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Agenda für heute, 13. Januar 2006 Informationssysteme: ETH-BibliothekInformationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung.

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1 Agenda für heute, 13. Januar 2006 Informationssysteme: ETH-BibliothekInformationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

2 © Institut für Computational Science, ETH Zürich ETH-Bibliothek Vortrag von Frau E. Benninger Grösste Bibliothek der Schweiz Schwerpunkte im Bereich des elektronischen Informationsangebotes 2/25

3 Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die InformationsgewinnungLogische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

4 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Wiedergewinnung von Information: Relationale Datenbank Normalisieren Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Ursprüngliche Information Relationen Wiedergewonnene Information 3/25

5 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Wiedergewinnung von Information: Aussagenlogik Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen? Operation Suche Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff_id = 57 und Menge 2 4/25 Aussage angewandt auf Tupel einer Datenbank wahrfalsch

6 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Elemente der Aussagenlogik Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch"). Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein. Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren (Konjunktion, Disjunktion, Negation) verknüpft. 5/25 Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art und Weise wie diese in der Aussage verknüpft sind, gegeben.

7 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Konjunktion p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p and q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: pq p and q ww w Die erste Zeile ist eine Kurzform für: w f f "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann fw f ist p and q wahr. f f f Symbole: und, and,, 6/25

8 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Beispiel AnanasYogurt and Bananen-Yogurt Ein computergesteuerter Roboter würde mir nur etwas aus dem Laden zurück bringen, wenn sowohl ein Ananas als auch ein Bananen-Yogurt findet! 7/25

9 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Disjunktion p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p or q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: pq p or q www Beachte: p or q ist nur falsch wenn w fw beide Teilaussagen falsch sind. fww f f f Symbole: oder, or, +, 8/25

10 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Beispiel AnanasYogurt or Bananen-Yogurt Ein computergesteuerter Roboter würde mir diejenige Sorte welche vorhanden ist aus dem Laden zurück bringen, oder beide Sorten wenn beide vorhanden sind! 9/25

11 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Negation p sei eine (Teil)aussage, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von not p wird durch die Wahrheitstabelle der Negation präzise definiert: pnot p w f f w Symbole: nicht, not, ¬ 10/25 Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken: 1. NOT 2. AND 3. OR

12 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Bemerkung zur Disjunktion Umgangssprachlich bedeutet "oder" manchmal: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) manchmal bedeutet es: p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) "oder" in letzterem Sinn wird exklusive Disjunktion (xor) genannt. p or q ist durch die Wahrheitstabelle definiert und bedeutet immer "p oder q oder beide". 11/25

13 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Disjunktion oder exklusive Disjunktion? 12/25 Genauer: drink and >1 Glas xor drive Genauer: drink xor driveAber stimmt das? Genauer: drink and 1 Glas and drive or drink and > 1 Glas and not drive Stimmts jetzt?

14 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q not ( p or q ) TautologieWiderspruch p or not pp and not p pnot p p or not p wf w fw w pnot p p and not p wf f fw f 13/25

15 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Logische Operatoren im Web: "+" und "-" Inklusion und Exklusion Anstelle der logischen Operatoren "and", "or" und "not" setzen Suchhilfen oft auch die Zeichen "+" und "-" ein. Mit dem "+"-Operator (Inklusion oder Einschluss) sagen wir, dass der nachfolgende Suchbegriff auf jeden Fall im Suchergebnis enthalten sein muss. Der "-"-Operator (Exklusion oder Ausschluss) schliesst Dokumente im Suchergebnis aus, welche den nachfolgenden Suchbegriff enthalten. Beispiel Vogelgrippe –China Es werden nur Dokumente gesucht, in denen der Begriff "China" nicht enthalten ist. 14/25

16 Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung MengendiagrammeMengendiagramme Boolesche Algebra

17 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Grafische und formale Darstellung logischer Verknüpfungen Namen aller Nahrungsmittel Alle Nahrungsmittel mit Nährstoff 57 (Eisen) 15/25 Logischer Ausdruck Nährstoff_id = 57 AND Menge > 2 Mengendiagramme Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen? Alle Nahrungsmittel mit Menge > 2

18 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Beispiele logischer Verknüpfungen Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Bücher über Weinanbaugebiete Alle Bücher (Grundmenge) 16/25

19 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Suche: Bücher über Weinanbaugebiete in Südfrankreich Logischer Ausdruck: Weinanbau AND Südfrankreich 17/25 "wahr" für alle Bücher in dieser Schnittmenge Bücher über Weinanbaugebiete

20 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Suche: Bücher Südfrankreich oder über Wein oder über beides Logischer Ausdruck: Wein OR Südfrankreich Bücher über Wein Bücher über Südfrankreich 18/25 Bücher über Weinanbaugebiete

21 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Suche: Bücher über Südfrankreich aber nicht über Wein Logischer Ausdruck: Südfrankreich AND NOT Wein Bücher über Wein Bücher über Südfrankreich 19/25 Bücher über Weinanbaugebiete

22 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Suche:Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides, aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt Logischer Ausdruck: ( Weinbau OR Wein ) AND NOT Südfrankreich Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein 20/25 Bücher über Weinanbaugebiete

23 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke SüdFrWeinanbWeinNOT SüdFr Weinanb OR Wein(Weinanb OR Wein) AND NOT Südfr WWWFWF WWFFWF WFWFWF WFFFFF FWWWWW FWFWWW FFWWWW FFFWFF Beispiel Wir suchen Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides, aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt 21/25

24 Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche AlgebraBoolesche Algebra

25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen " " und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt: (1) x (y z) = (x y) z;Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z;Assoziativ (3) x y = y x;Assoziativ (4) x + y = y + x;Assoziativ (5) x (x + y) = x;Absorption (6) x + (x y) = x;Absorption (8) x (y + z) = (x y) + (x z);Distributiv (8) x + (y z) = (x + y) (x + z);Distributiv 22/25 * nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864

26 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Boolesche Algebra (9)es gibt ein Element 0 M mit 0 x = 0 und 0 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1 M mit 1 x = x und 1 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element 23/25 Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.

27 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Vereinfachung logischer Ausdrücke am Beispiel des Yogurt 1.(A B) + (A ¬B) + (¬A ¬B) 2.[A (B + ¬B)] + (¬A ¬B) Distributivgesetz 3.(A 1) + (¬A ¬B) komplementäres Element bez. + 4.A + (¬A ¬B) neutrales Element bez. 5.(A + ¬A) (A + ¬B) Distributivgesetz 6.1 (A + ¬B) komplementäres Element bez A + ¬B neutrales Element bez. Aber... sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 24/25 Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Ananas oder keine Banane

28 © Institut für Computational Science, ETH Zürich Verifizierung logischer Ausdrücke 25/25 AB((A B) + (A ¬B)) + (¬A ¬B) Schritt: ABA + ¬B Schritt:121 Reihenfolge: Aussage Logischer Ausdruck (Symbole) Boolesche Algebra Ausdruck evaluieren 1. Ausdruck: 7. Ausdruck:

29 Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende.


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