Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 8 SS 2000 Punkt-in-Polygon-Verfahren II (Trapezkarte)

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1 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II Vorlesung 8 SS 2000 Punkt-in-Polygon-Verfahren II (Trapezkarte)

2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 82 Übersicht I Zur Erinnerung: Punktsuche in Landkarten Lösung 1: Zerlegung in vertikale Streifen Nachteil: O(n²) Speicherplatz im Worst Case Lösung 2: Trapezkarte Trapezkarte: Konstruktionsprinzip Trapezkarte: vereinfachende Annahme 5 Fälle für die vertikalen (linken) Kanten Bezeichnungen Trapezkarte - Eigenschaften Probleme und weiteres Vorgehen

3 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 83 Übersicht II T(S) und D(S) Schrittweise Konstruktion von T(S) und D(S) Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten Beachte: Datenstruktur für T(S) Skizze: Konstruktion von T(S) und D(S) Von T(S i-1 ) und D(S i-1 ) zu T(S i ) und D(S i ) Einfügen einer Kante I Von T(S i-1 ) und D(S i-1 ) zu T(S i ) und D(S i ) Fall2 Einfügen einer Kante II

4 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 84 Zur Erinnerung: Punktsuche in Landkarten In welcher Masche liegt q? Außen x y Landkarte S mit n Kanten q

5 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 85 Außen q Lösung 1: Zerlegung in vertikale Streifen x y

6 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 86 Nachteil: O(n²) Speicherplatz im Worst Case

7 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 87 Lösung 2: Trapezkarte R

8 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 88 Trapezkarte: Konstruktionsprinzip Die Trapezkarte T(S) einer Landkarte S wird wie folgt konstruiert: –Bilde ein umschließendes Rechteck R Vermeidung der unbeschränkten Masche Außen –Konstruiere für jeden Endpunkt P eines Segments aus S eine obere und eine untere vertikale Extension (Linie); diese Linien enden am Schnittpunkt mit dem nächsten Segment aus S oder an R Diese Konstruktion zerlegt R in disjunkte Trapeze, die von (höchstens) 4 Seiten begrenzt werden: –Ein oder zwei vertikale Seiten, gebildet aus den Extensionen –Eine obere und eine untere Seite, gebildet aus den Segmenten

9 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 89 Trapezkarte: vereinfachende Annahme Es gibt keine zwei Knoten mit gleicher x-Koordinate, d.h. es gibt keine vertikalen Kanten Falls diese Annahme nicht erfüllt ist, kann sie durch Rotation um den Ursprung + Scherung mit einem sehr kleinen Winkel, der topologisch nichts kaputt macht, hergestellt werden Später werden wir sehen, dass diese Transformation rein virtuell ist

10 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 810 5 Fälle für die vertikalen (linken) Kanten 1. Kante entartet zu einem Punkt 2. Die untere vertikale Er- weiterung trifft auf eine Kante von S 3. Die obere vertikale Er- weiterung trifft auf eine Kante von S 4. Kante besteht aus oberer und unterer Erweiterung 5. Kante besteht aus einer Kante von R

11 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 811 Bezeichnungen leftprightp top bottom

12 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 812 Trapezkarte - Eigenschaften Satz: Eine Trapezkarte einer Landkarte S mit n Kanten enthält höchstens (a) 6n + 4 vertikale Linien und (b) 3n + 1 Trapeze. Beweis: (a) Ein Knoten der Trapezkarte ist entweder –ein Eckpunkt von R 4 –ein Knoten der Karte S 2n –ein Punkt, bei dem eine Erweiterung auf eine Kante von S trifft 4n Insgesamt: 6n + 4

13 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 813 Trapezkarte - Eigenschaften Satz: Eine Trapezkarte einer Landkarte S mit n Kanten enthält höchstens 6n + 4 vertikale Linien und sowie 3n + 1 Trapeze. Beweis: (b): aus a) mit Eulers Formel

14 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 814 Trapezkarte - Eigenschaften Zwei Trapeze T und T heißen adjazent, wenn sie sich entlang einer vertikalen Linie berühren T T Es gilt entweder top(T) = top(T) oder bottom(T) = bottom(T) TT T T

15 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 815 Probleme und weiteres Vorgehen Probleme: Konstruktion der Trapezkarte T(S) Unterstützung der Suche in einer Trapezkarte Idee für das weitere Vorgehen: Unterstützung der Suche durch eine Art binärer Suchbaum D(S) mit 2 Sorten von Knoten –X-Knoten für Endpunkte / Extensionen Links oder Rechts? –Y-Knoten für Segmente Oben oder Unten? Trapezkarte und Baum werden simultan konstruiert

16 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 816 T(S) undD(S) p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 q2q2 s2s2 s2s2 D E F G D E F G A B C p1p1 q1q1 s1s1 p2p2 q2q2 s2s2

17 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 817 Schrittweise Konstruktion von T(S) und D(S)

18 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 818 Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten X p1p1

19 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 819 Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten p1p1 p1p1 p1p1

20 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 820 Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten X A X p1p1 q1q1 A p1p1

21 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 821 Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten A q1q1 p1p1 A q1q1 s1s1 s1s1 s1s1 q1q1 p1p1

