Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos

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1 Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos
Nach Pythagoras ist die Fünf, das Pentagramm (gebildet aus fünf Dreiecken oder fünf Alpha), die vollkommene Zahl des Mikrokosmos Das Pentagramm erinnert zugleich an den fünfzackigen Stern der Kabbalah (wenn man ihn auf den Kopf stellt, so dass zwei Spitzen nach oben weisen, wird es ein negatives Zeichen, in der Kunst der Romanik z. B. das teuflische Zeichen des Bocks). Gleich der Zahl Fünf ist auch der Fünfstern Symbol des Menschen, der fünf Finger, fünf Zehen und fünf Sinne hat und - wie aus den Darstellungen von Leonardo da Vinci und Baldassare Peruzzi bekannt - gleich einem Fünfstern in der Welt steht. Die vier Gliedmaßen entsprechen den vier Elementen, während der Kopf die quinta essentia symbolisiert, jenes geheimnisvolle, unsichtbare fünfte Element, das nur dem Menschen zugänglich ist. Nach antiker Lehre besteht alles, was erschaffen ist, aus den vier Elementen Feuer, Erde, Luft und Wasser. Das unsichtbare, darüber hinausgehende Element symbolisiert das Wesentliche, die Bedeutung, den Sinn, der in der Schöpfung verborgen ist, und den nur der Mensch zu erkennen vermag. Aristoteles nannte es Äther und die Alchemisten prägten dafür den Begriff Quintessenz. (Hajo Banzhav) Hildegard von Bingen sieht den Menschen ganz wesentlich durch die Fünf geprägt: Sie teilt ihn senkrecht vom Kopf bis Fuß in fünf gleiche Teile, ebenso waagerecht, von den Fingerspitzen des einen ausgestreckten Armes bis zu denen des ändern (diese Doppelheit weist auf die heilige Zehn hin); er hat außerdem fünf Sinne und in Kopf, Armen und Beinen fünf Extremitäten. Man wird von hier aus auch die Blumen mit fünf Knospen und andere Fünferreihungen in romanischen Skulpturen als symbolhaltig und keineswegs als bloß "dekorativ" werten müssen.

2 Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos
Alle Säugetiere haben fünfzählige Extremitäten Ein Beitrag von Kathrin Buchwalsky aus der Sendunf Quarks & Co im WDR vom Oder sind die Lebensprozesse und Lebensformen aus einem unerfindlichen Grund auf die Zahl Fünf abgestimmt? Ist es nur eine Laune der Natur, dass die Extremitäten aller Säugetiere inclusive die des Menschen fünfzählige Extremitäten aufweisen?

3 Die Geometrie der Zahl 5 Wenn man eine ebene Fläche Parkettiert, so kann man das mit Dreiecken Sechsecken und Quadraten problemlos tun ohne dass Lücken bleiben. Mit regelmäßigen Fünfecken ist das nicht mehr möglich (Siehe Abbildung). Die 7-Eck Parkettierung bildet Überlappungen Die Fünfecke lassen Spalte, die man nicht mehr mit weiteren Fünfecken schließen kann. Die Fünf tanzt hier gewissermaßen aus der Reihe. Sie fügt sich nicht mehr in eine ebene Fläche ein und lässt Lücken. Will man eine 5-Eck Parkettierung schließen, so entsteht ein räumlicher Körper. Die 7-Eck Parkettierung ist zwar Lückenlos, lässt sich aber nicht überlappungsfrei darstellen. Versucht man mit entsprechenden Strukturen den Raum lückenlos zu füllen, so zeigt sich, dass dies niemals mit fünfzähligen Symmetrien lückenlos möglich ist. Der Tetraeder und der Oktaeder, als auch der Würfel können den Raum lückenlos füllen. Diese Körper ergeben aber niemals fünfzählige Symmetrien. Sie münden meist in sechszähligen Symmetrien. Es scheint, als ob die Fünf sich nicht in geschlossene und einheitliche Symmetrien einbinden lässt, sie Rebelliert gegen regelmäßige Strukturen wie Luzifer, der schöne Engel, der sein wollte wie Gott und deshalb aus seinem Reich vertrieben wurde. Das gleiche Schicksal teilten die ersten Menschen mit ihm. Daraufhin sandte Gott seinen eingeborenen Sohn, um die Menschen aus dem Reich der von Satan beherrschten Welt zu erlösen. Diese Alegorie enthält die vollständige Symbolik der Zahl Fünf. Das Äquivalent der Fünf ist der Fünfeckstern, auch Pentagramm genannt. Es fungiert als Schutzzeichen, wenn mit einer Spitze nach oben betrachtet und als Satanssymbol, wenn mit zwei Spitzen nach oben gewandt.

