Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren1 Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren1 Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften."—  Präsentation transkript:

1 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren1 Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften einer gegebenen reellen Funktion herauszufinden, die mit ihrer Ableitung, d.h. ihrer Änderungsrate zu tun haben.

2 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren2 Übersicht Wie lautet ihr Definitionsbereich? Existenz und Lage von Nullstellen In welchen Intervallen steigt oder fällt sie? Besitzt sie lokale Extrema oder Sattelstellen und wenn ja, wo? Besitzt sie Wendestellen und wenn ja, wo? Wie verläuft die Wendetangente der Funktion? Ist die Funktion differenzierbar und/oder stetig? Wie lautet das Krümmungsverhalten?

3 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren3 Typ der Funktion Handelt es sich um einen bekannten Funktionstyp? Parabel, Hyperbel,... Wenn ja, können vielleicht Rückschlüsse auf Definitionslücken, Nullstellen, Pole und Asymptoten gezogen werden.

4 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren4 Definitionsbereich Als erstes ist der Definitionsbereich einer Funktion anzugeben: einer Funktion f :Menge aller x-Werte, für die die Funktion f(x) mathematisch erklärt ist. z.B. Definitionslücken treten z.B an Stellen auf, an denen durch 0 geteilt würde oder die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde.

5 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren5 Wertebereich - Grenzwerte Wo gegen strebt der Graph? Welche Funktionswerte hat die Funktion? Grenzwertbetrachtung z.B.

6 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren6 Nullstellen Die Nullstellen einer Funktion f sind ganz allgemein durch die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 gegeben. Sie entsprechen jenen Punkten, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Altbewährte Methoden: pq-Formel quadratische Ergänzung Polynomdivision Substitution

7 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren7 Differenzierbarkeit Falls die Ableitung existiert, heißt die Funktion f an der Stelle x 0 differenzierbar, wenn Sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Dann heißt die Ableitungsfunktion

8 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren8 Lokale Extrema

9 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren9 Lokale Extrema Ist f differenzierbar, so ist an all diesen Stellen (sofern sie nicht am Rand des Definitionsbereichs liegen) die Tangente an den Graphen parallel zur x-Achse, d.h. hat den Anstieg 0. Der Graph hat dort ein Extremum. Da die Ableitung den Anstieg der Tangente an den Graphen ausdrückt, sind die Kandidaten für lokale Extrema die Lösungen der Gleichung f (x) = 0.

10 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren10 Lokale Extrema f (x) = 0 dann Nullstellen in f (x) einsetzen, wenn f (x) < 0 dann lokales Maximum f (x) > 0 dann lokales Minimum (f (x) =0 dann Sattelpunkt - vgl. Folie 11 Sattelpunkte) Grenzwerte mit in Betracht ziehen, um zu sehen, ob lokale Extrema auch globale Extrema sind.

11 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren11 Sattelpunkte Ist x eine Lösung der Gleichung f (x) = 0 und ist die Ableitung links und rechts von x ungleich 0 und hat in beiden Bereichen dasselbe Vorzeichen, so ist x eine Sattelstelle. Der entsprechenden Punkt am Graphen heißt Sattelpunkt.

12 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren12 Wendepunkte Eine Tangente kann sich an den Graphen an bestimmten Punkten von der einen Seite zur anderen ''wenden''. Die Punkte, an denen das passiert, heißen Wendepunkte, die entsprechenden Stellen sind die Wendestellen. Die Nullstellen der zweiten Ableitung stellen die Wendepunkte dar. f (x) = 0

13 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren13 Kurvenverhalten Wechselt f (x) an der Stelle x=a das Vorzeichen von: 1) +nach -, dann wechselt der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve. 2) - nach +, dann wechselt der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve. D.h. man setzt Werte in f (x) ein, die zum einen größer und zum anderen kleiner sind als die Nullstelle der zweiten Ableitung.

14 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren14 Wendetangentensteigung Um die Steigung der Wendetangente zu bestimmen, nutzt man natürlich wiederum die erste Ableitung. Dazu werden die Nullstellen von f (x) in f (x) eingesetzt.

15 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren15 Monotonie Falls die Ableitung einer Funktion f in jedem Punkt eines Intervalls existiert und positiv (negativ) ist, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend (fallend). Intuitiv leuchtet das ein, da die Tangente an den Graphen in jedem Punkt ansteigt (abfällt). f (x) = 0 setzen Werte die links bzw. rechts der Nullstelle liegen in f (x) einsetzen: Wenn f(x) streng monoton fallend Wenn >0 => f(x) streng monoton steigend

16 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren16 Krümmungsverhalten Konvex = linksgekrümmt ( ) Konkav = rechtsgekrümmt ( ) Krümmung von f f(x) > 0 => f streng konvex im Intervall f(x) f streng konkav im Intervall

17 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren17 Symmetrie achsensymmetrisch f(x) = f(-x) punksymmetrisch f(-x) = - f(x) Beispiel f(x) = x 2 f(x) = f(-x) => x 2 = (-x) 2 Dies können wir bestätigen. f(x) = x 3 f(-x) = - f(x) =>(-x) 3 = - (x) 3 Dies können wir auch bestätigen.

