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Trigonometrische Funktionen. Gliederung 1. Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis; Komplementärbetrachtungen 2.

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Präsentation zum Thema: "Trigonometrische Funktionen. Gliederung 1. Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis; Komplementärbetrachtungen 2."—  Präsentation transkript:

1 Trigonometrische Funktionen

2 Gliederung 1. Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis; Komplementärbetrachtungen 2. Sätze über Winkelfunktionen: Sinussatz und Cosinussatz 3. Additionstheoreme 4. Der Tangenssatz

3 a) am rechtwinkligen Dreieck b) am Einheitskreis; c) Komplementärbetrachtungen 1. Definition der Winkelfunktionen

4 a) Definition der Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

5 b) Definition der Winkel- funktionen am Einheitskreis sin : Ordinate (y-Wert) des zu gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis cos : Abszisse (x-Wert) des zu gehörenden Punktes auf dem Einheitskreis tan : Länge des Abschnittes der senkrechten Tangente im Punkt P(1/0) bis zum freien Schenkel des Winkels. Für Winkel über 90° hinaus muß dieser Schenkel rückwärts verlängert werden cot : Länge des Abschnittes der waagrechten Tangente im Punkt T(0/1) bis zum freien Schenkel des Winkels

6 c) Komplementbeziehungen sin = a/c = cos sin = cos (90°- ) cos = b/c = sin cos = sin ( 90°- ) tan = a/b = cot tan = cot (90°- ) cot = b/a = tan cot = tan (90°- )

7 d) Definition der trigonometrischen Funktionen

8 2. Sätze über Winkelfunktionen a)Sinussatz b)Cosinussatz

9 Allgemeiner Sinussatz Ist R der Radius des Umkreises des Dreiecks ABC mit Winkeln, so ist

10 Beweis:

11 Sinussatz In einem Dreieck gilt:

12 Beweis:

13 Folgerung aus dem Sinussatz Ein Dreieck hat den Flächeninhalt abc/4R, wobei R der Umkreisradius ist.

14 Beweis:

15 Cosinussatz Im Dreieck ist das Quadrat der einen Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen beiden anderen Seiten und dem Cosinuswert des eingeschlossenen Winkels. a² = b²+c²-2bc cos b² = a²+c²-2ac cos c² = a²+b²-2ab cos

16 Beweis:

17 Folgerung aus dem Cosinussatz In einem Dreieck gilt:

18 3. Additionstheoreme (1)

19 Beweis: 1. Für spitze Winkel

20 2. Für stumpfe Winkel

21 Additionstheoreme (2)

22 Additionstheoreme (3)

23 4. Tangenssatz In einem Dreieck gilt:


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