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Beweisgraphen Seminar: Analyse von Petrinetzmodellen WS 2007/08 Dozent: Peter Massuthe Vortrag: Mike Herzog Humboldt Universität zu Berlin Institut für.

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1 Beweisgraphen Seminar: Analyse von Petrinetzmodellen WS 2007/08 Dozent: Peter Massuthe Vortrag: Mike Herzog Humboldt Universität zu Berlin Institut für Informatik

2 1 Beweisgraphen - aber wozu? Betrachten Verhalten von Petrinetzen Normalerweise Modelchecking Häufig Formeln der Form G(p Fq) Mit Beweisgraphen effizienter möglich

3 2 Beweisgraphen - Beispiel c d eba A B C D E N 2 = Beweisgraph für N 2 A E AE AB AD c d CD e BECB d e? AE c e?

4 3 gerichteter Graph G (genauer: Netzwerk) mit je einer ausgezeichneten Quelle p und einer Senke q Knoten sind Zustandsformeln in N Kantenbeschriftungen sind Transitionen in N enthält min 1 Pfad von p nach q kreisfrei, zusammenhängend bildet Halbordnungsrelation Für jeden Knoten r mit den Nachfolgern r 1, r 2, r 3,... gilt: r ( r 1 r 2 r 3...) Beweisgraphen - Eigenschaften

5 4 Leads-to Formeln Zustandsformeln p Sagen –M p (die Markierung M erfüllt p), gdw. M(p) 1 –w p q (der Ablauf w erfüllt p leads-to q), gdw. Zu jedem i mit M i p existiert ein j mit j i und M j q –N p q (das Netz N erfüllt p leads-to q), gdw. Jeder Ablauf w des Netzes gilt w p q AC c

6 5 Leads-to Formeln - Beispiele N 2 A C N 2 AB CD N 2 A E N 2 D D ¬AB AD c d eba A B C D E N 2 =

7 6 Effekt einer Transition auf eine Markierung - Beispiel Teilmarkierung –Wissen oft nicht über gesamtes Netz Bescheid. –Ist unter Umständen nicht nötig. Effekt von t auf L am Beispiel –eff(AB, d) = D –eff(AB, e) = AE d e A B C D E

8 7 Effekt einer Transition auf eine Markierung - Definition Definition: Sei N = (P,T,F) ein Netz, sei t T und sei L eine Markierung. Dann ist die Markierung eff(L, t) := max(L(p) + t(p), 0) der Effekt von t auf L. Lemma: Sei N = (P,T,F) ein Netz, sei t T, sei M t M ein Schritt von N und sei L M. Dann gilt: 1. eff(L, t) M. 2. Falls L = M, gilt eff(L, t) = M

9 8 Die Pick-up Regel - Idee Lemma: N t V u ( t) eff( t, u) N AB D AE N d eff( d, d) eff( d, e) d e A B C D E

10 9 Die Pick-up Regel - Erweitert Lemma: N t V u ( t) eff( t, u) AC... nicht mit Lemma ableitbar, da für kein t gilt AC = t. Es gilt aber dennoch N AC (CD CE AF) Beobachtung: AC ist progress prone e f A B C D F d E

11 10 Die Pick-up Regel - Allgemeiner Lemma: N t V u ( t) eff( t, u) Allgemeineres Lemma: Sei N = (P, T, F) ein Netz, sei Q P progress prone. Dann gilt N Q V u Q eff(Q, u). e f A B C D F d E

12 11 Die Pick-up Regel - Beispiel Allgemeineres Lemma: N Q V u Q eff(Q, u) N Q V u Q eff(Q, u)mit Q = {AC} N AC V u AC eff(AC, u)mit AC = {d, e, f} N AC eff(AC, d) eff(AC, e) eff(AC, f) N AC CD CE AF e f A B C D F d E

13 12 Die Pick-up Regel - (cont.) d be f A B C D E F Nach Lemma: BC E BF. Wissen aber, dass BC ¬D. Lösung: löscheverhinderte Transitionen aus Q Allgemeineres Lemma: N Q V u Q eff(Q, u) N 12 =

14 13 Die Pick-up Regel Gegeben:Sei N = (P, T, F, M 0 ) ein Netz, sei Q P. Gesucht:N Q... Lösung: 1.Aktiviert Q eine Transition? (Wenn nicht, ist keine Formel ableitbar.) 2.Setze U := Q 3.Nach belieben: Wenn Q die Transition t verhindert, entferne t aus U 4.Es gilt: N Q u U eff(Q, u)

15 14 Beweisgraphen - Ende 1.Teil AE AB AD c d CD e BECB d e? AE c e? c d eba A B C D E N 2 = Beweisgraph für N 2 A E

16 15 Cache Refreshing Beweisgraphen: kreisfreie, gerichtete Graphen mit ausgezeichneter Quelle und Senke Leads-to Formeln: N p q Effekt einer Transition auf eine Markierung Die Pick-up Regel: N Q u U eff(Q, u) Streichen verhinderter Transitionen aus U d e A B C D E

17 16 Fairness A ab cd BC D E N 16 = Beobachtung: Alle Transitionen sind konflikt-reduziert. Wenn eine -Transition unendlich oft aktiviert ist, wird sie irgendwann feuern.

18 17 Konflikt-reduzierte Transitionen Definition: Sei N ein Petrinetz, sei t eine Transition von N. t ist konflikt-reduziert, wenn es höchstens einen Platz p in t gibt, für den gilt: { t } p. p ist dann der Konflikt-Platz von t. b B D

19 18 Fairness - (cont.) N 16 A C Zu zeigen: B BD, denn wegen der Fairness-Annahme für b wird bei der (Teil-) Markierung BD die Transition b dann auch (irgendwann) feuern. AB BE BDC acb

20 19 Beweistechnik I A a c b C DB N 19 = N 19 AB CD ist nicht durch stures Anwenden der Pick-up Regel beweisbar. Manchmal muß[!] man Information wegschmeißen W.R. ABC ACD ab CB

21 20 Beweistechnik II a c b C B A N 20 = D E N 20 AD C ist nicht mit Standard-Beweisgraphen beweisbar. Lösung: Konstruieren uns die Invariante D+E = 1. ADABC a cab c? BEAE CD a CE C

22 21 Wechselseitiger Ausschluss N 21 = q q pending L pending R critical L critical R quiet L quiet R 1.Jeder kann jederzeit von quiet nach pending. 2.Wer pending ist, kommt irgendwann nach critical. 3.Es ist immer höchstens einer critical. Beweisgraphen

23 22 q quietpending avail silent waiting critical q requested granted pendingquiet avail silent waiting critical

24 23 q quietpending avail silent waiting critical requested granted

25 24 F N 22 A E q A C D E q LR M N P Q BGH JK cab d f e h k j m n g

26 25 BFNR ABNRBFLN ABLNENR ELN BFGP ABGP CFKP EGP ACKPCFQ DHKPACQCFMR DHQACMRCFLM DHMRACLM DHLM DJNR DJLN DJGP

27 26 F q A C D E q LR M N P Q BGH JK cab d f e h k j m n g N 22 A E

28 27 F q q N 22 A E

29 28 N 22 H HM HHQ HKHKP m HM k N 22 A E AJ ABJD AC c?b HHM s.o. jd E a Beweisgraph für N 22 A E

30 29 Streichen verhinderter Transitionen N 22 A E AJ ABJD AC c?b HHM s.o. jd E a BH b? BHM BHQ BHK BAH BFH m j BJ EH ACK ABJ b N 22 H HM

31 30 Beweisgraphen - Zusammenfassung Beweisgraph Leads-to Formel Teilmarkierung Pick-up Regel verhinderte Transition Fairness konflikt-reduzierte Transition

32 31 The Slides The Lost Slides

33 32 N A C a b d e g h ADG BEH CFI N = Beweisgraphen vs. Erreichbarkeitsgraphen CBA ab ADG BDG CDG CEG CFG CFH AEGADH BEGBDHAFGAEHADI CDHBFGBEHBDIAFHAEI CEHCDIBFHBEIAFI CEIBFI CFI


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