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1.2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten 1.2.1. Summen- und Komplementärregel.

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2 1.2. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten Summen- und Komplementärregel

3 Summen- und Komplementärregel In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20. Es sei E 1 … die gezogene Zahl ist durch 4 teilbar Da jede Kugel (jedes Ergebnis) die Wahrscheinlichkeit von hat, ist die Wahrscheinlichkeit von.

4 Summen- und Komplementärregel ELEMENTARE SUMMENREGEL Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ergebnisse eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen. Hat ein Ereignis E die Ergebnisse a 1 bis a n, so gilt P (E) = P (a 1 ) + P (a 2 ) + … + P (a n )

5 Summen- und Komplementärregel Weiterhin sei E 2 … die gezogene Zahl ist durch 7 teilbar E 1 und E 2 haben keine gemeinsamen Elemente. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 7 teilbar), so gilt

6 Summen- und Komplementärregel Es sei E 3 … die gezogene Zahl ist durch 6 teilbar E 1 und E 3 haben das Ergebnis 12 gemeinsam. Berechnet man die Wahrscheinlichkeit für (E … die gezogene Zahl ist durch 4 oder 6 teilbar), so gilt

7 Summen- und Komplementärregel ALLGEMEINE SUMMENREGEL für

8 Summen- und Komplementärregel Betrachtet man E 4 … die gezogene Zahl ist gerade und E 5 … die gezogene Zahl ist ungerade, so schließen sich die beiden Ereignisse gegenseitig aus und es gilt. E 4 ist also das Gegenereignis von E 5. Deswegen ist P (E 4 ) + P (E 5 ) = 1

9 Summen- und Komplementärregel KOMPLEMENTÄRREGEL Wenn und,dann gilt P (E 1 ) + P (E 2 ) = 1

10 Baumdiagramme

11 In einem Behälter befinden sich 5 rote und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden daraus drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. r b r b r b r b r b r b r Eine solche Darstellung heißt ein BAUMDIAGRAMM.

12 Abhängige und unabhängige Zufallsversuche

13 Zufallsversuche können mehrfach hintereinander durchgeführt werden. Solche Zufallsversuche heißen MEHRSTUFIG. Dabei unterscheidet man UNABHÄNGIGE und ABHÄNGIGE Zufallsversuche.

14 Abhängige und unabhängige Zufallsversuche UNABHÄNGIGKEIT Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis unabhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird nicht beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes. Beispiele: Werfen eines Würfels, Werfen einer Münze; Drehen eines Glücksrades, Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen

15 Abhängige und unabhängige Zufallsversuche ABHÄNGIGKEIT Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis abhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments. Das Versuchsergebnis wird beeinflusst durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes. Beispiele: Ziehen eines Loses aus einer Lostrommel, Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen

16 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

17 Für das Beispiel aus findet man folgende Wahrscheinlichkeiten: r b r b r b r b r b r b r E 1 = {r; r; r} E 2 = {r; r; b} E 3 = {r; b; r} E 4 = {r; b; b} E 5 = {b; r; r} E 6 = {b; r; b} E 7 = {b;b; r}

18 Pfadregeln

19 Für das Beispiel aus soll berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit drei rote Kugeln gezogen werden. PFADREGEL 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im Baumdiagramm. Für das Ereignis E 1 aus bedeutet das:

20 Pfadregeln Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei den drei gezogenen Kugeln mindestens zwei rote dabei? PFADREGEL 2: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind. Das trifft auf die Ereignisse E 1 ; E 2 ; E 3 ; und E 5 zu.

21 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

22 Mehr Abiturientinnen als Abiturienten 52,4 % der Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).

23 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei diesem Zufallsexperiment werden zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen beobachtet.

24 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. FrauMannGesamt Ossi Wessi Gesamt 52,4 % %

25 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. FrauMannGesamt Ossi Wessi Gesamt ,4 % % 52,4 % der insgesamt Abiturientinnen und Abiturienten sind Frauen.

26 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. FrauMannGesamt Ossi Wessi Gesamt ,4 % ,6 % % Demzufolge sind es Männer. Das entspricht 47,6 %.

