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Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung.

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Präsentation zum Thema: "Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung."—  Präsentation transkript:

1 Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung betrachte nur gemittelte Größen: Dichte, Temperatur, mittlere Geschwindigkeit eigentlich mehrere Flüssigkeiten: v.a. Elektronen und Ionen (unterschiedliche Massen!) elektrische und magnetische Felder Speziell im Plasma:

2 Vernachlässigung kinetischer Effekte (unterschiedliche Antwort von Teilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten auf externe Felder, z.B. Landau-Dämpfung) Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Starte von kinetischer Gleichung: Momente der Verteilungsfunktion: Betrachte nicht Verteilungsfunktion selbst, sondern

3 Momente der Verteilungsfunktion Dichte (k=0): Schwerpunktsgeschwindigkeit (k=1): Temperatur (k=2):

4 Momente der Verteilungsfunktion Dies sind lokale Größen, d.h. Flüssigkeitsbeschreibung nur möglich, wenn mittlere freie Weglänge viel kleiner als Skalenlänge der untersuchten Prozesse Probleme für: stoßfreie Plasmen kleinskalige Prozesse Zeitskala der betrachteten Prozesse muss viel länger als Stoßzeit sein:

5 Kontinuitätsgleichung 0-tes Moment der kinetischen Gleichung: Energie-und Impulserhaltung: (falls nur Teilchen einer Sorte) v und u unabhängige Phasenraumvariablen, daher

6 Kontinuitätsgleichung + = 0 E unabhängig von v

7 Kraftgleichung 1-tes Moment der kinetischen Gleichung: Reibungskraft: (w: Relativgeschwindigkeit) Integration über Relativgeschwindigkeit = Integration über v bei gegebener Verteilungsfunktion werden genauso viele Teilchen abgebremst oder beschleunigt, um f wieder herzustellen

8 Kraftgleichung

9 P: anisotroper Drucktensor wie vorher

10 Kraftgleichung + += 0 = aus +

11 Kraftgleichung Kräfte-Gleichgewicht ggf. zusätzlich Gravitationskraft: Flüssigkeitselement wird beschleunigt durch einwirkende Kräfte: - auf Grund elektrischer Felder - Lorentz-Kraft - Reibungskraft - Gewichtskraft

12 Energiegleichung Multiplikation der kinetischen Gleichung mit Es entsteht wieder eine Hierarchie von Gleichungen, einfachstes System: - Kontinuitätsgleichung - Bewegungsgleichung - Gleichung für den Druck (aus Thermodynamik) + Maxwell-Gleichungen

13 Magnetohydrodynamik (MHD) Einflüssigkeitsbeschreibung: Annahme: Flüssigkeiten und Felder variieren auf gleichen Zeit- und Längenskalen (die der Ionen) Alle Effekte, die speziell die Elektronendynamik betreffen, werden vernachlässigt nichtrelativistische Beschreibung T e = T i noch höhere Stoßfrequenz als für Zwei-Flüssigkeit gefordert Auf betrachteter Zeitskala muss Energieaustausch zwischen Elektronen und Ionen erfolgen:

14 MHD-Gleichungen (1) Kontinuitätsgleichung: Gleichung für Massendichte + = 0 Gleichung für Massendichte statt Teilchendichte

15 MHD-Gleichungen (2) Kraftgleichung: Addition der Kraftgleichungen für Elektronen und Ionen (einfach geladene Ionen, isotroper Druck) Elektronenträgheit vernachlässigbar Im statischen Fall wird Druckgradient gerade durch Ströme senkrecht zum MF (und evtl. Gravitation kompensiert)

16 MHD-Gleichungen (3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz: Kraftgleichung für Elektronen Kraftgleichung: m e <

17 MHD-Gleichungen (3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz: ResistivitätHall-Term in MHD vernachlässigt Plasmabewegung senkrecht zu B

18 Zusammenfasung: MHD-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Maxwell- Gleichungen Adiabatische Zustandsänderung: Und dazu noch: Ohmsches Gesetz

19 MHD-Gleichgewicht Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Kraftgleichung (stationär) Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen

20 Ideales Ohmsches Gesetz: Betrachte Änderung des magnetischen Flusses durch eine Schleife, die sich mit Geschwindigkeit v durch das Plasma bewegt: mit Konsequenzen aus dem Ohmschen Gesetz

21 Der eingefrorene Fluss Das Magnetfeld ist in idealer MHD im Plasma eingefroren, d.h. es bewegt sich mit dem Plasma Fluss durch Spule verschwindet, wenn sie sich mit Plasmageschwindigkeit bewegt Zeitliche Änderung des Magnetfeldes nur durch Plasmabewegung

22 Konsequenzen der Flusserhaltung Plasmakontraktion führt zu MF-Erhöhung! A1A1 A2A2 B1B1 B2B2

23 Konsequenzen der Flusserhaltung Beispiel: In Neutronensternen Magnetfelder bis 10 8 T, erreichbar durch Kontraktion bei hohen Temperaturen Radius von Neutronensternen: r 2 ~ 20 km Sonnenradius r 1 ~ km

24 Endliche Resitivität Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie! Typische Zeiten für Rekonnektion:

25 Magnetische Inseln Erdmagnetfeld Beispiele für Rekonnektion

26 Rekonnektionszeiten -> sehr lange Rekonnektionszeiten Solar flares: L=10 7 m, rec =10 14 s, aber Beobachtung: 10 3 s Fusionsplasmen: L=0.2 m, rec =40 s, aber Beobachtung: 100 s (Sägezähne)

27 Sweet-Parker-Rekonnektion Kontinuitätsgleichung (inkompressibles Plasma) + = 0 außerhalb der resistiven Schicht: ideal MHD in resistiver Schicht: resistive MHD

28 Sweet-Parker-Rekonnektion MF-Energie = kinetische Energie Ausströmgeschwindigkeit = Maximalgeschwindigkeit in MHD

29 Sweet-Parker-Rekonnektion Charakteristische Zeit für Rekonnektion Schneller als vorher (1/ ), aber immer noch viel zu langsam

30 Rekonnektion ohne Zusatztermen (MHD) MHD (one fluid) theory valid only for L >> i however: thin current layer, width smaller than i for realistic :

31 Important for small MF (astrophysics) Two fluid theory Generalised Ohms law: Significant motion perpendicular to strong magnetic field only due to ExB drift E B Ion accelerated, = larger gyro radius Elektron decelerated, = smaller gyro radius for electrons and ions in the same direction

32 large MF (Fusion) Two fluid theory Generalised Ohms law: Time varying electric fields: polarisation drift

33 Important for small MF (astrophysics) large MF (Fusion) Important in thin layer Two fluid theory Generalised Ohms law:

34 X point geometry in two fluid theory

35 Outflow channel much wider in two fluid theory

36 Reconnection times close to Alfvén times! Much higher reconnection rate in two-fluid theory MHD Increasing influence of polarisation drift

37 Rekonnektion mit Zusatztermen (beyond MHD: || p)

38 Rekonnektionszeiten im Bereich von Alfvenzeiten!

39 Der Hall-Effekt Ohmsches Gesetz Strom senkrecht zu Magnetfeld Bedeutung des Hall-Effekts in der Niedertemperatur-Plasmaphysik: ExEx jxjx E y =0 BzBz Betrachte: Aus Ohmschem Gesetz: Strom in y-Richung, obwohl E y =0!

40 Der Hall-Effekt Strom in Richtung des E x -Feldes wird abgeschwächt durch j y Verringerte Leitfähigkeit in Richtung des elektrischen Feldes, höherer Strom senkrecht zu E und B

41 Elektrische Leitfähigkeit in magnetisierten Plasmen : Strom in E-Richtung, Spitzer-Leitfähigkeit : zwei Strombeiträge, Leitfähigkeit in E-Richtung erheblich reduziert in heißen Plasmen bei hohen Magnetfeldern Strom in Richtung von E, verringert durch MF Strom durch Hall-Effekt, wichtig für ce >, also für stark magnetisierte Plasmen

42 Der Hall-Generator Betrachte zusätzlich Plasmaströmung u x: ExEx jxjx BzBz uxux E y =0 wie vorher

43 Der Hall-Generator Betrachte zusätzlich Plasmaströmung u x: jxjx BzBz uxux E y =0 Für Niedertemperaturplasmen ( ce < zusätzliche Spannung durch Strömung über Widerstand R L

44 Der Faraday-Generator Plasmabewegung erzeugt Strom in y-Richtung Umkehrung des Generator-Prinzips: Plasmatriebwerke für Weltraumanwendungen J x B – Kraft bremst Plasmabewegung j x unterdrückt durch Segmentierung der Elektrode


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