1. 2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten

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1 1. 2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 1. 2. 1
1.2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten Summen- und Komplementärregel

2 1.2.1. Summen- und Komplementärregel
In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20. Es sei E1 … die gezogene Zahl ist durch 4 teilbar Da jede Kugel (jedes Ergebnis) die Wahrscheinlichkeit von hat, ist die Wahrscheinlichkeit von

3 1.2.1. Summen- und Komplementärregel
ELEMENTARE SUMMENREGEL Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ergebnisse eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen. Hat ein Ereignis E die Ergebnisse a1 bis an, so gilt P (E) = P (a1) + P (a2) + … + P (an)

4 1.2.1. Summen- und Komplementärregel
Weiterhin sei E2 … die gezogene Zahl ist durch 7 teilbar E1 und E2 haben keine gemeinsamen Elemente. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 7 teilbar), so gilt

5 1.2.1. Summen- und Komplementärregel
Es sei E3 … die gezogene Zahl ist durch 6 teilbar E1 und E3 haben das Ergebnis „12“ gemeinsam. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 6 teilbar), so gilt

6 1.2.1. Summen- und Komplementärregel
ALLGEMEINE SUMMENREGEL für

7 1.2.1. Summen- und Komplementärregel
Betrachtet man E4 … die gezogene Zahl ist gerade und E5 … die gezogene Zahl ist ungerade, so schließen sich die beiden Ereignisse gegenseitig aus und es gilt E4 ist also das Gegenereignis von E5. Deswegen ist P (E4) + P (E5) = 1

8 1.2.1. Summen- und Komplementärregel
KOMPLEMENTÄRREGEL Wenn und ,dann gilt P (E1) + P (E2) = 1

9 Baumdiagramme

10 Baumdiagramme In einem Behälter befinden sich 5 rote und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden daraus drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. r Eine solche Darstellung heißt ein BAUMDIAGRAMM. r b r r b b r r b b b r

11 1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche

12 1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche
Zufallsversuche können mehrfach hintereinander durchgeführt werden. Solche Zufallsversuche heißen MEHRSTUFIG. Dabei unterscheidet man UNABHÄNGIGE und ABHÄNGIGE Zufallsversuche.

13 1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche
UNABHÄNGIGKEIT Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis unabhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird nicht beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes. Beispiele: Werfen eines Würfels, Werfen einer Münze; Drehen eines Glücksrades, Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen

14 1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche
ABHÄNGIGKEIT Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis abhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes. Beispiele: Ziehen eines Loses aus einer Lostrommel, Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen

15 1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

16 1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen
Für das Beispiel aus findet man folgende Wahrscheinlichkeiten: r b E1 = {r; r; r} E2 = {r; r; b} E3 = {r; b; r} E4 = {r; b; b} E5 = {b; r; r} E6 = {b; r; b} E7 = {b;b; r}

17 Pfadregeln

18 Pfadregeln Für das Beispiel aus soll berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit drei rote Kugeln gezogen werden. PFADREGEL 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im Baumdiagramm. Für das Ereignis E1 aus bedeutet das:

19 Pfadregeln Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei den drei gezogenen Kugeln mindestens zwei rote dabei? Das trifft auf die Ereignisse E1; E2; E3; und E5 zu. PFADREGEL 2: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind.

20 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

21 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Mehr Abiturientinnen als Abiturienten 52,4 % der Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).

22 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bei diesem Zufallsexperiment werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen beobachtet.

23 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi Wessi 52,4 % 244600 100 %

24 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi Wessi 128170 52,4 % 244600 100 % 52,4 % der insgesamt Abiturientinnen und Abiturienten sind Frauen.

25 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi Wessi 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Demzufolge sind es Männer. Das entspricht 47,6 %.

26 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 59,1 % x Wessi 50,8 % x 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Zu lösen ist die Gleichung Man erhält mit x = die Anzahl der Abiturienten aus Westdeutschland.

27 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 47142 19,3 % Wessi 197458 80,7 % 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Also kommen Abiturienten aus Ostdeutschland. Das sind 19,3 %.

28 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 27861 11,4 % 19281 7,9 % 47142 19,3 % Wessi 197458 80,7 % 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Von den Absolventen aus Ostdeutschland sind 59,1 % Frauen. Es sind also Frauen und Männer. Das sind 11,4 % bzw. 7,9 % des Grundwertes.

29 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. Frau Mann Gesamt Ossi 27861 11,4 % 19281 7,9 % 47142 19,3 % Wessi 100309 41,0 % 97149 39,7 % 197458 80,7 % 128170 52,4 % 116430 47,6 % 244600 100 % Durch Subtraktion lassen sich die fehlenden absoluten Häufigkeiten ermitteln.

30 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Frau Mann Gesamt Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 % Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 % 52,4 % 47,6 % 100 % Aus der Vierfeldertafel lassen sich z.B. ablesen: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt und weiblich ist:

31 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten: Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?

32 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Hier werden die Wahrscheinlichkeiten an Bedingungen geknüpft. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland? Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt:

33 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Für solche Berechnung kann man den Satz von Bayes verwenden. SATZ: Satz von Bayes Sind A und B Ereignisse mit P(A) ≠ 0, dann gilt

34 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Frau Mann Gesamt Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 % Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 % 52,4 % 47,6 % 100 % Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: )

35 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Frau Mann Gesamt Ossi 11,4 % 7,9 % 19,3 % Wessi 41,0 % 39,7 % 80,7 % 52,4 % 47,6 % 100 % Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland? (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt: )

36 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aufgaben dieser Art lassen sich auch durch zwei Baumdiagramme lösen. w {O;w} O {w;O} O w m {O;m} W {w;W} w {W;w} O {m;O} W m m {W;m} W {m;W}

37 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
{O;w} O {w;O} 0,591 O w m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} O {m;O} 0,508 W m m {W;m} W {m;W}

38 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Ereignis und Gegenereignis haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1. w {O;w} O {w;O} 0,591 O w 0,409 m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} O {m;O} 0,508 0,476 W m 0,492 m {W;m} W {m;W}

39 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Analog zur Vierfeldertafel ist P(W) = 0,807. w {O;w} O {w;O} 0,591 O w 0,409 m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} 0,807 O {m;O} 0,508 0,476 W m 0,492 m {W;m} W {m;W}

40 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet. w {O;w} O {w;O} 0,591 O w 0,409 m {O;m} 0,524 W {w;W} w {W;w} 0,807 O {m;O} 0,508 0,476 W m 0,492 m {W;m} 0,397 W {m;W} 0,397

41 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet. w {O;w} 0,114 0,114 O {w;O} 0,591 0,218 O w 0,193 0,409 0,782 m {O;m} 0,079 0,524 W {w;W} 0,410 w {W;w} 0,410 0,807 O {m;O} 0,079 0,508 0,476 0,166 W m 0,492 0,834 m {W;m} 0,397 W {m;W} 0,397

42 1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt ablesen. w {O;w} 0,114 0,114 O {w;O} 0,591 0,218 O w 0,193 0,409 0,782 m {O;m} 0,079 0,524 W {w;W} 0,410 w {W;w} 0,410 0,807 O {m;O} 0,079 0,508 0,476 0,166 W m 0,492 0,834 m {W;m} 0,397 W {m;W} 0,397