27 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. FrauMannGesamt Ossi 59,1 % x Wessi 50,8 %x Gesamt ,4 % ,6 % % Zu lösen ist die Gleichung Man erhält mit x = die Anzahl der Abiturienten aus Westdeutschland.

28 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. FrauMannGesamt Ossi ,3 % Wessi ,7 % Gesamt ,4 % ,6 % % Also kommen Abiturienten aus Ostdeutschland. Das sind 19,3 %.

29 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. FrauMannGesamt Ossi ,4 % ,9 % ,3 % Wessi ,7 % Gesamt ,4 % ,6 % % Von den Absolventen aus Ostdeutschland sind 59,1 % Frauen. Es sind also Frauen und Männer. Das sind 11,4 % bzw. 7,9 % des Grundwertes.

30 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen. FrauMannGesamt Ossi ,4 % ,9 % ,3 % Wessi ,0 % ,7 % ,7 % Gesamt ,4 % ,6 % % Durch Subtraktion lassen sich die fehlenden absoluten Häufigkeiten ermitteln.

31 Bedingte Wahrscheinlichkeiten FrauMann Gesamt Ossi 11,4 %7,9 %19,3 % Wessi 41,0 %39,7 %80,7 % Gesamt 52,4 %47,6 %100 % Aus der Vierfeldertafel lassen sich z.B. ablesen: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus dem Osten kommt und weiblich ist:

32 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten: 1.Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? 2.Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland?

33 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Hier werden die Wahrscheinlichkeiten an Bedingungen geknüpft. 1.Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: 2.Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland? Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt:

34 Bedingte Wahrscheinlichkeiten SATZ: Satz von Bayes Sind A und B Ereignisse mit P(A) 0, dann gilt Für solche Berechnung kann man den Satz von Bayes verwenden.

35 Bedingte Wahrscheinlichkeiten FrauMann Gesamt Ossi 11,4 %7,9 %19,3 % Wessi 41,0 %39,7 %80,7 % Gesamt 52,4 %47,6 %100 % Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau? (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eintritt: )

36 Bedingte Wahrscheinlichkeiten FrauMann Gesamt Ossi 11,4 %7,9 %19,3 % Wessi 41,0 %39,7 %80,7 % Gesamt 52,4 %47,6 %100 % Falls eine Person weiblich ist: mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus Ostdeutschland? (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eintritt: )

37 Bedingte Wahrscheinlichkeiten m Aufgaben dieser Art lassen sich auch durch zwei Baumdiagramme lösen. O W w w m W w m O O W {O;w} {O;m} {W;w} {W;m} {m;W} {m;O} {w;W} {w;O}

38 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 0,524 m O W w w m W w m O O W 0,591 0,508 {O;w} {O;m} {W;w} {W;m} {m;W} {m;O} {w;W} {w;O}

39 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 0,524 m 0,409 O W w w m W w m O O W 0,591 0,508 {O;w} {O;m} {W;w} {W;m} {m;W} {m;O} {w;W} {w;O} 0,492 0,476 Ereignis und Gegenereignis haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1.

40 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 0,524 m 0,409 O W w w m W w m O O W 0,591 0,508 {O;w} {O;m} {W;w} {W;m} {m;W} {m;O} {w;W} {w;O} 0,492 0,476 Analog zur Vierfeldertafel ist P(W) = 0,807. 0,807

41 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 0,524 m 0,409 O W w w m W w m O O W 0,591 0,508 {O;w} {O;m} {W;w} {W;m} {m;W} {m;O} {w;W} {w;O} 0,492 0,476 Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet. 0,807 0,397

42 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 0,524 m 0,409 O W w w m W w m O O W 0,591 0,508 {O;w} {O;m} {W;w} {W;m} {m;W} {m;O} {w;W} {w;O} 0,492 0,476 Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet. 0,807 0,397 0,193 0,114 0,079 0,410 0,114 0,410 0,079 0,218 0,782 0,166 0,834

43 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 0,524 m 0,409 O W w w m W w m O O W 0,591 0,508 {O;w} {O;m} {W;w} {W;m} {m;W} {m;O} {w;W} {w;O} 0,492 0,476 Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt ablesen. 0,807 0,397 0,193 0,114 0,079 0,410 0,114 0,410 0,079 0,218 0,782 0,166 0,834


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