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Polynome im Affenkasten Für jedes Polynom bis zum 4. Grad gibt es einen Kasten, in dem es angeschaut werden kann. Jede Potenzfunktion zeigt eine besondere.

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Präsentation zum Thema: "Polynome im Affenkasten Für jedes Polynom bis zum 4. Grad gibt es einen Kasten, in dem es angeschaut werden kann. Jede Potenzfunktion zeigt eine besondere."—  Präsentation transkript:

1 Polynome im Affenkasten Für jedes Polynom bis zum 4. Grad gibt es einen Kasten, in dem es angeschaut werden kann. Jede Potenzfunktion zeigt eine besondere Schönheit. Neuentdeckungen sind jederzeit möglich. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg,

2 Polynome im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Polynome 3. Grades Übersicht Scherung als Beweisgedanke Parabeln im Bärenkasten Polynome 4. Grades im Pantherkäfig Potenzfunktionen Andere Funktionsklassen Entdeckendes Lernen Ausblick

3 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Polynom 3. Grades, das Extrema hat. Maximum und Wendepunkt definieren eine Kastenzelle. Überraschend ist: die nächste Zelle passt immer. o.B.d.A Symmetrie zum Wendepunkt.

4 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Jede Tangente schneidet die Wendetangente. Die Tangente am Kastenrand schneidet die Wendetangente auf der oberen Kastenlinie Überraschend ist: Der Schnittpunkt liegt immer an der 2:1 Teilungsstelle der Zelle

5 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Die Nullstelle ist stets das -fache der Extremstelle. Die Nullstellen-Tangente liegt also irrational im Kasten. Überraschend ist: Sie erbt ihre Steigung aus dem Kasten, m.a.W.: sie ist stets parallel zu einer markanten Kastenlinie.

6 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Flächenverhältnisse Es ist ein rationales Flächenverhältnis, obwohl die beteiligte Nullstelle irrational im Kasten liegt. Überraschend ist: Die Inhalte der gezeichneten Flächen stehen im Verhältnis 3 : 1 Das ist einfach schön.

7 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Flächenverhältnisse Die Inhalte der gezeichneten Flächen stehen im Verhältnis 3 : 1 Elemente des Beweises: denn die Rasterhöhe ist 2 a r 3.

8 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Flächenverhältnisse Flächen gleicher Farbe sind gleich groß.

9 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Addition eines linearen Terms zu einem Funktions- term bedeutet geometrisch eine Scherung des Funktionsgraphen. Scherachse ist die Parallele zur y-Achse durch die Nullstelle der zum linearen Term gehörigen Geraden. Scherwinkel ist der spitze Winkel, den die Gerade mit der x-Achse bildet.

10 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Scherungen erhalten die Flächengröße Scherungen erhalten Teilverhältnisse und Inzidenzen Scherungen erhalten die Wendestellen Scherungen erhalten den Grad eines Polynoms

11 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Also: Alle für gerade Affenkästen bewiesenen Tatsachen gelten auch für schräge Affenkästen. Berührt eine Gerade ein Extremum, so ist die gescherte Gerade bei der gescherten Funktion an derselben Stelle Tangente. Umgekehrt definiert jede Tangente selbst die Scherung, mit der sie in die x-Achse überführt werden kann.

12 Polynome 3. Grades im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Alle Aussagen gelten für sämtliche Polynome 3. Grades Jede Tangente definiert einen schrägen Affenkasten.

13 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Die Tangente an der Stelle r lässt sich mit Hilfe der Sehne zu einem zu r symmetrischen Intervall finden. Mit anderen Worten: Die zu einer Parabelsehne parallele Tangente hat ihre Berührstelle an der Mittenstelle Sehne. Beweis: Durch Scherung lässt sich die Tangente in die x-Achse überführen. Dann ist die Eigenschaft trivial. O.B.d.A kann das Intervall [0 / 2r] genommen werden, sic!

14 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Die Tangente an der Stelle r, die Sehne zu [r-, r+ ], die Sehne zu [r-2, r+2 ], bilden einen gleichmäßigen Kasten. Beweis: Durch Scherung lässt sich die Tangente in die x-Achse überführen. Durch Verschiebung und Streckung entsteht die Normalparabel. Für sie ist wegen (2b) 2 =4 b 2 die Eigenschaft klar.

