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Veröffentlicht von:Diederick Kaul Geändert vor über 10 Jahren
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VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
Microcontroller Teil 2 Wiederholung Duales Zahlensystem Schaltungslogik VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Wiederholung Geschichte des Microcontrollers Zuse Z3 Von-Neumann Architektur Intel 4004 Transistortechnik 2 Mrd Transistoren auf einem Chip VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Duales Zahlensystem Dezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 10 Ziffern 0 - 9 Binärsystem: Zahlensystem zur Basis 2 Ziffern 0 und 1 Oktalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^3 = 8 Ziffern 0 - 7 Hexadezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^4 = 16 Ziffern 0-9 und A-F VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Umrechnung Dezimalzahl in Binärzahl
243= 243 % 2 = 1 = 243 / 2 = 121 = 121 % 2 = 1 = 121 / 2 = 60 = 60 / 2 = 30 Rest 0 = 30 / 2 = 15 Rest 0 = 15 / 2 = 7 Rest 1 = 7 / = 3 Rest 1 = 3 / = 1 Rest 1 = 1 / = 0 Rest 1 => VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Umrechnung Binärzahl in Dezimalzahl
= 1*2^0 + 1* 2^1 + 0* 2^2 + 0* 2^3 + 1* 2^4 + 1* 2 ^5 + 1* 2^6 + 1* 2^7 = 1*1 + 1*2 + 0*4 + 0*8 + 1*16 + 1*32 + 1*64+1*128 = = 243 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Umrechung Dezimalzahl in Hexadezimalzahl
243 = 243 % 16 = 3 => 3 = 243 / 16 = 15 = 15 % 16 = 15 => F = 15 / 16 = 0 => 243 = F3 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Umrechnung Hexadezimalzahl in Dezimalzahl
F3 = 3*16^0 + F * 16^1 = 3* * 16 = = 243 TIPP zum Üben: Der Windowstaschenrechner kann diese 3 Zahlenformate darstellen und in einander überführen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Umwandlung Binärzahl in Hexadezimalzahl und umgekehrt
= = F 3 F 3 = = Hexadezimalzahlen werden oft mit 0x als Prefix geschrieben: 0xF3 Umwandlungen in jedes beliebige Zahlensystem, z.B. Oktalsystem funktionieren analog. VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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2er Komplement Bildung einer Negativen Zahl Positive Darstellung der Zahl Invertierung aller Bits Addieren von 1 Beispiel: -13 für eine 8 Bit Zahl Berechne 13: Invertiere Bits: Addiere 1: VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Zahlenkreis der 2erKomplementzahlen
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Signed vs unsigned Man unterscheidet zwischen signed und unsigned Zahlen Signed: Mit Vorzeichen (Negative und Positive Zahlen) Egal ob 8-, 16- oder 32-Bit Zahlen, das höchstwertige Bit gibt das Vorzeichen an. Unsigned: Ohne Vorzeichen (Nur positive Zahlen) Alle Bits tragen zum Ergebnis bei Achtung: = 243 (unsigned) = - 13 (signed) VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Zahlenbereiche Ganze Zahlen (Integer)
Signed: bei 8 Bit: −128 bis bei 16 Bit: − bis bei 32 Bit: − bis bei 64 Bit: − bis (9 Trillionen) Unsigned: bei 8 Bit: 0 bis bei 16 Bit: 0 bis bei 32 Bit: 0 bis bei 64 Bit: 0 bis VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Fragen? VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Rechnen mit Binärzahlen (Ganzzahlig)
Addition Subtraktion Multiplikation Division Mögliche Probleme Overflow (Addition) Underflow (Subtraktion) Multiplikation erfodert doppelte Byte Anzahl Division geht nicht auf VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Addition von 2 8-Bitzahlen
9 + 5 = 14 (9) (5) = (14) = 185 = Signed oder unsigned? Unsigned:Korrektes Ergebnis (185) Signed: Overflow (-71) VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Subtraktion Subtraktion ist die Addition des negativen Zweier Komplements 9-5 = 4 <=> 9 + (-5) = 4 (9) (-5) = (4) -120 – 65 = -185? = (71) UNDERFLOW!!! VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Multiplikation / Division
2^8*2^8=2^16 Es werden immer doppelt soviele Bytes gebraucht, wie die Ursprungszahlen hatten. Muliplikation und Division bedeutet eine Verschiebung der Bits nach links (Multiplikation) und nach rechts (Division) << 4 bedeutet eine Multiplikation mit 2^4 (LeftShift) Auffüllen mit 0 von hinten >> 4 bedeutet Division durch 2^4 (RightShift) Auffüllen von vorne mit Vorzeichenbit VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Multiplikation 12 * 13 = 156 * = 1100 · 1101 1100 (156) VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Multiplikation Verbesserungen der Multiplikation: Booth-Algorithmus Bit-Pair-Verfahren weitere Verbesserungen des Booth-Algorithmuses Verbesserungen beruhen darauf das viele 0 in den positiven Zahlen und viele 1 am Anfang von negativen Zahlen stehen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Division 168 / 6 = 28 Rest 0 172 / 6 = 28 Rest 4 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Fragen? VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Fliesskomma/Gleitkommazahlen
f = s · m · 2^e F = Fliesskommazahl, z.B. 0,345 S = Vorzeichenbit (1 Bit) M = Mantisse (23 bzw. 52 Bit) E = Exponent ( 8 bzw. 11 Bit) Normalisierung notwendig 2,0 * 10^1 = 0,2* 10^2 = 20* 10^0 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Dezimalzahl nach Binärzahl
11,25 = Exponent muss so gewählt werden, dass die Mantisse eine Zahl zwischen 1 und 2 erhält Bildung des 2er Logarithmus Log(11,25) = 3,..... Damit dieser Exponent nicht negativ wird wird 2^Bitanzahl Exponent-1 hinzuaddiert (hier also 128-1=127) Mantisse = (11,25/2^3 - 1) *2^{23} = (1, ) * 2^23 = > VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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IEEE754 Einfache Genauigkeit
0 < e < 255 =⇒ x = (−1)v · 1.m · 2e−127 Normale reelle Zahl e = 0, m = 0 =⇒ x= Null e = 0, m = 0 =⇒ x = (−1)v · 0.m · 21−127 Nichtnormalisierte Zahl e = 255, m = 0 =⇒ x = (−1)v · ∞ Unendlich e = 255, m = 0 =⇒ x = NAN Not a Number, keine Zahl Genauigkeit 15 Stellen Dies bedeutet nicht 15 Nachkommastellen, sondern z.B.: ,12345 das alle weiteren Nachkommastellen „ungenau“ sind VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Fragen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Digitale Schaltungstechnik
NOT (Invertierer) AND (*) Konjunktion OR (+) Disjunktion XOR NAND NOR Konjungierte Normalform Disjunktierte Normalform VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Standardisierung von Schaltungen
Gängige Normen: International Electrotechnical Commission (IEC) Norm ist Standard US ANSI IEEE Alternativer Standard DIN (Deutsche Industrie Norm) Wurde durch die DIN-Norm ersetzt VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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AND Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Stellt eine Multiplikation dar Schreibweise AB bzw Logisch: A ^ B Fachbegriff: Konjunktion VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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OR Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Stellt eine Addition dar Schreibweise A+B bzw Logisch: A V B Fachbegriff: Disjunktion VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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XOR Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Es darf nur genau ein Eingang wahr sein VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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NAND Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Sheffer-Operation Sheffer hat nachgewiesen, dass man alle logischen Operatoren mit NANDs realisieren kann VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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NOR Schaltsymbole: IEC ANSI DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Peirce-Operation Peirce hat die Grundlagen für Sheffer gelegt VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Überblick VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Wahrheitstafeln Wahrheitstabellen werden verwendet um Boole'sche Funktionen zu definieren, und / oder sie darzustellen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen steigt exponentiell mit der Anzahl der Eingangsvariablen an => 2 ^Anzahl der Eingangsvariablen Anwendung auf Funktionen mit nur wenigen (4) Eingangsvariablen beschränkt. Zur Vereinheitlichung von Wahrheitstabellen stehen auf der linken Seite die Zahlen als Binärcode da VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Wahrheitstabellebeispiel
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Konjugierte Normalform
Eine Formel der Aussagenlogik ist in konjunktiver Normalform, wenn sie eine Konjunktion von Disjunktionstermen ist. Disjunktionsterme sind dabei Disjunktionen von Literalen. Literale sind nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in KNF hat also die Form Beispiel: VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Disjunktive Normalform
Eine Formel der Aussagenlogik ist in disjunktiver Normalform, wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionstermen ist. Ein Konjunktionsterm wird ausschließlich durch die konjunktive Verknüpfung von Literalen gebildet. Literale sind dabei nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in DNF hat also die Form VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Beispiel VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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De Morgansche Regeln DeMorgan hat die Gesetze für die Umformung von logischen Aussagen formuliert VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Fragen VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Halbaddierer VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Schaltbild Halbaddierer
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Volladdierer VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Schaltbild Volladdierer
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4-Bit-Addierer VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Probleme: Hazards Übergang 111 zu 110 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Lösung zusätzliche Gatter
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FPGA VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Flip-Flops Flip-flops dienen als Speicher eines Bits Werden häufig als Registerbausteine eingesetzt Genauer Aufbau wird bei der Architektur des Prozessors besprochen werden VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Frage VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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KV-Diagramme VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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Beispiele für Karnaugh-Diagramme
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Beispiel einer Schaltung
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Optimierte Schaltung durch Bildung von Blöcken
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7-Segment-Anzeige 7-Segmentanzeigen Häufiger Einsatz in Digitaluhren und Taschenrechnern Zur Darstellung der Zahlen von 0-9 Werden wieviele Bits als Eingänge benötigt? Werden wieviele Bits zur Ansteuerung der Anzeige benötigt? Übung: Wahrheitstabelle Übung: Minimale Schaltung durch Anwendung von KV-Diagrammen und KNF bzw DNF VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger
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