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Diffusion Filters and Wavelets: What can they learn from each other

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Präsentation zum Thema: "Diffusion Filters and Wavelets: What can they learn from each other"—  Präsentation transkript:

1 Diffusion Filters and Wavelets: What can they learn from each other
Klassisches Beispiel für Signal-Denoising: Gegeben ein Signal: Gewünscht ist eine Näherung an das ursprüngliche Signal, durch Entfernen des „Rauschens“, ohne dabei wichtige Strukturen zu verlieren, wie zB.Kanten. Dafür gibt es verschieden Ansätze, wie zB. Wavelet Techniken und PDEs Im Folgenden werden wir 2 Techniken betrachten bzw. vergleichen: - Wavelet Shrinkage und - nonlinear Diffusion Diffusion Filters and Wavelets

2 Inhalt Wavelets Wavelet shrinkage 1D Nonlinear Diffusion
Total Variation Diffusion Gemeinsamkeiten bei Space Discrete Diffusion Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions 1D 2D Haar Wavelet Transformation Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage Diffusion Filters and Wavelets

3 Beispiele für Wavelets
Meyer Morlet Mexican Hat Diffusion Filters and Wavelets

4 Haar Wavelet Alfred Haar, 1909 Einfachste Wavelet Basis
Diffusion Filters and Wavelets

5 Wavelets Diffusion Filters and Wavelets

6 Skalierungsfunktionen
Diffusion Filters and Wavelets

7 Wichtige Ergebnisse zur Existenz entsprechender Skalierungsfunktionen und Wavelets
Diffusion Filters and Wavelets

8 Eigenschaften von V und W
Diffusion Filters and Wavelets

9 Die Haar Funktionen Diffusion Filters and Wavelets

10 Wavelets Diffusion Filters and Wavelets

11 Diskrete Wavelet Transformation
diskretes 1-D Signal eine stückweise konstante Funktion Diffusion Filters and Wavelets

12 Bsp. Haar Wavelet Zerlegung
Diffusion Filters and Wavelets

13 „two scale relation“ Diffusion Filters and Wavelets

14 Wavelet shrinkage Wavelet shrinkage versucht Rauschen aus den Wavelet-Koeffizienten zu eliminieren Diese wird in 3 Schritten gemacht: Berechne die Koeffizienten Füge eine shrinkage function mit einem threshold Paramter zu den Wavelet-Koeffizienten hinzu Rekonstruktion der rauschfreien Version u von f Diffusion Filters and Wavelets

15 shrinkage functions Linear shrinkage: Soft shrinkage:
Garrote shrinkage: Firm shrinkage: Hard shrinkage: Diffusion Filters and Wavelets

16 Diskretes translations-invariantes Schema
Haar Wavelet shrinkage auf einer Ebene produziert das folgende Signale Single Haar Wavelet shrinkage teilt das Input Signal in aufeinanderfolgende Pixel Paare auf. Pixel 2i hat somit keine direkte Verbindung zu seinem Nachhbar 2i-1 Die Prozedur ist somit nicht invariant bzgl. Translation des Input Signals. Diffusion Filters and Wavelets

17 Diskretes translations-invariantes Schema
‚Cycle Spinning‘: das Input Signal wir verschoben, entrauscht mittels wavelet shrinkage, zurück-verschoben und dann wird der Durchschnitt über alle diese Verschiebungen genommen. In unserem Fall benötigt man nur eine zusätzliche Verschiebung um Translationsinvarianz zu erzielen. Shifted haar wavelet shrinkage: Diffusion Filters and Wavelets

18 Diskretes translations-invariantes Schema
Durchschnitt bilden … Ein Schritt bei verschiebungsinvarianter Haar wavelet shrinkage Diffusion Filters and Wavelets

19 Nonlinear Diffusion Filtering
Diffusion Filters and Wavelets

20 Diffusivity Funktionen
Diffusion Filters and Wavelets

21 TV Diffusion TV-Diffusivity eignet sich gut zum Entrauschen von Signalen. Allerdings ist TV-Diffusivity unbeschränkt, wodurch bei den zugehörigen numerischen Algorithmen Schwierigkeiten auftreten können. Gewöhnlich wird daher TV-Diffusion durch Näherung ersetzt um sie zu beschränken. Allerdings kann diese regularisation unerwünschte Blurring Effekte zu Folge haben. Diffusion Filters and Wavelets

22 Explizites, diskretisiertes Schema
Um Diffusion auf diskrete Signale anwenden zu können, muss die PDE diskretisiert werden. Ein solches explizites Schema für nonlinear Diffusion im 1D-Fall kann folgendermaßen geschrieben werden: Diffusion Filters and Wavelets

23 Beispiel Denoising Diffusion Filters and Wavelets

24 Gemeinsamkeiten bei Space Discrete Diffusion
Wir schauen uns die Verbindungen zwischen soft Haar Wavelet Shrinkage und TV-Diffusion im space-discrete Fall an. Wir werden analytische Lösung für ein simples Szenario „finden“ und können dieses simple Szenario als bildenden Block für ein numerisches Schema für TV-Diffusion verwenden. Diffusion Filters and Wavelets

25 Wavelet Shrinkage eines 2-pixel Signals (1)
Wavelet Shrinkage (Haar basis) eines 2-pixel signals Scaling function, Wavelet und Koeffizienten Shrinkage Function: Shrinkage und Synthesis Step: Diffusion Filters and Wavelets

26 Wavelet Shrinkage eines 2-pixel Signals (2)
Führt zu folgendem gefilterten Signal Diffusion Filters and Wavelets

27 TV Diffusion eines 2-pixel Signals (1)
Space Discrete TV Diffusion erzeugt folgendes System mit Anfangswerten Diffusion Filters and Wavelets

28 TV Diffusion eines 2-pixel Signals (2)
führt zu der analytischen Lösung: äquivalent zu soft Haar shrinkage mit threshold Diffusion Filters and Wavelets

29 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (1)
Wir können die Äquivalenz bei 2-Pixeln und die Gedankengänge zu shift invariant Wavelet Shrinkage nutzen um ein numerisches Schema für TV Diffusion mit time step size zu erhalten. TV Diffusion mit time step size Ermittle Durchschnitt beider Resultate auf auf Ein Schritt dieses iterativen Verfahrens ist äquivalent zu shift invariant Haar Wavelet shrinkage mit threshold Diffusion Filters and Wavelets

30 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (2)
Diffusion Filters and Wavelets

31 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (3)
Diffusion Filters and Wavelets

32 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (4)
Wir haben nun ein explizites Schema, welches sich auch als stabil und (unter gewißen Einschränkungen) als konsistent zur kontinuierlichen TV-Diffusion erweist. Weiters erzielt es ähnlich gute Ergebnisse wie das regularisierte Schema, welches mehr unerwünschte Blurring Effekte zur Folge haben kann. Diffusion Filters and Wavelets

33 Wavelet inspiriertes Schema für TV Diffusion (5)
Diffusion Filters and Wavelets

34 Verallgemeinerung für 2D Fall
Auf ähnliche, aber kompliziertere Art und Weise kann man die vorherigen Überlegungen auf den 2dimensionalen Fall ummünzen. Beatrachtet wird dabei ein 2x2 Bild, bei dem die Äquivalenz der Lösungen von Haar Wavelet Shrinkage und space-discrete TV-Diffusion gezeigt werden kann. Diese 4 Pixel Lösung kann wieder als bildender Block für ein numerisches Schema für die 2D TV Diffusion verwendet werden. Diffusion Filters and Wavelets

35 Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions
Diffusion Filters and Wavelets

36 Zusammenhang von Diffusivities und Shrinkage Functions
Zusammenhang zw. „shift-invariant single scale haar wavelet shrinkage“ und diffusivity g eines explizit nicht-linearen diffusion Schemas. Es hat sich gezeigt, dass diffusion-inspired shrinkage Funktionen die besten Entrauschungseigenschaften besitzen. Diffusion Filters and Wavelets

37 Diffusion inspired Shrinkage Functions
Diffusion Filters and Wavelets

38 Diffusion inspired Shrinkage Functions
Diffusion Filters and Wavelets

39 Von Shrinkage Funktion zu Diffusivity
Diffusion Filters and Wavelets

40 2D Haar Wavelet Transformation
Die Haar Wavelet Transformation wird beschrieben durch einen Tiefpass-Filter L und einen Hochpass-Filter H Der einfachste Weg eine 2D Wavelet Transformation zu erzeugen, ist es separierbare Filter zu verwenden. Diffusion Filters and Wavelets

41 2D Haar Wavelet Transformation
Die 2D Wavelet Transformation wird nun beschrieben durch Diese Repräsentation wird erzeugt durch alternierendes Anwenden von Hoch- und Tiefpass-Filtern in x und y Richtung. Für die Glättung wird wie im 1D Fall auf die Wavelet Koeffizienten die shrinkage Funktion angewendet. Das gefilterte Bild u wird dann durch eine inverse Prozedur berechnet. Diffusion Filters and Wavelets

42 2D Haar Wavelet Transformation
Diffusion Filters and Wavelets

43 2D Haar Wavelet shrinkage
Wir betrachten nun eine einzelne Zerlegungsebene und die einzelnen Schritte bei der Wavelet shrinkage (translations-invariant). Hierzu muss man sich 2x2 Nachbarschaften anschauen in welche das Pixel (i,j) involviert ist. Diffusion Filters and Wavelets

44 2D Haar Wavelet shrinkage
Diffusion Filters and Wavelets

45 Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage
Diffusion Filters and Wavelets

46 Diffusion-Inspired 2D Wavelet Shrinkage
Diffusion Filters and Wavelets

47 ENDE Diffusion Filters and Wavelets


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