleichung Aron-Schaltung: Es reichen also zwei Leistungsmesser aus, wenn man die Messgeräte an zwei verkettete Spannungen anschließt. Folie: 410

Bereits für einphasige ohmsch-induktive Verbraucher wurde die Blindleistungskompensation durch Parallelschalten eines Kondensators vorgestellt. Zur Blindleistungskompensation bei Drehstromverbrauchern werden Kondensator-batterien verwendet. Ist der Sternpunkt nach außen geführt, können die Kondensatoren zwischen Außenleiter und Neutralleiter angeschlossen werden, so dass sie parallel zu den Verbrauchersträngen liegen. Folie: 411

Ist der Sternpunkt nicht nach außen geführt, können die Kondensatoren nur zwischen die Außenleiter geschaltet werden. Es ergibt sich eine Dreieckschaltung. Ist der Verbraucher im Stern geschaltet, liegt eine gemischte Schaltung vor, die schwierig zu berechnen ist. ? Es ergäbe sich eine einfache Berechnung, wenn die Kondensatoren im Stern, also strangweise parallel geschaltet wären. Gesucht ist eine Rechenvorschrift, die Stern- und Dreieckschaltungen ineinander umrechnet. Folie: 412

Stern-Dreieck-Umwandlung
Umrechnen der im Dreieck geschalteten Bauelementgrößen, als ob sie im Stern geschaltet wären, bzw., Umrechnen der im Stern geschalteten Bauelementgrößen, als ob sie im Dreieck geschaltet wären. Folie: 413

Eingangsimpedanzen: es wird ein identisches Verhalten an den Außenklemmen gefordert, eine Klemme bleibt leerlaufend: Folie: 414

Folie: 415

Analog ergibt sich für die Stern-Dreieck-Umwandlung: Damit ergibt sich für die Kondensatoren: Folie: 416

Berechnen der Kompensationskapazitäten
Damit ergibt sich für die Kondensatoren: oder Die im Dreieck geschalteten Kondensatoren müssen also ein Drittel der Kapazität aufweisen, damit sie dieselbe kapazitive Blindleistung erzeugen, wie die im Stern geschalteten. Folie: 417

Anwendungen der Stern-Dreieck-Umwandlung
Die Stern-Dreieckumwandlung ist allgemein gültig und lässt sich auch außerhalb von Drehstromsystemen verwenden. Beispiel: Berechnung der Impedanz einer Brückenschaltung – sie lässt sich nicht einfach in Reihen- und Parallelschaltung zerlegen. Man kann Z1, Z2 und Z3 als Dreieckschaltung auffassen und in eine Sternschaltung umwandeln! Folie: 418

Anwendungen der Stern-Dreieck-Umwandlung
Impedanz berechnet! Somit stellt die Stern-Dreieck-Umwandlung ein weiteres Hilfsmittel zur Vereinfachung von Netzwerken dar. Folie: 419

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