4 Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:
Das 5-Eck. Wir vermessen die Strecken a und c des 5-Ecks.Dies sind die beiden einzigen Streckenlängen, die sich innerhalb des 5-Ecks bilden lassen ohne sie zu zerschneiden. Die Reststrecke nennen wir b. Setzt man die Strecken zueinander ins Verhältnis, so sieht man, dass es sich um einen einzigartigen Sonderfall handelt. Die kürzere Strecke b verhält sich zur längeren a wie die längere a zur ganzen c = a + b Die Gleichung lautet: b/a=a/(a+b) Damit nicht genug, die Flächen A und B stehen ebenfalls in diesem Verhältnis. Es verhält sich die kleinerer Fläche B zur größeren A wie diese A zur Ganzen A+B Die Gleichung lautet wie bei den Geradenstücken B/A=A/(A+B) Man kann nun genauso verfahren wie bei den Strecken und kommt zum gleichen Ergebnis: a c Den Zahlenwert nennt man den Goldenen Schnitt. Die Art der Teilung heißt stetige Teilung. Stetige Teilung deshalb, weil sich dieses Verhältnis stetig fortsetzen ließe. Am schönsten lässt sich dies veranschaulichen, wenn man aus den Strecken a und b ein Rechteck bildet. Ein solches Rechteck heißt goldenes Rechteck, weil die Seiten sich zueinander in goldenen Schnitt verhalten. Ich bezeichne im weiteren den gefundenen Zahlenwert mit g und seinen Kehrwert 1/g=G b c = a + b a Goldenes Rechteck a b Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet: Minor g= 0, Major G= 1,

5 Der goldene Schnitt und das goldene Rechteck Die stetige Teilung
Zeichnet man innerhalb des goldenen Rechtecks ein Quadrat, so ist die Restfläche wieder ein goldenes Rechteck. In diesem kann man wieder ein Quadrat einzeichnen und es bleibt als Restfläche wieder ein goldenes Rechteck. Dieser Vorgang kann endlos fortgesetzt werden. Dabei streben die immer kleiner werdenden Restflächen in einer Spiralbewegung einem Punkt zu, der als Grenzwert bezeichnet wird. Dieser Punkt wird durch die stetige Teilung immer weiter angenähert, aber niemals erreicht. Quadrat Goldenes Rechteck G=1,618 1 Quadrat Goldenes Rechteck Quadrat Goldenes Rechteck Quadrat Goldenes Rechteck Quadrat Goldenes Rechteck Omega- Punkt Die Spiralbewegung folgt den Gesetzmäßigkeiten einer logarithmischen Spirale. Die Steigung bzw. die Krümmung einer logarithmischen Spirale ist in allen Teilen gleich groß Der Punkt Omega, um den sich die stetige Teilung herumwindet, liegt auf den Diagonalen der senkrecht und waagerecht liegenden Rechtecke

6 Der Omegapunkt im goldenen Rechteck
Der Punkt Omega, um den sich die goldene Spirale dreht liegt auf den Diagonalen zweier goldener Rechtecke Ausgangspunkt der Berechnung ist der Winkel Alpha, der als Tangens das Verhältnis der beiden Ankatheten, das gleichermaßen durch 1:G als auch x:y als auch (G-y):x gebildet wird. Wir haben somit genügend Gleichungen, um x und y zu berechnen. Omega- Punkt

7 Die Fläche Des Omega-Rechtecks verhält sich zum Goldenen Rechteck wie
1:5 In der unten stehenden Grafik sind alle vier mögliche Omega Punkte zu einem Rechteck verbunden. Die Seiten b und h des Omega Rechtecks bilden wieder ein goldenes Rechteck. Omegapunkt Omegapunkt Die Breite b des Omega Rechtecks ist b=1-2(1-x) Die Höhe h des Omega Rechtecks ist h=G-2(G-y) Setzt man die oben gewonnenen Ausdrücke für x und y ein und vereinfacht, so erhält man: Omegapunkt Omegapunkt Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn folgendes bekannt ist: Die Strecke A-D ist gleich y und C-D ist gleich x. Somit ist das Rechteck A-B-C-D identisch mit dem Omega Rechteck Die Rechteckhöhe ist also h=x (Strecke A-D) Die Rechteckbreite b=x/G (Strecke C-D) Die Fläche berechnet sich einfach. A=h*b=x*x/G

8 Das 5-Eck und der goldene Schnitt
Die Zahl Fünf bewirkt in der Ebene ein regelmäßiges Fünfeck. Diese Figur ist allen ihren Bestandteilen, sowohl Linien als auch Flächen aus dem goldenen Schnitt oder seinen Potenzwerten zusammengesetzt. Im goldenen Schnitt g=0, verhalten sich: Die kurze Pentagrammseite S2 zur langen Pentagrammseite S1 S2/S1=g Die lange Pentagrammseite S1 zur Fünfeckseite S3 S1/S3=g Die Fünfeckseite S3 zur ganzen Pentagrammseite S4 S3/S4=g Es gibt vier unterschiedliche Flächen A, B, C, und die Gesamtfläche des Fünfecks. Die äußeren Flächen A verhalten sich zu den Sternspitzen B im goldenen Schnitt. B:A=g Die Innenfläche verhält sich zur Gesamtfläche wie 1:g4 Die Flächen:C:B=1+2g C:A=1+g2 Das Fünfeck und das ihm einbeschriebene Pentagramm ist ein vollkommener Ausdruck des goldenen Schnitts.

9 Der Goldene Schnitt im Pflanzenwachstum
Wenn man Blütenkelche genau betrachtet, dann fällt auf, dass die Blütenkörbchen Spiralmuster zeigen. Diese Spiralmuster sind rechts und linksläufig ineinander verflochten. Es sind außerdem logarithmische Spiralen Die Anzahl der Spiralen folgt einer mathematischen Gesetzmäßigkeit. In diesem Fall sind es 21 linksläufige und 34 rechtsläufige Spiralen. Mit einem einfachen Computerprogramm lassen sich diese Spiralmuster nachbilden.

