Agenda für heute, 20. November 2009

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1 Agenda für heute, 20. November 2009
Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

2 Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung
Anwendung Informatik Daten organisieren Daten speichern Entity-Relationship-Modell Datenbanken Daten wieder gewinnen Daten reorganisieren Abfragen (z.B. mit SQL) Logische Verknüpfungen Daten austauschen Daten umformen Datenformate Standards 2/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

3 Daten organisieren, Daten speichern: Relationale Datenbank
Ursprüngliche Information Normalisieren Relationen Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Umstrukturierte Information 3/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

4 Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

5 Wiedergewinnen von Information: Aussagenlogik
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen? Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2 Datenbankabfrage Aussage ausgewertet mit Tupel einer Datenbank wahr (z.B. 1.7mg Eisen) falsch (z.B. 3.4mg Eisen) (z.B. 1.7mg Kalzium) 4/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

6 Elemente der Aussagenlogik
Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch") Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein Nährstoff = Eisen und Menge < 2 Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren verknüpft Nährstoff = Eisen and Menge < 2 Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art der Verknüpfung gegeben. Beispiele "Es schneit" (einfach) "Rosen sind rot und Veilchen sind blau" (zusammengesetzt) "Sie ist intelligent oder lernt jede Nacht" (zusammengesetzt) "Wohin gehst Du?" (keine Aussage) 5/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

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Logische Operatoren p und q sind Teilaussagen (logische Operanden) z.B. p steht für: Nährstoff = Eisen q steht für: Menge < 2 UND ODER NICHT Konjunktion: "sowohl p als auch q" p and q Disjunktion: "entweder p oder q" p or q Negation: "nicht p" not p Beispiele "Es schneit" (einfach) "Rosen sind rot und Veilchen sind blau" (zusammengesetzt) "Sie ist intelligent oder lernt jede Nacht" (zusammengesetzt) "Wohin gehst Du?" (keine Aussage) 6/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

8 Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

9 Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
Logische Verknüpfungen anschaulich spezifizieren Für jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten wird das Resultat der Verküpfung aufgelistet p q Verknüpfung von p mit q w x f w = wahr, f = falsch 7/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

10 Wahrheitstabelle für die Konjunktion
Symbole: und, and, •,  p q p and q w f Die erste Zeile ist eine Kurzform für: "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann ist p and q wahr Für alle Zeilen: wenn p dann q sonst falsch 8/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

11 Wahrheitstabelle für die Disjunktion
Symbole: oder, or, +,  p q p or q w f Beachte: p or q ist nur dann falsch wenn beide Teilaussagen falsch sind Für alle: wenn p dann wahr sonst q 9/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

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Beispiele Eisen ist magnetisch and Gold ist gelb ist wahr wahr and wahr Eisen ist magnetisch and Gold ist magnetisch ist falsch wahr and falsch Eisen ist magnetisch or Gold ist gelb ist wahr wahr or wahr Eisen ist magnetisch or Gold ist magnetisch ist wahr wahr or falsch Eisen ist gelb or Gold ist magnetisch ist falsch falsch or falsch 10/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

13 Wahrheitstabelle für die Negation
Symbole: nicht, not, ¬ p not p w f Vorrangregelung der logischen Operatoren : 1. not and or Vergleiche Kann durch Setzen von Klammern aufgehoben werden p or q and r ≠ (p or q) and r 11/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

14 Bemerkungen zur Disjunktion
Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) p or q bedeutet immer "p oder q oder beide" (siehe Wahrheitstabelle) manchmal bedeutet "oder" jedoch: p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) für diese Bedeutung wird die exklusive Disjunktion (xor) angewandt p q p xor q w f Beachte: p xor q ist dann falsch wenn beide Teilaussagen entweder falsch oder richtig sind. 12/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

15 Disjunktion oder exklusive Disjunktion?
Genauer: drink xor drive Aber stimmt das? Genauer: drink and < 1 Glas xor drive Stimmts jetzt? Genauer: (drink and ≤ 1 Glas and drive) or (drink and > 1 Glas and not drive) 13/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

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Das neue Plakat © Raphael Theiler 14/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

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Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q  not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q  not ( p or q ) Tautologie p or not p Widerspruch p and not p p not p p or not p w f p not p p and not p w f 15/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

18 Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
Daten verwalten (2) Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werete von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

19 Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder Zink? Mengendiagramme Alle Nahrungsmittel mit Zink Alle Nahrungsmittel mit Eisen Alle Nahrungsmittel mit Menge < 2 mg Logischer Ausdruck (Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink) 16/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

20 Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
(Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink) Menge and Eisen Eisen Zink Menge 17/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

21 Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder weniger als 2 mg Zink? Logischer Ausdruck (Nährstoff = Eisen) and (Menge < 2 mg) or (Nährstoff = Zink) and (Menge < 2 mg) 18/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

22 Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
(Menge < 2 mg) and (( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)) < 2 mg Eisen Zink Eisen or Zink (Eisen or Zink) and < 2 mg W F 19/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

23 Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
(Menge < 2 mg) and ( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink) < 2 mg Eisen Zink < 2 mg and Eisen or Zink W F 20/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

24 Boolesche Algebra Daten verwalten (2)
Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen Boolesche Algebra

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Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z  M gilt: (1) x • (y • z) = (x • y) • z; Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z; Assoziativ (3) x • y = y • x; Kommutativ (4) x + y = y + x; Kommutativ (5) x • (x + y) = x; Absorption (6) x + (x • y) = x; Absorption (8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z); Distributiv (8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z); Distributiv * nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864 21/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

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Boolesche Algebra es gibt ein Element 0  M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x  M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1  M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x  M ; (11) zu jedem x  M existiert genau ein y  M mit x • y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an. 22/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

27 Vereinfachung logischer Ausdrücke
Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen Bananen. Können wir das einfacher sagen? Was sagen wir überhaupt? Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane 23/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

28 Vereinfachung logischer Ausdrücke
Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane 1. (A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B) 2. [A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B) Distributivgesetz 3. (A • 1) + (¬A • ¬B) komplementäres Element bez. + 4. A + (¬A • ¬B) neutrales Element bez. • 5. (A + ¬A) • (A + ¬B) Distributivgesetz 6. 1 • (A + ¬B) komplementäres Element bez. + 7. A + ¬B neutrales Element bez. • Ananas oder keine Banane Aber sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 24/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

29 Verifizierung logischer Ausdrücke
1. Ausdruck: A B ((A • B) + (A ¬B)) (¬A ¬B) 1 Schritt: 2 5 3 6 4 7. Ausdruck: A B + ¬B 1 Schritt: 2 Reihenfolge: Aussage Logischer Ausdruck (Symbole) Boolesche Algebra Ausdruck evaluieren 25/25 © Departement Informatik, ETH Zürich

30 Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende