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Logo Diffusion Filters and Wavelets 1 Diffusion Filters and Wavelets: What can they learn from each other Klassisches Beispiel für Signal-Denoising: Gegeben.

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Präsentation zum Thema: "Logo Diffusion Filters and Wavelets 1 Diffusion Filters and Wavelets: What can they learn from each other Klassisches Beispiel für Signal-Denoising: Gegeben."—  Präsentation transkript:

1 Logo Diffusion Filters and Wavelets 1 Diffusion Filters and Wavelets: What can they learn from each other Klassisches Beispiel für Signal-Denoising: Gegeben ein Signal: Gewünscht ist eine Näherung an das ursprüngliche Signal, durch Entfernen des Rauschens, ohne dabei wichtige Strukturen zu verlieren, wie zB.Kanten. Dafür gibt es verschieden Ansätze, wie zB. Wavelet Techniken und PDEs Im Folgenden werden wir 2 Techniken betrachten bzw. vergleichen: - Wavelet Shrinkage und - nonlinear Diffusion

2 Logo Diffusion Filters and Wavelets 2 Inhalt Wavelets Wavelet shrinkage 1D Nonlinear Diffusion Total Variation Diffusion Gemeinsamkeiten bei Space Discrete Diffusion Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions 1D 2D Haar Wavelet Transformation Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage

3 Logo Diffusion Filters and Wavelets 3 Beispiele für Wavelets Meyer Morlet Mexican Hat

4 Logo Diffusion Filters and Wavelets 4 Haar Wavelet Alfred Haar, 1909 Einfachste Wavelet Basis

5 Logo Diffusion Filters and Wavelets 5 Wavelets

6 Logo Diffusion Filters and Wavelets 6 Skalierungsfunktionen

7 Logo Diffusion Filters and Wavelets 7 Wichtige Ergebnisse zur Existenz entsprechender Skalierungsfunktionen und Wavelets

8 Logo Diffusion Filters and Wavelets 8 Eigenschaften von V und W

9 Logo Diffusion Filters and Wavelets 9 Die Haar Funktionen

10 Logo Diffusion Filters and Wavelets 10 Wavelets

11 Logo Diffusion Filters and Wavelets 11 Diskrete Wavelet Transformation diskretes 1-D Signal eine stückweise konstante Funktion

12 Logo Diffusion Filters and Wavelets 12 Bsp. Haar Wavelet Zerlegung

13 Logo Diffusion Filters and Wavelets 13 two scale relation

14 Logo Diffusion Filters and Wavelets 14 Wavelet shrinkage Wavelet shrinkage versucht Rauschen aus den Wavelet- Koeffizienten zu eliminieren Diese wird in 3 Schritten gemacht: Berechne die Koeffizienten Füge eine shrinkage function mit einem threshold Paramter zu den Wavelet-Koeffizienten hinzu Rekonstruktion der rauschfreien Version u von f

15 Logo Diffusion Filters and Wavelets 15 shrinkage functions Linear shrinkage: Soft shrinkage: Garrote shrinkage: Firm shrinkage: Hard shrinkage:

16 Logo Diffusion Filters and Wavelets 16 Diskretes translations-invariantes Schema Haar Wavelet shrinkage auf einer Ebene produziert das folgende Signale Single Haar Wavelet shrinkage teilt das Input Signal in aufeinanderfolgende Pixel Paare auf. Pixel 2i hat somit keine direkte Verbindung zu seinem Nachhbar 2i-1 Die Prozedur ist somit nicht invariant bzgl. Translation des Input Signals.

17 Logo Diffusion Filters and Wavelets 17 Diskretes translations-invariantes Schema Cycle Spinning: das Input Signal wir verschoben, entrauscht mittels wavelet shrinkage, zurück-verschoben und dann wird der Durchschnitt über alle diese Verschiebungen genommen. In unserem Fall benötigt man nur eine zusätzliche Verschiebung um Translationsinvarianz zu erzielen. Shifted haar wavelet shrinkage:

18 Logo Diffusion Filters and Wavelets 18 Diskretes translations-invariantes Schema Durchschnitt bilden … Ein Schritt bei verschiebungsinvarianter Haar wavelet shrinkage

19 Logo Diffusion Filters and Wavelets 19 Nonlinear Diffusion Filtering

20 Logo Diffusion Filters and Wavelets 20 Diffusivity Funktionen

21 Logo Diffusion Filters and Wavelets 21 TV Diffusion TV-Diffusivity eignet sich gut zum Entrauschen von Signalen. Allerdings ist TV-Diffusivity unbeschränkt, wodurch bei den zugehörigen numerischen Algorithmen Schwierigkeiten auftreten können. Gewöhnlich wird daher TV-Diffusion durch Näherung ersetzt um sie zu beschränken. Allerdings kann diese regularisation unerwünschte Blurring Effekte zu Folge haben.

22 Logo Diffusion Filters and Wavelets 22 Explizites, diskretisiertes Schema Um Diffusion auf diskrete Signale anwenden zu können, muss die PDE diskretisiert werden. Ein solches explizites Schema für nonlinear Diffusion im 1D-Fall kann folgendermaßen geschrieben werden:

23 Logo Diffusion Filters and Wavelets 23 Beispiel Denoising

24 Logo Diffusion Filters and Wavelets 24 Gemeinsamkeiten bei Space Discrete Diffusion Wir schauen uns die Verbindungen zwischen soft Haar Wavelet Shrinkage und TV-Diffusion im space-discrete Fall an. Wir werden analytische Lösung für ein simples Szenario finden und können dieses simple Szenario als bildenden Block für ein numerisches Schema für TV-Diffusion verwenden.