10 Die Dekussation (kreuzständige Blattstellungen).
Aber nicht nur Blütenkelche und Knospen weisen Spiralmuster auf, sondern auch die Nadeln an den Kiefernzweigen und anderen Nadelbäumen sind in Mustern mit rechts und linksläufigen Spiralen angeordnet. In der Botanik gibt es drei Arten der Blattstellung. Die Dekussation (kreuzständige Blattstellungen). Die Distichie (zweizeilige Beblätterung) Die Dispersion (Spiralig angeordnet) Diese spiraligen Blatt- oder Knospenanordnungen besitzen die angeführten Spiralmuster, mit jeweils einer bestimmten Anzahl von Spiralen. Der Kiefernzapfen. Bei ihm sind es meisst nur 3 rechts- und 5 linksläufige Spiralen. Das Haselnußkätzchen bringt es immerhin schon auf 5 rechts- und 8 linksläufige Spiralen. Spiralige Blattstellung auch Dispersion genannt, zeigen Spiralmuster nach bestimmten mathematischen Gesetzmäßigkeiten, die aufs Engste mit dem Goldenen Schnitt in Zusammenhang stehen. Auch die Nadeln am Kiefernzweig sind spiralig angeordnet. Auf 5 Windungen kommen 13 Nadeln, so dass die 14. Nadel über der ersten liegt. Der Tannenzapfen besitzt 5 rechts und 8 linksläufige Windungen

11 Die Mathematik des Lebendigen
Die Anzahl der Spiralen hängt nicht von der Pflanzenart ab, sondern von der Größe des Blütenkelches, obwohl manche Pflanzen niemals eine große Zahl von Spiralen zustandebringen. Wenn man die Anzahl der rechts und linksläufigen Spiralen anschreibt, ...,3,5,8,13,21,34,... dann kommt man auf die sogenannte Fibonacci Reihe, so benannt nach dem Mathematiker Leonardo von Pisa. Leonardo von Pisa wurde zwischen 1170 und 1180 geboren und wurde bekannt unter dem Namen Fibonacci Er entdeckte, diese eigenartige Zahlenreihe 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.. Diese Reihe hat die Eigenschaft, dass jeweils die Summe aus zwei Vorgängerzahlen Fn-1 und Fn die nächste Zahl Fn+1 bilden. Man beginnt bei F0=0 und F1=1 F2 =0+1=1, F3 =1+1=2; F4 =1+2=3; F5 =2+3=5 usw. Die Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen nähern sich immer genauer dem Goldenen Schnitt an. F0/F1=0/1= 0 F1/F2= 1/1= 1,0 F2/F3= 1/2= 0,5 F4/F5= 2/3= 0,667 F5/F6= 3/5= 0,6 F6/F7= 5/8= 0,625 F7/F8= 8/13= 0,615 F8/F9= 13/21= 0,619 F9/F10= 21/34= 0,617 F10/F11= 34/55= 0,618 Lukaszahlen: nimmt man zwei beliebige Zahlengruppen aus der Fibonaccireihe und verfährt wie bei den Fibonaccizahlen, so erhält man ebenso den Goldenen Schnitt. In der 10. Näherung ist der Wert bis auf drei Stellen genau erreicht, würde man weitere Divisionen durchführen, so entstünden immer genauere Werte.

12 Die Stetige Teilung Der genaue Zahlenwert des goldenen Schnitts
wird aus der Konstruktion der stetigen Teilung und der Lösung der daraus ableitbaren quadratischen Gleichung erhalten. 1 A B C A B M C g B Zunächst zeichnet man ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 zu 2. Die Diagonale BC dieses Rechtecks hat die Länge Wurzel aus Fünf 1 2 C Dann verkürzt man die Diagonale BC um die Seitenlänge 1, so dass die Strecke AB übrig bleibt. Teilt man die Strecke AB in der Mitte M, so ist der Goldenen Schnitt entstanden. Der kleine Teil AM=g verhält sich zum größeren Teil AC=1 wie dieser AC=1 zum Ganzen CM=g+1 Daraus gewinnen wir die Gleichung Auf einem Taschenrechner können wir die quadratische Gleichung auf einfache Weise prüfen. 1/1, =0,1, Die Nachkommastellen bleiben vollständig erhalten, der Wert ist lediglich um Eins kleiner. Die genaue Angabe in Dezimalschreibung ist prinzipiell nicht möglich, da der Goldene Schnitt eine irrationale Zahl ist. Die Lösung dieser Gleichung ist der Wert des goldenen Schnitts 0,

13 Mit dem Wissen um den genauen Zahlenwert des Goldenen Schnitts kann man nun den Blattstellungen der Pflanzen noch auf eine andere Weise zu Leibe rücken. Misst man den Winkel, den die Blätter einer schön entwickelten Pflanze mit wechselständigen Blättern zueinander einnehmen, so kommt man auf einen Winkel von ziemlich genau 222,5 Grad. Das ist ziemlich genau ein Anteil von *360 Grad. Also wieder der Goldene Schnitt. Die dargestellte Computersimulation zeigt, dass die Anzahl der Spiralen lediglich von der Anzahl der vorhandenen Blütenstempel abhängt. Die Genauigkeit des Winkels muss sehr hoch sein, damit das Bild der Spiralmuster entstehen kann.

