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14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 1 Microcontroller Teil 2 Wiederholung Duales Zahlensystem Schaltungslogik.

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1 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 1 Microcontroller Teil 2 Wiederholung Duales Zahlensystem Schaltungslogik

2 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 2 Wiederholung Geschichte des Microcontrollers Zuse Z3 Von-Neumann Architektur Intel 4004 Transistortechnik 2 Mrd Transistoren auf einem Chip

3 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 3 Duales Zahlensystem Dezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 10 Ziffern 0 - 9 Binärsystem: Zahlensystem zur Basis 2 Ziffern 0 und 1 Oktalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^3 = 8 Ziffern 0 - 7 Hexadezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^4 = 16 Ziffern 0-9 und A-F

4 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 4 Umrechnung Dezimalzahl in Binärzahl 243= 243 % 2 = 1 = 243 / 2 = 121 = 121 % 2 = 1 = 121 / 2 = 60 = 60 / 2 = 30 Rest 0 = 30 / 2 = 15 Rest 0 = 15 / 2 = 7 Rest 1 = 7 / 2 = 3 Rest 1 = 3 / 2 = 1 Rest 1 = 1 / 2 = 0 Rest 1 => 11110011

5 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 5 Umrechnung Binärzahl in Dezimalzahl 11110011= 1*2^0 + 1* 2^1 + 0* 2^2 + 0* 2^3 + 1* 2^4 + 1* 2 ^5 + 1* 2^6 + 1* 2^7 = 1*1 + 1*2 + 0*4 + 0*8 + 1*16 + 1*32 + 1*64+1*128 = 1+2+16+32+64+128 = 243

6 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 6 Umrechung Dezimalzahl in Hexadezimalzahl 243 = 243 % 16 = 3 => 3 = 243 / 16 = 15 = 15 % 16 = 15 => F = 15 / 16 = 0 => 243 = F3

7 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 7 Umrechnung Hexadezimalzahl in Dezimalzahl F3 = 3*16^0 + F * 16^1 = 3*1 + 15 * 16 = 3 + 240 = 243 TIPP zum Üben: Der Windowstaschenrechner kann diese 3 Zahlenformate darstellen und in einander überführen

8 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 8 Umwandlung Binärzahl in Hexadezimalzahl und umgekehrt 11110011 = 1111 0011 = F 3 F 3 = 1111 0011 = 11110011 Hexadezimalzahlen werden oft mit 0x als Prefix geschrieben: 0xF3 Umwandlungen in jedes beliebige Zahlensystem, z.B. Oktalsystem funktionieren analog.

9 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 9 2er Komplement Bildung einer Negativen Zahl Positive Darstellung der Zahl Invertierung aller Bits Addieren von 1 Beispiel: -13 für eine 8 Bit Zahl Berechne 13: 00001101 Invertiere Bits: 11110010 Addiere 1:11110011

10 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 10 Zahlenkreis der 2erKomplementzahlen

11 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 11 Signed vs unsigned Man unterscheidet zwischen signed und unsigned Zahlen Signed: Mit Vorzeichen (Negative und Positive Zahlen) Egal ob 8-, 16- oder 32-Bit Zahlen, das höchstwertige Bit gibt das Vorzeichen an. Unsigned: Ohne Vorzeichen (Nur positive Zahlen) Alle Bits tragen zum Ergebnis bei Achtung: 11110011 = 243 (unsigned) 11110011 = - 13 (signed)

12 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 12 Zahlenbereiche Ganze Zahlen (Integer) Signed: bei 8 Bit: 128 bis +127 bei 16 Bit: 32.768 bis +32.767 bei 32 Bit: 2.147.483.648 bis +2.147.483.647 bei 64 Bit: 9.223.372.036.854.775.808 bis +9.223.372.036.854.775.807 (9 Trillionen) Unsigned: bei 8 Bit: 0 bis 255 bei 16 Bit: 0 bis + 65.535 bei 32 Bit: 0 bis +4.294.967.295 bei 64 Bit: 0 bis + 18.446.744.073.709.551.615

13 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 13 Fragen?