22 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 822 X Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten A p1p1 A q1q1 s1s1 B B X Y Y p2p2 s1s1 p1p1 q1q1

23 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 823 Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten A B p1p1 A q1q1 s1s1 B Y Y p2p2 p2p2 s1s1 q1q1 p2p2 p1p1

24 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 824 Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten A B p1p1 A q1q1 s1s1 B Y Y p2p2 C C X X q2q2 s1s1 q1q1 p2p2 p1p1

25 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 825 Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten A B C X p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 X q2q2 q2q2 q2q2 s2s2 s1s1 p2p2 q1q1 p1p1

26 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 826 A B C Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 q2q2 p2p2 s2s2 s2s2 p1p1 q1q1 s1s1 q2q2 s2s2 s2s2 s2s2

27 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 827 D E F G A B C Trapezkarte und Suchstruktur zweier Kanten p1p1 A q1q1 s1s1 B C p2p2 q2q2 s2s2 s2s2 p1p1 q1q1 s1s1 D E F G p2p2 q2q2 s2s2

28 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 828 Beachte: T(S) und D(S) werden simultan konstruiert D(S) ist kein Baum, sondern ein DAG, ein directed acyclic graph, ein gerichteter azyklischer Graph Dieser DAG ist zusammenhängend und hat genau eine Wurzel Unterschied zum Baum: innere Knoten können mehrere Vorgänger haben Die Blätter von D(S) und die Trapeze von T(S) referenzieren sich gegenseitig Wie stets hängt die Tiefe (=Güte) des Baumes von der Reihenfolge der Bearbeitung der Segmente ab Idee: Zufällige Permutation der Segmente von S

29 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 829 Datenstruktur für T(S) Möglich wäre eine doppelt verkettete Kantenliste (s. Overlay) Wegen der einfachen Struktur der Trapeze bietet sich folgende Alternative an: Knoten (mit Koordinaten) Segmente (mit Referenzen auf Knoten) Trapeze mit Referenzen auf: –Top –Bottom –Leftp –Rightp –alle (maximal 4) Nachbarn Beachte: Die Geometrie der Trapeze ist nur implizit, kann aber in konstanter Zeit rekonstruiert werden

30 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 830 Skizze: Konstruktion von T(S) und D(S) Input: Eine Menge S von n Segmenten 1.Konstruiere ein umschließendes Rechteck R 2.Berechne eine Permutation s 1, s 2,...,s n von S 3.for i= 1 to n do Konstruiere T(S i ) und D(S i ) mit S i = {s 1, s 2,...,s i } unter Verwendung von T(S i-1 ) und D(S i-1 ) Schleifeninvariante: T(S i-1 ) ist eine Trapezkarte und D(S i-1 ) ist eine Suchstruktur für diese Trapezkarte Der Unterschied zwischen i-1 und i betrifft genau die Trapeze in T(S i-1 ), die von s i geschnitten werden

31 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 831 Von T(S i-1 ) und D(S i-1 ) zu T(S i ) und D(S i ) Fall 1: s i liegt in genau einem Trapez Input: Das Segment s i, T(S i-1 ) und D(S i-1 ) Idee: Nutze die Suchstruktur D(S i-1 ), um schnell zu finden Vorgehen: Modifiziere T(S i-1 ) und D(S i-1 ) in der auf den folgenden Folien beschriebenen Weise:

32 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 832 Einfügen einer Kante I D(S i-1 ) pipi T(S i-1 )

33 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 833 Einfügen einer Kante I D(S i-1 ) pipi pipi sisi sisi sisi qiqi qiqi pipi qiqi

34 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 834 Einfügen einer Kante I C D B A D(S i-1 ) pipi qiqi sisi A C B D pipi qiqi sisi T(S i ) D(S i )

35 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 835 Von T(S i-1 ) und D(S i-1 ) zu T(S i ) und D(S i ) Fall2 Fall 2: s i liegt in mehrere Trapezen 1, 2,... n Input: Das Segment s i, T(S i-1 ) und D(S i-1 ) Teilziel: Bestimmung von 1, 2,... n Beobachtungen: i ist rechter Nachbar von i-1 Jedes Trapez hat maximal 2 rechte Nachbarn Der richtige kann mit rightp( ) rasch identifiziert werden: –wenn rightp( ) oberhalb von s i, dann wähle den unteren rechten Nachbarn, sonst den oberen –Der Übergang von i zu i+1 ist also einfach Nutze D(S i-1 ) um 1 schnell zu finden Modifiziere T(S i-1 ) und D(S i-1 ) nun auf die folgende Weise:

36 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 836 Einfügen einer Kante II 3 D(S i-1 ) 1 2 0 3 0 1 2 qiqi T(S i-1 ) pipi

37 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 837 Einfügen einer Kante II 0 1 2 qiqi sisi qiqi qiqi pipi D(S i-1 ) 1 2 0

38 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 838 Einfügen einer Kante II D(S i-1 ) qiqi sisi sisi sisi sisi qiqi pipi sisi sisi sisi sisi sisi

39 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 839 Einfügen einer Kante II D(S i-1 ) qiqi sisi sisi sisi A B D E F B D sisi A C F E C sisi pipi qiqi T(S i ) D(S i )