14 Die Selbstähnlichkeit des Goldenen Schnitts
Die Kettenbruchentwicklung ist eine Methode um irrationale Zahlen anzunähern. Irrationale Zahlen haben endliche periodische Kettenbruchentwicklungen. Das heißt, die Kettenbruchglieder wiederholen sich nach einer gewissen Zeit. Der einfachste Kettenbruch ist derjenige des Goldenen Schnitts. Er besteht aus lauter Einsen. Rechnet man diese Brüche um, so erscheinen der Reihe nach alle Fibonaccibrüche. Dieser Kettenbruch nähert sich dem Goldenen Schnitt. Die Tatsache, dass diese Kettenbruchentwicklung aus lauter Einsen besteht, besagt bereits, dass die Annäherung extrem langsam erfolgt. Der goldene Schnitt wird daher gern als die Irrationalste aller Irrationalen Zahlen bezeichnet, weil sie sich am schlechtesten von allen Annähern lässt. Das goldene Rechteck lässt sich unendlich in immer weitere goldene Rechtecke teilen.. Auch hier handelt es sich um Selbstähnlichkeit. Jedes beliebig herausgegriffene Teil stellt wieder die ganze Struktur dar. Die logarithmische Spirale, wie sie sich in das goldenen Rechteck einfügen lässt und z.B in der Nautilusmuschel zu finden ist, ist ebenfalls selbstähnlich. Die Steigung der Spirale ist an jeden Punkt gleich groß. Die Kettenbruchentwicklung des goldenen Schnitts ist selbstähnlich. Jeder beliebig gewählte Teil wiederholt sich im Ganzen.

15 Das Problem der Genauigkeit
Es gibt tausende von Proportionen, sowohl am menschlichen Skelett, als auch bei allen möglichen Tier- und Pflanzenwuchsformen. An allen diesen wird seit Jahrhunderten gemessen und gerechnet. Jedoch sind die meisten dieser Daten nicht exakt genug, um mit Sicherheit sagen zu können, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt. Lediglich der Spiralwuchs der Pflanzen ist so exakt, dass er heute noch wissenschaftlich untersucht wird. Proportionen, die nahe am goldenen Schnitt liegen 2/3=0,666...Differnnz zum Goldenen Schnitt 0,0486; 7,8% 5/8=0,625 Differnnz zum Goldenen Schnitt 0,007; 1,1% György Doczi Die Kraft der ‚Grenzen S126 Die Masse entsprechen angeblich den Durchschnittsgrößen von Erwachsenen in USA

16 Je nach Kombination ergibt sich ein Dur oder Moll Akkord.
Die Stimmung der Zahl 5 Der klassische Dur-Dreiklang, das sind drei Töne, deren Frequenzen sich wie 4:5:6 verhalten. Es sind dies die große Terz 4:5 und kleine 5:6 Terz. Der Grundton 4 verhält sich zum Oberton 6 wie eine Quinte 2:3. Der klassische Moll-Dreiklang, das sind drei Töne deren Frequenzen sich wie 3:4:5 verhalten. Es sind dies die Quarte 3:4 und die große Sexte 4:5. Dreiklänge können umgekehrt werden, indem man den jeweils tiefsten Ton um eine Oktave höher setzt. Durch die 1. Umkehrung wird aus dem Moll-Dreiklang 3:4:5 ein Dur-Dreiklang 4:5:6. Dabei wird der Grundtons 3 um eine Oktave angehoben. Dies entspricht einer Verdoppelung vom 3 auf das 6-Fache der Grundfrequenz 1/5 2/5 3/5 4/5 Greift man die Seite eines Instruments bei 3/5 der Gesamtlänge ab und läst die Seite zum Grundton erklingen, so hört man einen Sextintervall mit dem Frequenzverhältnis 3:5 Durch die 1. Umkehrung (siehe oben), wird aus der Sexte 3:5 eine kleine Terz 5:6. Greift man die Seite eines Instruments bei 4/5 der Gesamtlänge ab und läst die Seite zum Grundton erklingen, so hört man eine große Terz mit dem Frequenzverhältnis 4:5 Je nach Kombination ergibt sich ein Dur oder Moll Akkord. Die Kombination 3:4:5 ergibt den Dur-Akkord (Quart-Sext-Akkord mit der großen Sexte) Die Kombination 4:5:6 ergibt den Moll-Akkord (Quint-Sext-Akkord mit der kleinen Sexte) Das Strukturzahl ist die 5 mit ihr kann entweder die kleine Sext 5:6 oder die große Sext 4:5 gebildet werden. Die Zahl 5 bringt die Gefühlsqualität von Dur und Moll in die Musik hinein, denn nur durch die 5-er Teilung der schwingenden Seite entstehen die auf Dur und Moll basierenden Frequenzverhältnisse.

