Lösung nichtlinear Gleichungssysteme

Präsentation zum Thema: "Lösung nichtlinear Gleichungssysteme"—  Präsentation transkript:

1 Lösung nichtlinear Gleichungssysteme
In dieser Vorlesung werden wir uns mit der gemischt symbolischen und numerischen Lösung algebraisch gekoppelter nichtlinear Gleichungs- systeme befassen. Die Aufschneidemethode eignet sich auch zur effizienten Behandlung nichtlinear Gleichungs- systeme. Die numerische Iteration nichtlinear Gleichungs- systeme kann auf die Schnittvariablen begrenzt werden. 10. November, 2004

2 Übersicht Nichtlineare Gleichungssysteme Newton Iteration
Newton Iteration mit Aufschneiden Newton Iteration linearer Gleichungssysteme 10. November, 2004

3 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel I
10. November, 2004

4 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel II
2 Stausee Schleuse Verbrau-cher I Verbrau- cher II Umgebungs- druck 1 q 3 10. November, 2004

5 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel III
q p q p q: Durchflussrate p: Druckabfall q = k · sign(p ) · p  p = sign(q) · q2 / k 10. November, 2004

6 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel IV
2 Stausee Schleuse Verbrau-cher I Verbrau -cher II Umgebungs-druck 1 q 3 p2 = 100 p0 = 1 fS(q1 ,p1 ,p2) = 0 fI(q2 ,p0 ,p1) = 0 fII(q3 ,p0 ,p1) = 0 q1 = q2 + q3 10. November, 2004

7 Nichtlineares Gleichungssystem: Ein Beispiel V
fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0 fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0 fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0 q1 - q2 - q3 = 0 p2 = 100 p0 = 1 fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0 fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0 fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0 q1 - q2 - q3 = 0  Nichtlineares Gleichungssystem in 4 Unbekannten 10. November, 2004

8 Newton’sches Iterationsverfahren I
f(x) = 0 Nichtlineares Gleichungssystem: x   n f   n x 0 Anfangsschätzwert: x i+1 = x i - Dx i Iterationsformel: Dx   n Dx i = H(x i )-1 · f(x i ) Inkrement: H   n  n H(x) =  f(x)  x Hess’sche Matrix: 10. November, 2004

9 Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel I
p2 - p1 - sign(q1) · q12 / k1 p1 – p0 - sign(q2) · q22 / k2 p1 – p0 - sign(q3) · q32 / k3 q1 - q2 - q3 f(x) = = 0 x = p1 q1 q2 q3 - 2|q1 |/k1 - 2|q2 |/k2 - 2|q3 |/k3 -1 1 H(x) = 10. November, 2004

10 Newton’sches Iterationsverfahren II
Dx i = H(x i )-1 · f(x i )  H(x i ) · Dx i = f(x i ) Bestimmung des Inkrements:  Lineares Gleichungssystem in den Unbekannten Dx  Dx   n 10. November, 2004

11 Newton Iteration mit Schneideverfahren I
p2 = 100 p0 = 1 fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0 fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0 fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0 q1 - q2 - q3 = 0 p2 = 100 p0 = 1 fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0 fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0 fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0 q1 - q2 - q3 = 0 p2 = 100 p0 = 1 fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0 fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0 fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0 q1 - q2 - q3 = 0   Wahl 10. November, 2004

12 Newton Iteration mit Schneideverfahren II
p2 = 100 p0 = 1 fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0 fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0 fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0 q1 - q2 - q3 = 0 p2 = 100 p0 = 1 q1 = q2 + q3 p1 = f1 (q1 ,p2 ) q2 = f2 (p0 ,p1 ) q3 = f3 (p0 ,p1 )  q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 ) = f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 )) 10. November, 2004

13 Newton Iteration mit Schneideverfahren III
q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 ) = f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 )) x = q1 f(x) = q1 - f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) - f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 )) = 0  H(x i ) · Dx i = f(x i ) Lineares Gleichungssystem in den Unbekannten Dx Dx   1 10. November, 2004

14 Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel II
q1 = q2 + q3 p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k1 q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0 q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0 pq1q1 = 1 pp1q1 = - 2|q1| / k1 pq2q1 = k2 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1q1 pq3q1 = k3 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1q1 f = q1 - q2 - q3 h = pq1q1 - pq2q1 - pq3q1  Das Substituieren von Aus-drücken lohnt sich kaum je. Es ist besser, über alle Glei-chungen zu iterieren und bei der Ermittlung der partiellen Ableitungen jede Gleichung separat abzuleiten. 10. November, 2004

15 Newton’sches Iterationsverfahren: Beispiel III
q1 = Anfangsschätzwert dx = 1 while dx > dxmin p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k1 q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0 q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) ·  p1 - p0 pp1 = - 2|q1| / k1 pq2 = k2 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1 pq3 = k3 / ( 2 ·  p1 - p0 ) · pp1 f = q1 - q2 - q3 h = 1 - pq2 - pq3 dx = h \ f q1 = q1 – dx end  Es wird über alle Gleichungen iteriert. Das interne lineare Gleichungssystem muss jedoch nur für die Schnittvariablen gelöst werden. 10. November, 2004

16 Newton Iteration für lineare Systeme
Lineares System: A·x = b  f(x) = A·x – b = 0  H(x) = f(x)/  x = A  A·Dx = A·x – b  Dx = x – A-1·b  x 1 = x 0 – (x 0 – A-1·b) = A-1·b  Die Newton Iteration konvergiert in einem Schritt 10. November, 2004

17 Zusammenfassung Das Schneideverfahren eignet sich genau so gut für nichtlineare wie für lineare Systeme. Die Νewton’sche Iteration eines nichtlinearen Gleichungs-systems führt intern zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Die Hess’sche Matrix dieses Glei-chungssystems erstreckt sich nur über die Schnittvariablen. Die Νewton’sche Iteration kann auch sehr effizient im Falle grösserer linearer Systeme eingesetzt werden, da sie (bei korrekter Berechnung der H(x) Matrix) in einem einzigen Schritt konvergiert. In Praxis wird die H(x) Matrix jedoch häufig numerisch ermittelt und nur angenähert. Es ist aber möglich, symbolische Formelmanipulations- techniken zu entwickelt, welche symbolische Ausdrücke für die Elemente der Hess’schen Matrix ermitteln. 10. November, 2004