Agenda für heute, 13. Januar 2006

Präsentation zum Thema: "Agenda für heute, 13. Januar 2006"—  Präsentation transkript:

1 Agenda für heute, 13. Januar 2006
Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

2 Vortrag von Frau E. Benninger
ETH-Bibliothek Vortrag von Frau E. Benninger Grösste Bibliothek der Schweiz Schwerpunkte im Bereich des elektronischen Informationsangebotes 2/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

3 Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
Informationssysteme: ETH-Bibliothek Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

4 Wiedergewinnung von Information: Relationale Datenbank
Ursprüngliche Information Normalisieren Relationen Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Wiedergewonnene Information 3/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

5 Wiedergewinnung von Information: Aussagenlogik
Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen? Operation Suche Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff_id = 57 und Menge  2 Aussage angewandt auf Tupel einer Datenbank wahr falsch 4/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

6 Elemente der Aussagenlogik
Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch"). Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein. Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren (Konjunktion, Disjunktion, Negation) verknüpft. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art und Weise wie diese in der Aussage verknüpft sind, gegeben. Beispiele "Es schneit" (einfach) "Rosen sind rot und Veilchen sind blau" (zusammengesetzt) "Sie ist intelligent oder lernt jede Nacht" (zusammengesetzt) "Wohin gehst Du?" (keine Aussage) 5/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

7 Konjunktion Symbole: und, and, •,  p q p and q
p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p and q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: p q p and q w w w Die erste Zeile ist eine Kurzform für: w f f "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann f w f ist p and q wahr. f f f 6/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

8 AnanasYogurt and Bananen-Yogurt
Beispiel AnanasYogurt and Bananen-Yogurt Ein computergesteuerter Roboter würde mir nur etwas aus dem Laden zurück bringen, wenn sowohl ein Ananas als auch ein Bananen-Yogurt findet! 7/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

9 Disjunktion Symbole: oder, or, +,  p q p or q
p und q seien Teilaussagen, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von p or q wird durch die Wahrheitstabelle der Konjunktion präzise definiert: p q p or q w w w Beachte: p or q ist nur falsch wenn w f w beide Teilaussagen falsch sind. f w w f f f 8/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

10 AnanasYogurt or Bananen-Yogurt
Beispiel AnanasYogurt or Bananen-Yogurt Ein computergesteuerter Roboter würde mir diejenige Sorte welche vorhanden ist aus dem Laden zurück bringen, oder beide Sorten wenn beide vorhanden sind! 9/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

11 Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken:
Negation Symbole: nicht, not, ¬ p sei eine (Teil)aussage, w = wahr, f = falsch Der Wahrheitswert von not p wird durch die Wahrheitstabelle der Negation präzise definiert: p not p w f f w Reihenfolge der Auswertung von Operatoren in logischen Ausdrücken: 1. NOT AND OR 10/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

12 Bemerkung zur Disjunktion
Umgangssprachlich bedeutet "oder" manchmal: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) manchmal bedeutet es: p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) "oder" in letzterem Sinn wird exklusive Disjunktion (xor) genannt. p or q ist durch die Wahrheitstabelle definiert und bedeutet immer "p oder q oder beide". 11/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

13 Disjunktion oder exklusive Disjunktion?
Genauer: drink xor drive Aber stimmt das? Genauer: drink and >1 Glas xor drive Stimmts jetzt? Genauer: drink and ≤ 1 Glas and drive or drink and > 1 Glas and not drive 12/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

14 Logische Äquivalenzen
Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q  not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q  not ( p or q ) Tautologie Widerspruch p or not p p and not p p not p p or not p w f w f w w p not p p and not p w f f f w f 13/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

15 Logische Operatoren im Web: "+" und "-"
Inklusion und Exklusion Anstelle der logischen Operatoren "and", "or" und "not" setzen Suchhilfen oft auch die Zeichen "+" und "-" ein. Mit dem "+"-Operator (Inklusion oder Einschluss) sagen wir, dass der nachfolgende Suchbegriff auf jeden Fall im Suchergebnis enthalten sein muss. Der "-"-Operator (Exklusion oder Ausschluss) schliesst Dokumente im Suchergebnis aus, welche den nachfolgenden Suchbegriff enthalten. Beispiel Vogelgrippe –China Es werden nur Dokumente gesucht, in denen der Begriff "China" nicht enthalten ist. 14/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

16 Mengendiagramme Informationssysteme: ETH-Bibliothek
Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

17 Grafische und formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Welche Nahrungsmittel enthalten mehr als 2mg Eisen? Mengendiagramme Alle Nahrungsmittel mit Nährstoff 57 (Eisen) Namen aller Nahrungsmittel Alle Nahrungsmittel mit Menge > 2 Logischer Ausdruck Nährstoff_id = 57 AND Menge > 2 15/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

18 Beispiele logischer Verknüpfungen
Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Alle Bücher (Grundmenge) 16/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

19 Suche: Bücher über Weinanbaugebiete in Südfrankreich
Bücher über Südfrankreich "wahr" für alle Bücher in dieser Schnittmenge Bücher über Wein Logischer Ausdruck: Weinanbau AND Südfrankreich 17/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

20 Suche: Bücher Südfrankreich oder über Wein oder über beides
Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Logischer Ausdruck: Wein OR Südfrankreich 18/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

21 Suche: Bücher über Südfrankreich aber nicht über Wein
Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Logischer Ausdruck: Südfrankreich AND NOT Wein 19/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

22 Suche: Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides,
aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt Bücher über Weinanbaugebiete Bücher über Südfrankreich Bücher über Wein Logischer Ausdruck: (Weinbau OR Wein) AND NOT Südfrankreich 20/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

23 Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
Beispiel Wir suchen Bücher über Weinanbau oder über Wein oder über beides, aber nur wenn Südfrankreich nicht vorkommt SüdFr Weinanb Wein NOT SüdFr Weinanb OR Wein (Weinanb OR Wein) AND NOT Südfr W F 21/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

24 Boolesche Algebra Informationssysteme: ETH-Bibliothek
Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Mengendiagramme Boolesche Algebra

25 Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z  M gilt: (1) x • (y • z) = (x • y) • z; Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z; Assoziativ (3) x • y = y • x; Assoziativ (4) x + y = y + x; Assoziativ (5) x • (x + y) = x; Absorption (6) x + (x • y) = x; Absorption (8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z); Distributiv (8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z); Distributiv * nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864 22/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

26 Boolesche Algebra es gibt ein Element 0  M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x  M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1  M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x  M ; (11) zu jedem x  M existiert genau ein y  M mit x • y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an. 23/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

27 Vereinfachung logischer Ausdrücke am Beispiel des Yogurt
Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane 1. (A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B) 2. [A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B) Distributivgesetz 3. (A • 1) + (¬A • ¬B) komplementäres Element bez. + 4. A + (¬A • ¬B) neutrales Element bez. • 5. (A + ¬A) • (A + ¬B) Distributivgesetz 6. 1 • (A + ¬B) komplementäres Element bez. + 7. A + ¬B neutrales Element bez. • Ananas oder keine Banane Aber sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 24/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

28 Verifizierung logischer Ausdrücke
1. Ausdruck: A B ((A • B) + (A ¬B)) (¬A ¬B) 1 Schritt: 2 5 3 6 4 7. Ausdruck: A B + ¬B 1 Schritt: 2 Reihenfolge: Aussage Logischer Ausdruck (Symbole) Boolesche Algebra Ausdruck evaluieren 25/25 © Institut für Computational Science, ETH Zürich

29 Wir wünschen Ihnen ein schönes Wochenende.