14 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 14 Rechnen mit Binärzahlen (Ganzzahlig) Addition Subtraktion Multiplikation Division Mögliche Probleme Overflow (Addition) Underflow (Subtraktion) Multiplikation erfodert doppelte Byte Anzahl Division geht nicht auf

15 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 15 Addition von 2 8-Bitzahlen 9 + 5 = 14 00001001 (9) + 00000101 (5) = 00001110 (14) 120 + 65 = 185 0111 1000 + 0100 0001 = 1011 1001 Signed oder unsigned? Unsigned:Korrektes Ergebnis (185) Signed: Overflow (-71)

16 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 16 Subtraktion Subtraktion ist die Addition des negativen Zweier Komplements 9-5 = 4 9 + (-5) = 4 0000 1001 (9) + 1111 1011 (-5) = 0000 0100 (4) -120 – 65 = -185? 1000 1000 + 1011 1111 = 0100 0111 (71) UNDERFLOW!!!

17 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 17 Multiplikation / Division 2^8*2^8=2^16 Es werden immer doppelt soviele Bytes gebraucht, wie die Ursprungszahlen hatten. Muliplikation und Division bedeutet eine Verschiebung der Bits nach links (Multiplikation) und nach rechts (Division) << 4 bedeutet eine Multiplikation mit 2^4 (LeftShift) Auffüllen mit 0 von hinten >> 4 bedeutet Division durch 2^4 (RightShift) Auffüllen von vorne mit Vorzeichenbit

18 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 18 Multiplikation 12 * 13 = 156 0000 1100 * 0000 1101 = 0000 0000 1001 1100 1100 · 1101 ----------- 1100 + 1100 + 0000 + 1100 ----------- 10011100 (156)

19 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 19 Multiplikation Verbesserungen der Multiplikation: Booth-Algorithmus Bit-Pair-Verfahren weitere Verbesserungen des Booth-Algorithmuses Verbesserungen beruhen darauf das viele 0 in den positiven Zahlen und viele 1 am Anfang von negativen Zahlen stehen

20 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 20 Division 168 / 6 = 28 Rest 0 172 / 6 = 28 Rest 4

21 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 21 Fragen?

22 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 22 Fliesskomma/Gleitkommazahlen f = s · m · 2^e F = Fliesskommazahl, z.B. 0,345 S = Vorzeichenbit (1 Bit) M = Mantisse (23 bzw. 52 Bit) E = Exponent ( 8 bzw. 11 Bit) Normalisierung notwendig 2,0 * 10^1 = 0,2* 10^2 = 20* 10^0

23 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 23 Dezimalzahl nach Binärzahl 11,25 = 0 1000 0010 01101000000000000000000 Exponent muss so gewählt werden, dass die Mantisse eine Zahl zwischen 1 und 2 erhält Bildung des 2er Logarithmus Log(11,25) = 3,..... Damit dieser Exponent nicht negativ wird wird 2^Bitanzahl Exponent-1 hinzuaddiert (hier also 128-1=127) Mantisse = (11,25/2^3 - 1) *2^{23} = (1,40625 - 1) * 2^23 = 3407872 -> 01101000000000000000000

24 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 24 IEEE754 Einfache Genauigkeit 0 < e < 255 = x = (1)v · 1.m · 2e127 Normale reelle Zahl e = 0, m = 0 = x=0 Null e = 0, m = 0 = x = (1)v · 0.m · 21127 Nichtnormalisierte Zahl e = 255, m = 0 = x = (1)v · Unendlich e = 255, m = 0 = x = NAN Not a Number, keine Zahl Genauigkeit 15 Stellen Dies bedeutet nicht 15 Nachkommastellen, sondern z.B.: 1234567890,12345 das alle weiteren Nachkommastellen ungenau sind

25 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 25 Fragen

26 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 26 Digitale Schaltungstechnik NOT (Invertierer) AND (*) Konjunktion OR (+) Disjunktion XOR NAND NOR Konjungierte Normalform Disjunktierte Normalform

27 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 27 Standardisierung von Schaltungen Gängige Normen: International Electrotechnical Commission (IEC) – Norm 60617-12 ist Standard US ANSI IEEE 91-1984 – Alternativer Standard DIN 40700 (Deutsche Industrie Norm) – Wurde 1996-1998 durch die DIN-Norm 60617 ersetzt

28 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 28 AND Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Stellt eine Multiplikation dar Schreibweise AB bzw Logisch: A ^ B Fachbegriff: Konjunktion

29 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 29 OR Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Stellt eine Addition dar Schreibweise A+B bzw Logisch: A V B Fachbegriff: Disjunktion

30 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 30 XOR Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Es darf nur genau ein Eingang wahr sein

31 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 31 NAND Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Sheffer-Operation – Sheffer hat nachgewiesen, dass man alle logischen Operatoren mit NANDs realisieren kann

32 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 32 NOR Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Peirce-Operation – Peirce hat die Grundlagen für Sheffer gelegt

33 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 33 Überblick

34 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 34 Wahrheitstafeln Wahrheitstabellen werden verwendet um Boole'sche Funktionen zu definieren, und / oder sie darzustellen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen steigt exponentiell mit der Anzahl der Eingangsvariablen an => 2 ^Anzahl der Eingangsvariablen – Anwendung auf Funktionen mit nur wenigen (4) Eingangsvariablen beschränkt. Zur Vereinheitlichung von Wahrheitstabellen stehen auf der linken Seite die Zahlen als Binärcode da

35 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 35 Wahrheitstabellebeispiel

36 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 36 Konjugierte Normalform Eine Formel der Aussagenlogik ist in konjunktiver Normalform, wenn sie eine Konjunktion von Disjunktionstermen ist. Disjunktionsterme sind dabei Disjunktionen von Literalen. Literale sind nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in KNF hat also die Form Beispiel:

37 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 37 Disjunktive Normalform Eine Formel der Aussagenlogik ist in disjunktiver Normalform, wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionstermen ist. Ein Konjunktionsterm wird ausschließlich durch die konjunktive Verknüpfung von Literalen gebildet. Literale sind dabei nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in DNF hat also die Form

38 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 38 Beispiel

39 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 39 De Morgansche Regeln DeMorgan hat die Gesetze für die Umformung von logischen Aussagen formuliert

40 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 40 Fragen

41 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 41 Halbaddierer

42 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 42 Schaltbild Halbaddierer

43 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 43 Volladdierer

44 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 44 Schaltbild Volladdierer

45 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 45 4-Bit-Addierer

46 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 46 Probleme: Hazards Übergang 111 zu 110

47 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 47 Lösung zusätzliche Gatter

48 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 48 FPGA

49 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 49 Flip-Flops Flip-flops dienen als Speicher eines Bits Werden häufig als Registerbausteine eingesetzt – Genauer Aufbau wird bei der Architektur des Prozessors besprochen werden

50 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 50 Frage

51 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 51 KV-Diagramme

52 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 52 Beispiele für Karnaugh-Diagramme

53 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 53 Beispiel einer Schaltung

54 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 54 Optimierte Schaltung durch Bildung von Blöcken

55 14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 55 7-Segment-Anzeige 7-Segmentanzeigen – Häufiger Einsatz in Digitaluhren und – Taschenrechnern Zur Darstellung der Zahlen von 0-9 Werden wieviele Bits als Eingänge benötigt? Werden wieviele Bits zur Ansteuerung der Anzeige benötigt? Übung: Wahrheitstabelle Übung: Minimale Schaltung durch Anwendung von KV-Diagrammen und KNF bzw DNF


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