18 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren18 Wichtige Funktionen !!! Kostenfunktion K(x) x = (Produktions-) menge Durchschnittskostenfunktion (Stückkosten) x = (Produktions-) menge Nachfragefunktion N(p) p = Preis je Mengeneinheit Angebotsfunktion A(p) p = Preis je Mengeneinheit Erlösfunktion E(p) = p * N(p) p = Preis je ME E(x) = x * p(x) p = Preis x = Menge Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x)

19 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren19 Wichtige Funktionen !!! Grenzkosten: K(x) Grenznachfragefunktion: N(p) Grenzerlösfunktion: E(p) = N(p)+p*N(p) Grenzdurchschnittskostenfunktion:

20 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren20 Beispiel Gegeben Kostenfunktion K(x) = (x-2) Grenzkostenfkt. und Durchschnittskostenfkt. gesucht K(x) = (x-2) = x 3 – 6x 2 +12x = x 3 – 6x 2 +12x + 2 Grenzkostenfunktion = K(x) = 3x 2 – 12x + 12 Durchschnittskostenfunktion =

21 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren21 Differential Ziel: näherungsweises Berechnen der Änderung eines Funktionswertes f(x 0 ) bei Variation von x 0. Anwendung: Die Preiselastizität der Nachfrage gibt näherungsweise an, um wieviel % sich die Nachfrage ändert bei der Variation des aktuellen Preises p 0 um 1%. Idee: Der Graph einer Funktion f lässt sich in einer (kleinen) Umgebung eines Punktes (x 0,f(x 0 )) relativ gut durch die Tangente an die Kurve annähern.

22 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren22 Differential Differential: Variiert man x 0 um dx Einheiten, so ändert sich f(x 0 ) um Einheiten. Die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt (x 0,f(x 0 )) besitzt die Steigung Variiert man x 0 um dx Einheiten, so ändert sich der Funktionswert auf der Tangente um df = f(x 0 )*dx Einheiten. Für kleine Variationen dx stimmengut überein.

23 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren23 Differential df und dx bezeichnet man als Differentiale auch als Differentialquotient Variiert man x 0 =3 um dx=0,2 Einheiten, so ändert sich f(3) um1,24 Einheiten

24 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren24 Beispiel

25 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren25 Differential

26 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren26 Wachstumsrate Variiert man x 0 um dx Einheiten, so beträgt die relative Änderung von f(x 0 ): Dies entspricht für kleine dx näherungsweise der relativen Änderung auf der Tangenten Die Funktion bezeichnet man als Wachstumsrate von f.

27 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren27 Wachstumsrate Variiert man x 0 um dx Einheiten, so beträgt die relative Änderung von f(x 0 ):

28 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren28 Elastizität Variiert man x 0 um s %, so ändert sich f(x 0 ) relativ um: Die Variation von x 0 um s %entspricht einer Änderung von x 0 um dx= x 0 *s % Einheiten. Für kleine Variationen von s% ergibt sich die Annäherung bezeichnet man als Elastizität

29 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren29 Elastizität S =1: Die Elastizität an einer Stelle x 0 gibt näherungs- weise an, um wieviel % sich f(x 0 ) ändert, wenn x 0 um 1% variiert.

30 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren30 Beispiel

31 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren31 Integralrechnung Ziel: 1) Umkehren des Differenzierens (unbestimmtes Integral) 2) Flächenberechnung (bestimmtes Integral) das unbestimmte Integral: Wenn F(x) Stammfunktion von f(x) ist, dann ist: f(x)dx = {F(x) + c} ; c R Menge aller Stammfkt. F(x) von f(x). Dabei muss f in einem Intervall [a,b] stetig und F dort differenzierbar sein.

32 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren32 Die Stammfunktion x 3 ist eine Stammfunktion von 3x 2, denn die Ableitung von x 3 ist 3x 2. Aber auch x oder auch x sind Stammfunktionen von 3x 2. Die Menge aller Stammfunktionen von 3x 2 => 3x 2 dx = {x 3 + c} Zwei Stammfkt. der gleichen Funktion f unterscheiden sich höchstens um eine additive Konstante (,die beim Ableiten wegfällt).

33 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren33 Stammfunktionen Beispiele: x 2 dx = 1/3x 3 + c (5x 2 +1)dx = 5/3x 3 + x + c dx = 1dx = x + c e x dx = e x + c (30x 2 + 2x)dx = 10x 3 + x 2 + c

34 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren34 Stammfunktionen

35 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren35 Integral und Flächeninhalt Der Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Senkrechten x = a, x = b, der x-Achse und des Graphen der Funktion f ist A =

36 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren36 Das bestimmte Integral mit a,b R wird ein bestimmte Integral genannt. = F(b) - F(a) = (27 + 3) - (1 + 1) = = 28

37 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren37 Beispiele (27 + 3) - (8 + 2) = = 20

38 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren38 Beispiele nicht definiert, denn ist nicht definiert wenn x=0

39 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren39 Flächen Beispiel 1 Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien x=0, x=1, der x-Achse und dem Graphen von x 3 A = Beispiel 2 Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien y=0, y=1, der y-Achse und Grafik von x 3 A = 1 – A von Beispiel 1 = 1 - 1/4 = 3/4

40 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren40 Flächen

41 Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren41 Flächen


Herunterladen ppt "Dennis Wörmann - MR_1D03BD - Quartester 3 - Differenzieren1 Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen