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14.01.2009 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 1 Microcontroller Teil 2 Wiederholung Duales Zahlensystem Schaltungslogik.

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1 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 1 Microcontroller Teil 2 Wiederholung Duales Zahlensystem Schaltungslogik

2 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 2 Wiederholung Geschichte des Microcontrollers Zuse Z3 Von-Neumann Architektur Intel 4004 Transistortechnik 2 Mrd Transistoren auf einem Chip

3 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 3 Duales Zahlensystem Dezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 10 Ziffern Binärsystem: Zahlensystem zur Basis 2 Ziffern 0 und 1 Oktalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^3 = 8 Ziffern Hexadezimalsystem: Zahlensystem zur Basis 2^4 = 16 Ziffern 0-9 und A-F

4 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 4 Umrechnung Dezimalzahl in Binärzahl 243= 243 % 2 = 1 = 243 / 2 = 121 = 121 % 2 = 1 = 121 / 2 = 60 = 60 / 2 = 30 Rest 0 = 30 / 2 = 15 Rest 0 = 15 / 2 = 7 Rest 1 = 7 / 2 = 3 Rest 1 = 3 / 2 = 1 Rest 1 = 1 / 2 = 0 Rest 1 =>

5 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 5 Umrechnung Binärzahl in Dezimalzahl = 1*2^0 + 1* 2^1 + 0* 2^2 + 0* 2^3 + 1* 2^4 + 1* 2 ^5 + 1* 2^6 + 1* 2^7 = 1*1 + 1*2 + 0*4 + 0*8 + 1*16 + 1*32 + 1*64+1*128 = = 243

6 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 6 Umrechung Dezimalzahl in Hexadezimalzahl 243 = 243 % 16 = 3 => 3 = 243 / 16 = 15 = 15 % 16 = 15 => F = 15 / 16 = 0 => 243 = F3

7 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 7 Umrechnung Hexadezimalzahl in Dezimalzahl F3 = 3*16^0 + F * 16^1 = 3* * 16 = = 243 TIPP zum Üben: Der Windowstaschenrechner kann diese 3 Zahlenformate darstellen und in einander überführen

8 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 8 Umwandlung Binärzahl in Hexadezimalzahl und umgekehrt = = F 3 F 3 = = Hexadezimalzahlen werden oft mit 0x als Prefix geschrieben: 0xF3 Umwandlungen in jedes beliebige Zahlensystem, z.B. Oktalsystem funktionieren analog.

9 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 9 2er Komplement Bildung einer Negativen Zahl Positive Darstellung der Zahl Invertierung aller Bits Addieren von 1 Beispiel: -13 für eine 8 Bit Zahl Berechne 13: Invertiere Bits: Addiere 1:

10 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 10 Zahlenkreis der 2erKomplementzahlen

11 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 11 Signed vs unsigned Man unterscheidet zwischen signed und unsigned Zahlen Signed: Mit Vorzeichen (Negative und Positive Zahlen) Egal ob 8-, 16- oder 32-Bit Zahlen, das höchstwertige Bit gibt das Vorzeichen an. Unsigned: Ohne Vorzeichen (Nur positive Zahlen) Alle Bits tragen zum Ergebnis bei Achtung: = 243 (unsigned) = - 13 (signed)

12 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 12 Zahlenbereiche Ganze Zahlen (Integer) Signed: bei 8 Bit: 128 bis +127 bei 16 Bit: bis bei 32 Bit: bis bei 64 Bit: bis (9 Trillionen) Unsigned: bei 8 Bit: 0 bis 255 bei 16 Bit: 0 bis bei 32 Bit: 0 bis bei 64 Bit: 0 bis

13 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 13 Fragen?

14 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 14 Rechnen mit Binärzahlen (Ganzzahlig) Addition Subtraktion Multiplikation Division Mögliche Probleme Overflow (Addition) Underflow (Subtraktion) Multiplikation erfodert doppelte Byte Anzahl Division geht nicht auf

15 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 15 Addition von 2 8-Bitzahlen = (9) (5) = (14) = = Signed oder unsigned? Unsigned:Korrektes Ergebnis (185) Signed: Overflow (-71)

16 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 16 Subtraktion Subtraktion ist die Addition des negativen Zweier Komplements 9-5 = (-5) = (9) (-5) = (4) -120 – 65 = -185? = (71) UNDERFLOW!!!

17 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 17 Multiplikation / Division 2^8*2^8=2^16 Es werden immer doppelt soviele Bytes gebraucht, wie die Ursprungszahlen hatten. Muliplikation und Division bedeutet eine Verschiebung der Bits nach links (Multiplikation) und nach rechts (Division) << 4 bedeutet eine Multiplikation mit 2^4 (LeftShift) Auffüllen mit 0 von hinten >> 4 bedeutet Division durch 2^4 (RightShift) Auffüllen von vorne mit Vorzeichenbit

18 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 18 Multiplikation 12 * 13 = * = · (156)

19 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 19 Multiplikation Verbesserungen der Multiplikation: Booth-Algorithmus Bit-Pair-Verfahren weitere Verbesserungen des Booth-Algorithmuses Verbesserungen beruhen darauf das viele 0 in den positiven Zahlen und viele 1 am Anfang von negativen Zahlen stehen

20 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 20 Division 168 / 6 = 28 Rest / 6 = 28 Rest 4

21 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 21 Fragen?

22 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 22 Fliesskomma/Gleitkommazahlen f = s · m · 2^e F = Fliesskommazahl, z.B. 0,345 S = Vorzeichenbit (1 Bit) M = Mantisse (23 bzw. 52 Bit) E = Exponent ( 8 bzw. 11 Bit) Normalisierung notwendig 2,0 * 10^1 = 0,2* 10^2 = 20* 10^0

23 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 23 Dezimalzahl nach Binärzahl 11,25 = Exponent muss so gewählt werden, dass die Mantisse eine Zahl zwischen 1 und 2 erhält Bildung des 2er Logarithmus Log(11,25) = 3,..... Damit dieser Exponent nicht negativ wird wird 2^Bitanzahl Exponent-1 hinzuaddiert (hier also 128-1=127) Mantisse = (11,25/2^3 - 1) *2^{23} = (1, ) * 2^23 = >

24 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 24 IEEE754 Einfache Genauigkeit 0 < e < 255 = x = (1)v · 1.m · 2e127 Normale reelle Zahl e = 0, m = 0 = x=0 Null e = 0, m = 0 = x = (1)v · 0.m · Nichtnormalisierte Zahl e = 255, m = 0 = x = (1)v · Unendlich e = 255, m = 0 = x = NAN Not a Number, keine Zahl Genauigkeit 15 Stellen Dies bedeutet nicht 15 Nachkommastellen, sondern z.B.: ,12345 das alle weiteren Nachkommastellen ungenau sind

25 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 25 Fragen

26 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 26 Digitale Schaltungstechnik NOT (Invertierer) AND (*) Konjunktion OR (+) Disjunktion XOR NAND NOR Konjungierte Normalform Disjunktierte Normalform

27 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 27 Standardisierung von Schaltungen Gängige Normen: International Electrotechnical Commission (IEC) – Norm ist Standard US ANSI IEEE – Alternativer Standard DIN (Deutsche Industrie Norm) – Wurde durch die DIN-Norm ersetzt

28 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 28 AND Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Stellt eine Multiplikation dar Schreibweise AB bzw Logisch: A ^ B Fachbegriff: Konjunktion

29 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 29 OR Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Stellt eine Addition dar Schreibweise A+B bzw Logisch: A V B Fachbegriff: Disjunktion

30 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 30 XOR Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Es darf nur genau ein Eingang wahr sein

31 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 31 NAND Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Sheffer-Operation – Sheffer hat nachgewiesen, dass man alle logischen Operatoren mit NANDs realisieren kann

32 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 32 NOR Schaltsymbole: – IEC – ANSI – DIN Häufiger Baustein in der Halbleitertechnik Peirce-Operation – Peirce hat die Grundlagen für Sheffer gelegt

33 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 33 Überblick

34 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 34 Wahrheitstafeln Wahrheitstabellen werden verwendet um Boole'sche Funktionen zu definieren, und / oder sie darzustellen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen steigt exponentiell mit der Anzahl der Eingangsvariablen an => 2 ^Anzahl der Eingangsvariablen – Anwendung auf Funktionen mit nur wenigen (4) Eingangsvariablen beschränkt. Zur Vereinheitlichung von Wahrheitstabellen stehen auf der linken Seite die Zahlen als Binärcode da

35 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 35 Wahrheitstabellebeispiel

36 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 36 Konjugierte Normalform Eine Formel der Aussagenlogik ist in konjunktiver Normalform, wenn sie eine Konjunktion von Disjunktionstermen ist. Disjunktionsterme sind dabei Disjunktionen von Literalen. Literale sind nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in KNF hat also die Form Beispiel:

37 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 37 Disjunktive Normalform Eine Formel der Aussagenlogik ist in disjunktiver Normalform, wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionstermen ist. Ein Konjunktionsterm wird ausschließlich durch die konjunktive Verknüpfung von Literalen gebildet. Literale sind dabei nichtnegierte oder negierte Variablen. Eine Formel in DNF hat also die Form

38 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 38 Beispiel

39 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 39 De Morgansche Regeln DeMorgan hat die Gesetze für die Umformung von logischen Aussagen formuliert

40 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 40 Fragen

41 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 41 Halbaddierer

42 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 42 Schaltbild Halbaddierer

43 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 43 Volladdierer

44 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 44 Schaltbild Volladdierer

45 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 45 4-Bit-Addierer

46 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 46 Probleme: Hazards Übergang 111 zu 110

47 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 47 Lösung zusätzliche Gatter

48 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 48 FPGA

49 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 49 Flip-Flops Flip-flops dienen als Speicher eines Bits Werden häufig als Registerbausteine eingesetzt – Genauer Aufbau wird bei der Architektur des Prozessors besprochen werden

50 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 50 Frage

51 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 51 KV-Diagramme

52 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 52 Beispiele für Karnaugh-Diagramme

53 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 53 Beispiel einer Schaltung

54 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 54 Optimierte Schaltung durch Bildung von Blöcken

55 VL Microcontroller - Dipl.-Inf. Swen Habenberger 55 7-Segment-Anzeige 7-Segmentanzeigen – Häufiger Einsatz in Digitaluhren und – Taschenrechnern Zur Darstellung der Zahlen von 0-9 Werden wieviele Bits als Eingänge benötigt? Werden wieviele Bits zur Ansteuerung der Anzeige benötigt? Übung: Wahrheitstabelle Übung: Minimale Schaltung durch Anwendung von KV-Diagrammen und KNF bzw DNF


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