15 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Die Tangente an an den Ecken des Bärenkastens treffen die untere Kastenkante auf einem Gitterpunkt, sie schneiden sich untereinander auf der Unterkante des Doppelkastens Dies kann also gar keine Parabel sein.

16 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg,

17 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Für waagerechte Sehnen gilt: Die Fläche zwischen der Parabel und ihrer Sehne ist zwei Drittel der Bärenkastenfläche. Wegen der Scherung gilt das für alle Sehnen.

18 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Die Scherung, die den schrägen Bärenkasten in einen geraden überführt, hat als Scherwinkel das Negative des Steigungswinkels der Tangente. Scherachse kann jede senkrechte Gerade sein. Der Berührpunkt wird Scheitelpunkt, wenn man will, kann man diesen noch in den Ursprung verschieben. Analytisch kann man einfach die Tangente subtrahieren. Das ist dann eine Scherung an der Senkrechten durch die Nullstelle der Tangente.

19 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Johannes Kepler (Mathematiker, Astronom) fand schon Anfang des 17. Jahrhunderts die sog. Fass-Regel. Mehrfache Anwendung führt zur Simpsonregel. Vollst. Beweis rechts mit Mathematica Verwendung der Dritteleigenschaft Keplersche Regel

20 Parabeln im Bärenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Die Tangente an an den Ecken des Bärenkastens treffen die untere Kastenkante auf einem Gitterpunkt, sie schneiden sich untereinander auf der Unterkante des Doppelkastens

21 Polynome 4. Grades im Pantherkäfig Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Polynome 4. Grades haben entweder genau zwei Wendepunkte oder gar keine. Betrachtet werden die mit zwei Wendetangenten und deren Schnittpunkte mit dem Polynom. Ist r der Abstand der Wendestellen, dann ist r auch der Abstand der Schnittstellen von den Wendestellen. Überraschend ist: Die Flächen zwischen Wendetangente und Kurve sind links und rechts gleich groß.

22 Polynome 4. Grades im Pantherkäfig Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Sei ein Polynom 4. Grades mit zwei Wendepunkten betrachtet. O.B.d.A. sei es symmetrisch. Die Gerade vom Wendepunkt zu oberen Kastenecke halbiert die Fläche zwischen Wendetangente und Kurve. ( hellgrau= mittelgrau) Die Randtangente halbiert die untere Zellenkante. Eine gewisse Rolle spielen die Drittel- und Neuntel-Zellenhöhe Überraschend ist: Die Formenvielfalt nimmt Überhand! Nicht das 4-fache, sondern das 4,2-fache der zipfeligen Fläche ist so groß wie die hellgraue.

23 Potenzfunktionen y=x k mit k>1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg,

24 Gescherte Potenzfunktionen y=x k +mx mit k>1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg,

25 Potenzfunktionen y=x k mit k>1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg,

26 e-Funktion mit Eulerkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Überraschend ist: Entstehung des Graphen aus Bausteinen e-Funktion um k verschieben. quadrieren Asymptote y= k 2. Für alle k sind Wendestelle und Schnittstelle mit Asymptote ln 2 von der Extremstelle entfernt. Also: Die Streifenbreite ist stets ln 2. Bei wachsendem k wandert die Extremstelle nach außen, die Asymptote nach oben.

27 e-Funktion mit Eulerkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Überraschend ist: Die Wendetangente scheidet Asymptote und x-Achse Dadurch wird ein Kasten definiert. Die Kastenfläche ist so groß wie die Fläche zwischen Kurve und Asymptote. A=2 k 2 Für alle k hat dieser Kasten die Breite 2 und der Wendepunkt liegt auf dem rechten unteren Viertelpunkt.

28 e-Funktion mit Eulerkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Viele Flächen sind Vielfache der Kastenzellen. Erforschen Sie mathematische Schönheiten!

29 Polynome im Affenkasten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Johanneum und Universität Lüneburg, Mathematische Gesellschaft Hamburg, Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Das Heft enthält eine zusammenhängende Darstellung mit vollständigen Beweisen, seitenbezogene Kopiervorlagen zu den Kernaussagen, Kopiervorlagen für entdeckendes Lernen, Klausuraufgaben, weitere Zusammenhänge und diesen Vortrag (49 Seiten). Es kostet 10 DM.


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