25 Logo Diffusion Filters and Wavelets 25 Wavelet Shrinkage eines 2-pixel Signals (1) Wavelet Shrinkage (Haar basis) eines 2-pixel signals Scaling function, Wavelet und Koeffizienten Shrinkage Function: Shrinkage und Synthesis Step:

26 Logo Diffusion Filters and Wavelets 26 Wavelet Shrinkage eines 2-pixel Signals (2) Führt zu folgendem gefilterten Signal

27 Logo Diffusion Filters and Wavelets 27 TV Diffusion eines 2-pixel Signals (1) Space Discrete TV Diffusion erzeugt folgendes System mit Anfangswerten

28 Logo Diffusion Filters and Wavelets 28 TV Diffusion eines 2-pixel Signals (2) führt zu der analytischen Lösung: äquivalent zu soft Haar shrinkage mit threshold

29 Logo Diffusion Filters and Wavelets 29 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (1) Wir können die Äquivalenz bei 2-Pixeln und die Gedankengänge zu shift invariant Wavelet Shrinkage nutzen um ein numerisches Schema für TV Diffusion mit time step size zu erhalten. a)TV Diffusion mit time step size b)TV Diffusion mit time step size c)Ermittle Durchschnitt beider Resultate auf Ein Schritt dieses iterativen Verfahrens ist äquivalent zu shift invariant Haar Wavelet shrinkage mit threshold

30 Logo Diffusion Filters and Wavelets 30 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (2)

31 Logo Diffusion Filters and Wavelets 31 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (3)

32 Logo Diffusion Filters and Wavelets 32 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (4) Wir haben nun ein explizites Schema, welches sich auch als stabil und (unter gewißen Einschränkungen) als konsistent zur kontinuierlichen TV-Diffusion erweist. Weiters erzielt es ähnlich gute Ergebnisse wie das regularisierte Schema, welches mehr unerwünschte Blurring Effekte zur Folge haben kann.

33 Logo Diffusion Filters and Wavelets 33 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (5)

34 Logo Diffusion Filters and Wavelets 34 Verallgemeinerung für 2D Fall Auf ähnliche, aber kompliziertere Art und Weise kann man die vorherigen Überlegungen auf den 2dimensionalen Fall ummünzen. Beatrachtet wird dabei ein 2x2 Bild, bei dem die Äquivalenz der Lösungen von Haar Wavelet Shrinkage und space- discrete TV-Diffusion gezeigt werden kann. Diese 4 Pixel Lösung kann wieder als bildender Block für ein numerisches Schema für die 2D TV Diffusion verwendet werden.

35 Logo Diffusion Filters and Wavelets 35 Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions

36 Logo Diffusion Filters and Wavelets 36 Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions Zusammenhang zw. shift-invariant single scale haar wavelet shrinkage und diffusivity g eines explizit nicht-linearen diffusion Schemas. Es hat sich gezeigt, dass diffusion-inspired shrinkage Funktionen die besten Entrauschungseigenschaften besitzen.

37 Logo Diffusion Filters and Wavelets 37 Diffusion inspired Shrinkage Functions

38 Logo Diffusion Filters and Wavelets 38 Diffusion inspired Shrinkage Functions

39 Logo Diffusion Filters and Wavelets 39 Von Shrinkage Funktion zu Diffusivity

40 Logo Diffusion Filters and Wavelets 40 2D Haar Wavelet Transformation Die Haar Wavelet Transformation wird beschrieben durch einen Tiefpass-Filter L und einen Hochpass-Filter H Der einfachste Weg eine 2D Wavelet Transformation zu erzeugen, ist es separierbare Filter zu verwenden.

41 Logo Diffusion Filters and Wavelets 41 2D Haar Wavelet Transformation Die 2D Wavelet Transformation wird nun beschrieben durch Diese Repräsentation wird erzeugt durch alternierendes Anwenden von Hoch- und Tiefpass-Filtern in x und y Richtung. Für die Glättung wird wie im 1D Fall auf die Wavelet Koeffizienten die shrinkage Funktion angewendet. Das gefilterte Bild u wird dann durch eine inverse Prozedur berechnet.

42 Logo Diffusion Filters and Wavelets 42 2D Haar Wavelet Transformation

43 Logo Diffusion Filters and Wavelets 43 2D Haar Wavelet shrinkage Wir betrachten nun eine einzelne Zerlegungsebene und die einzelnen Schritte bei der Wavelet shrinkage (translations-invariant). Hierzu muss man sich 2x2 Nachbarschaften anschauen in welche das Pixel (i,j) involviert ist.

44 Logo Diffusion Filters and Wavelets 44 2D Haar Wavelet shrinkage

45 Logo Diffusion Filters and Wavelets 45 Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage

46 Logo Diffusion Filters and Wavelets 46 Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage

47 Logo Diffusion Filters and Wavelets 47 ENDE


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