17 a b c d e

18 Der Ikosaeder, der Pentadodekaeder
der Goldene Schnitt und die Harmonie in Dur und Moll Beide Platonische Körper sind Bindeglied zwischen den Wirkungen der Zahl 5 in Musik und Geometrie. Die Verhältniszahlen von Ecken und Flächen beider Körper zeigen die Zahlen des Sextintervalls. Die Körper bauen jedoch auf dem goldenen Schnitt auf. Legt man beide Körper ineinander, so entsteht ein Sternkörper. Die Durchdringung von Pentadodekaeder und Ikosaeder Die gegenseitigen Verhältnisse von Flächen und Ecken verhalten sich wie das Sext Intervall 3:5 Der Ikosaeder hat 20 Flächen 12 Ecken Der Pentadodekaeder hat 12 Flächen und 20 Ecken Drei ver-schachtelte goldene Rechtecke Pentagramme auf den Flächen des Pentado-dekaeders Der Pentadodekaeder besteht aus 12 gleichseitigen Fünfecken. Das Fünfeck ist der vollkommenste Ausdruck des goldenen Schnitts. Alle Längen und Flächenverhältnisse im Fünfeck basieren auf dem goldenen Schnitt Drei ineinander verschachtelte Goldene Rechtecke bilden das Skelett eines Ikosaeders. Verbindet man alle Ecken miteinander, so entsteht ein Ikosaeder.

19 Die Platonischen Körper sind ploar und bilden Sternkörper Harmonie der Raumsymmetrien
Der Sternkörper Würfel-Oktaeder repräsentiert den Quart-Intervall, der Sternkörper Pentadodekaeder-Ikosaeder, repräsentiert den Sext-Intervall. Zusammen ergibt das einen Sext-Akord. Terz-Ton im Bass. Zwischen Bass und mittlerem Ton steht eine Terz, zwischen Bass und Sopran eine Sext. Die konstituierenden Zahlen bilden ein Pythagoräisches Dreieck 3:4:5 Die Symmetrien, sind im Raum apriori angelegt. Sie werden Sichtbar durch atomare Verbindungen in Kristallen und Molekühlen oder den Formen von Mikroorganismen wie Vieren. Diese Symmetrien sind Ausdruck einer schöpferischen Kraft, an der wir durch unser Harmonie-empfinden teilhaben. Die Bestimmungselemente der Körper sind Flächen, Ecken, Kannten. Die Kanten sind durch das Zusammentreffen zweier Flächen definiert Je zwei polare Körper bilden einen Sternkörper und einen Intervall in ihren Flächen-Ecken Verhältnissen Sext- Akkord 3:4:5 OKTAEDER 3 Ecken bilden eine Fläche 4 Flächen bilden eine Ecke WÜRFEL 4 Ecken bilden eine Fläche 3 Flächen bilden eine Ecke PENTADODEKAEDER 5 Ecken bilden eine Fläche 3 Flächen bilden eine Ecke IKOSAEDER 3 Ecken bilden eine Fläche 5 Flächen bilden eine Ecke 5 Intervallverhältnis Quarte 3:4 oder 4:3 4 Intervallverhältnis Sexte 3:5 oder 5:3 3 Copy Right Willibald Limbrunner

20 Das Rosenkreuz Sext- Akkord 3:4:5 Das Längenverhältnis der Innenmaße
Emblem der Rosenkreuzer. Die Originalzeichnung aus dem Foliant: Die geheimen Figuren der Rosenkreuzer aus dem 16-ten und 17-ten Jahrhundert. Das Längenverhältnis der Innenmaße 3:4 Das Längenverhältnis der Außenmaße 4:5 Die Gesamtmaße 150 zu 123 mm entsprechen nahezu der Proportion 4 zu 5. Mit der Innenproportion 100 zu 75 mm erhalten wir die klassische Proportion des musikalischen Dreiklangs 3:4 die Quarte (Innen) und 4:5 die große Terz (Außen). Das ergibt den Quart-Sext-Akkord, 3:4:5 wie er sich auch im Kanon der verschachtelten platonischen Körper wiederfindet IKOSAEDER 3 Ecken bilden eine Fläche 5 Flächen bilden eine Ecke WÜRFEL 4 Ecken bilden eine Fläche 3 Flächen bilden eine Ecke Sext- Akkord 3:4:5 OKTAEDER 3 Ecken bilden eine Fläche 4 Flächen bilden eine Ecke PENTADODEKAEDER 5 Ecken bilden eine Fläche 3 Flächen bilden eine Ecke Intervallverhältnis Quarte 3:4 oder 4:3 Intervallverhältnis Sexte 3:5 oder 5:3

21 der Rhombentriakontaeder als sechsdimensionaler Würfel
Quasikristalle der Rhombentriakontaeder als sechsdimensionaler Würfel 1984 beobachteten Shechtman, Blech, Gratias und Cahn mittels Elektronenbeugung bei einer rasch abgekühlten Aluminium-Mangan-Schmelze (Al4Mn) scharfe Beugungsflecken. Das Beugungsbild aber zeigte überraschenderweise fünfzähligen Rotationssymmetrie; man spricht von dekagonaler Symmetrie. Fünfzählige Symmetrien aber und damit dekagonale Strukturen können von den regulären Raumgruppensymmetrien des dreidimensionalen Raumes nicht erfasst werden. Bei Materialien mit solchen Strukturen spricht man deshalb von Quasikristallen. Die Strukturen dieser neuartigen Materialien wie Aluminiummangan und einigen Viruskristallen werden heute aus zweidimensionalen Beugungsbildern bestimmt und nach Berechnung im fünf- bis sechsdimensionalen Raum in den dreidimensionalen Raum zurückprojiziert. Der strukturelle Aufbau dieser Stoffe wird dann mit geometrischen Motiven wie dem zweidimensionalen Penrose-Tiling, bestehend aus spitzen und stumpfen Rhomben oder Drachen und Pfeilen, die zusammen gescherte Würfel bilden, interpretiert. Das erstmals von Kepler beschriebene Rhombentriakontaeder tritt als einhüllender von insgesamt fünf Polyedern, die einen atomaren Cluster bilden, bei der Strukturbeschreibung von Approximaten (Mackay et al., 1982) in den modernen Naturwissenschaften auf. Betrachtet man das Rhombentriakontaeder als aus dem sechsdimensionalen Raum in unsere üblichen drei Dimensionen projizierten Hyperwürfel, so lässt sich damit sowohl die Vorstellung der Periodizität – nicht in drei, aber doch in sechs Dimensionen – aufrechterhalten, als auch das Rhombentriakontaeder-Bild erklären. Und interessanterweise hat der Mathematiker Gerhard Kowalewski schon 1938 auf die Möglichkeit hingewiesen, sich das Rhombentriakontaeder als sechsdimensionalen Würfel vorzustellen. Vgl. , S. f. Hepatitis C-Virus Herpesvirus Poliovirus

22 Was sind rationale Zahlen
Rationale Zahlen sind unendlich Dicht 1 2 3 0,3 0,4 0,33 0,34 Zwischen zwei beliebig nahe beieinanderliegenden rationalen Zahlen liegen wieder unendlich viele rationale Zahlen. Das Kontinuum der rationalen Zahlen ist dicht. 0,333 0,334

23 Dezimalbrüche Dezimalbrüche sind eine Form der Darstellung rationaler Zahlen. Der Vorteil liegt in der Verwendbarkeit bei alltäglichen aber auch bei technisch wissenschaftlichen Abschätzungen und Berechnungen. Der Umgang mit Dezimalbrüchen beschränkt sich heute fasst ausschließlich auf elektronische Rechner. Ihre Eigenschaften sind jedoch nicht allgemeingut. Eigenschaften von Dezimalbrüchen Es gibt zwei Arten von Dezimalbrüchen: Abbrechende und Periodische Abbrechende Dezimalbrüche sind: 1/2=0,5; 1/5=0,2; 1/4=0,25; 1/8=0,125; 1/10=0,1 usw. Periodische Dezimalbrüche sind: 1/3=0, ; 1/6=0, ; 1/7=0,142857; 1/9=0, usw. Dabei bildet die Drei (1/3=0,333...) den ersten periodischen Dezimalbruch, wobei die Periodenlänge nur eine Stelle beträgt. Abbrechende, periodische, und reinperiodische Dezimalbrüche Man kann die Dezimalbrüche in drei Gruppen unterteilen: 1/2, 1/4, 1/5, die abbrechenden Dezimalbrüche. 0,5, 0,25, 0,2 1/3, 1/9, 1/7, die reinperiodischen Dezimalbrüche. 0,333..., 0,111...,0, 1/6 0, die periodischen Dezimalbrüche sie haben eine Vorperiode. Die Sieben bildet den ersten periodischen Dezimalbruch mit einer größeren Periodenlänge. Man sieht an obigen Beispielen, dass es noch eine dritte Art von Dezimalbrüchen gibt. Sie stellen eine Mischung aus periodischen und abbrechenden dar. Die einzige Zahl kleiner Zehn, die diese Eigenschaft besitzt, ist die Sechs bzw. 1/6=0, Die Ziffernperiode beginnt in der zweiten Nachkommastelle. Den Teil davor nennt man Vorperiode eines Dezimalbruches. 1/6 hat die Vorperiode 1, und die Periode, die 6. 1/6 ist der erste gemischt - periodische Dezimalbruch. Man kann die abbrechenden Dezimalbrüche als Sonderfall der periodischen auffassen, mit der Periode 0 (1/2=0, ). So gesehen gibt es keine Ausnahmen und alle Dezimalbrüche sind periodisch. Dennoch unterscheiden sich diese Brüche von allen anderen dadurch, dass sie als Periode lediglich die Null aufweisen. An den Brüchen 1/2, 1/4, 1/5, kann man sehen, dass alle Nenner Teiler der Zahlenbasis 10 sind. Nenner, die Faktoren 2 oder 5 enthalten, haben immer Vorperioden. Nenner, bei denen dies nicht der Fall ist, haben eine reinperiodische Dezimalbruchentwicklung, sie haben keine Vorperiode.

24 Irrationale Zahlen Rationale Zahlen 1 2 3
Das Licht einer Glühbirne durchdringt Glas. Das Glas ist durchlässig für Licht. Die Flüssigkeit kann Glas nicht durchdringen. Das Glas ist dicht gegenüber der Flüssigkeit 0,4 0,5 1, Rationale Zahlen 1 2 3 Die Irrationale Zahl Wurzel aus 2 trifft auf keine rationale Zahl. Und das obwohl der Zahlenstrahl, wie wir gesehen haben unendlich Dicht ist. Diese Tatsache scheint unser Vorstellungsvermögen zu überfordern. Dabei gehen wir täglich mit dingen um, die uns genau diese Tatsache vor Augen führen. Für die Flüssigkeit in einem Glas ist das Glas dicht. Es kann keine Flüssigkeit zwischen die Glasmoleküle gelangen. Licht hingegen dringt ungehindert durch. Licht verhält sich gegenüber dem Medium Glas etwa so, wie Irrationale Zahlen gegenüber der Menge der rationalen Zahlen.

25 Die Obertonreihe. Nimmt man ein Seil in die Hand und befestigt es an einer Seite, so kann man dieses Seil auf unterschiedliche Weise zum Schwingen bringen. Bewegt man es langsam, so entsteht eine einzige Schwingung. Bewegt man es mit doppelter Geschwindigkeit so entstehen zwei Schwingungsbäuche. Nun könnte man die Bewegung noch steigern, auf das drei, vier und fünffache der Anfangsfrequenz. Dann entstünden die unten dargestellten Schwingungsformen. Diese Wellen nennt man Oberwellen oder Oberschwingungen. In der Schalltechnik und in der Musik spricht man von der Obertonreihe. Das Prinzip der Schwingung ist universell und tritt überall in der Natur auf. Diese Schwingungen überlagern sich beispielsweise im Klang einer Geige und geben je nach Anteil der Obertöne einen charakteristischen Klang. Jeder Gegenstand besitzt gewissermaßen eine Individuelle Zusammensetzung an Obertönen, an der man ihn erkennt, das gilt ebenso für die menschliche Stimme. Schläft ein Lied in allen Dingen, die da träumen fort und fort. Und die Welt hebt an zu singen, triffst Du nur das Zauberwort Joseph von Eichendorff Wachsende Energie Die Zahlen geben an wo sich die Schwingungsknoten befinden. Dabei wurden die Knoten, die bereits vorher schon da waren weggelassen. So fehlt beispielsweise die Angabe bei 2/6, da dieser Knoten schon bei 1/3 vorkam. Denn 2/6=1/3. Es tauchen praktisch nur gekürzte Brüche auf. Würde man diese Reihe noch fortführen, so entstünden alle gekürzten Brüche sie es überhaupt geben kann. Die Darstellung ist also auch eine Darstellung der Menge aller gekürzten rationalen Zahlen in Bruchschreibweise. Es ist sehr interessant zu sehen, dass sich zwei Sinuswellen unterschiedlicher Frequenz so verhalten, als addiere man einfach ihre Frequenzen. Die Schwingung Sin(2*x)+sin(3*x) erzeugt. Eine Schwingung deren Knoten eine 2+3=5-er Teilung ergeben. Ebenso Sin(1*x)+Sin(4*x) ergibt 1+4=5 eine 5-er Teilung.

26 Die Farey-Folge oder die zweidimensionale Fibonaccireihe
In unserer Darstellung lassen sich die angegebenen Brüche auf einfache Weise finden. Die oberste Reihe beginnt mit den Brüchen 0/1,1/1 Addiert man nun Zähler 0+1=1 und Nenner 1+1=2, so ist der erste Bruch 1/2 gefunden. Ebenso verfährt man mit allen anderen Die Elternbrüche 0/1, und 1/3 ergeben 1/4 usw. Dass sich diese auf die Obertöne abbilden lasst zeugt von ihrer universellen Bedeutung, Wachsende Energie Die gelben Verbindungslinien Markieren jeweils die Elternbrüche, aus denen die Nachfolger hervorgingen. Die Knoten auf denen gelbe Zeugerlinien treffen haben über sich keinen Punkt. Das heißt ihre Position in der Waagerechten Achse ist einmalig. Eine senkrechte Gerade durch einen beliebigen Knoten würde niemals auf einen anderen Knoten treffen. Es treten nur gekürzte Brüche auf. Das Prinzip der Addition zweier Vorgängerzahlen entspricht dem der Fibonaccireihe. 0/ /1 1/2 1/3 2/3 1/4 2/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 Eine dreieckig geformte Darstellung der Fareyfolge Zeigt die darin enthaltene Ordnung. Die Farey-Folge F7={1/7,1/6,1/5,1/4,2/7,1/3,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,2/3,5/7,3/4,4/5,5/6,6/7,1/1}

27 Eine kleine Variation der Farey-Folge
Die Brüche in unten stehender Grafik wurden je nach Nenner höher oder tiefer platziert, die Elternbrüche sind mit Linien verbunden. Es gehen beispielsweise vom Bruch 1/2, Linien zu den Elternbrüchen 0/1 und 1/1. Diese Form der Farey-Folge unterscheidet sich von der klassischen dadurch, dass alle Lücken zwischen den Elternbrüchen einer Generation gefüllt werden. Die Brüche jeder neuen Generation sind in unterschiedlichen Farben markiert. Die größten Nenner bilden die Fibonaccizahlen. Die Farey-Folgen der 1. Bis 4.Generation F1={0/1, /1} F2={0/1, /2, /1} F3={0/1, /3, /2, /3, /1} F4={0/1,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,1/1} Wenn bis zur 4. Generation alle Brüche gebildet werden, dann ist der maximale Nenner die 4. Fibonaccizahl. Dies gilt auch für alle weiteren Generationen Standardform der Farey-Folge F4={0/1,1/4,1/3, ,1/2, ,2/3,3/4,1/1} In der Standardform der Farey-Folge fehlen in der 4. Generation die Brüche 2/5 und 3/5. Es treten nur die Nenner 1-4 auf. Dies gilt auch für alle weiteren Generationen Die Fibonaccizahlen {1,1,2,3,5,8,13,..} finden sich wieder in Nenner und Zähler der Farey-Folge. Wenn zwei Werte der Fibonacci-Reihe aufeinander folgen, dann entstehen durch fortwährende Addition nur noch Werte der Fibonacci-Reihe. Die gelb markierten Brüche haben in Nenner und Zähler Fibonaccizahlen. Sie nähern die Werte des goldenen Schnitts g=0, und g2 =0, an.

28 Die Konvergenzrate der Fibonaccibrüche
Wir wissen bereits, dass die Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen Näherungsbrüche ergeben, die sich immer mehr an den goldenen Schnitt annähern. Die Mathematiker haben sich Gedanken darüber gemacht, wie schnell diese Annäherung erfolgt. Sie haben dafür ein Maß geschaffen, die sogenannte Konvergenzrate. Es ist der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Abweichungen zweier Näherungsbrüche. Diese Konvergenzrate ist außerordentlich Bedeutsam bei der Betrachtung chaotischer Vorgänge. Sie besitzt, wie auch der Goldene Schnitt selbst den Charakter einer Naturkonstante vom Rang einer Feigenbaumkonstante. Die Tabelle enthält alle Schritte zur Berechnung der Konvergenzrate, die sich aus den Näherungsbrüchen der Fibonaccizahlen ergeben. In der Grafik links sind die Abweichungen grafisch auf-getragen. Der Grenzwert des Quotienten von zwei aufeinander-folgenden Abweichungen W ist dann: W0 W2 W1 W1 W0 W0-W1 W2 W1 W1-W2 Abweichungen nähert sich dem Wert Alle anderen Irrationalen Zahlen haben größere Konvergenzraten. Der goldene Schnitt wird daher als die irrationalste aller Irrationalen Zahlen bezeichnet. Er lässt sich am schlechtesten durch Aproximation annähern.

29 g und g2, das untrennbare Paar
Wie gezeigt, entstehen durch einfache Addition von Zähler und Nenner, in der Farey-Folge nicht nur alle gekürzten rationalen Brüche, sondern diese ranken sich wie Trauben um die Irrationalen Zahlen des goldenen Schnitts. Sie bilden mit den weitesten Ausläufern, Doppelspitzen, die sich an die Werte g und g2 annähern. Dies sind nicht nur die Winkelverhältnisse von Ikosaeder und Pentadodekaeder, sondern sie ergänzen sich zu 1. g + g2 = 1 0, , =1 0° 90° 180° 270° g g2 +222,50° -137,50 g g2

30 g und g2 Harmonie der Raumsymmetrien
Durchdringung zwischen Pentadodekaeder (blau) und Ikosaeder (gelb) aus der Draufsicht über die Kannten betrachtet Der blaue Pentadodekaeder kann aus 5 Rechtecke aufgebaut werden, deren Seiten sich wie 1 zu g2 verhalten (weißes stehendes Rechteck). Der gelbe Ikosaeder kann aus 3 Rechtecke aufgebaut werden, deren Seiten sich 1 zu g verhalten (weißes liegendes Rechteck) Die Kannten der beiden Körper verhalten sich wieder im Goldenen Schnitt g=0,618... Das liegende rotes Rechteck in der Mitte ist wieder ein Goldenes Rechteck Die Dreiecksflächen der Ikosaeder-Projektion B:A:C=g verhalten sich im Goldenen Schnitt Die Fünfecksflächen der Pentadodekaeder-Projektion A:B=g verhalten sich im Goldenen Schnitt

31 Typische Merkmale der Platonischen Körper Ihre Flächenwinkel g und g2
Das Typische Merkmal der platonischen Körper ist sicher die Form der Begrenzungsflächen. Daneben ist auch der Winkel in dem die Flächen gegeneinander geneigt sind ein Charakteristikum. Hier erweisen sich Pentadodekaeder und Ikosaeder wieder als Träger des goldenen Schnitts g=0,618... Winkel der Flächenneigung beim Ikosaeder Blick über die Kannte A Das Hüllrechteck der geneigten Fläche hat das Seitenverhältnis 1 A g2 1 Winkel der Flächenneigung beim Pentadodekaeder Blick über die Kannte A Das Hüllrechteck der geneigten Fläche hat das Seitenverhältnis 1 Goldenes Rechteck g 1 A A

32 Die Farrey -Folge und die Ordnung der Platonischen Körper
Die Farreyfolge hat die Eigenschaft, daß Kreise mit dem Radius R=1/(2*Nenner2) sich berühren, wenn sie Maßstäblich zwischen 0 und 1 platziert werden. Siehe Harrald Scheid, S82, Zahlentheorie,Wissenschaftsverlag, 1991 (Siehe Elektronenschalenbesetzung) Das Bildungsgesetz der Fibonacci- Folge entspricht dem der Farrey-Folge. Bei entsprechenden Anfangswerten muss die Fibonacci-Folge und somit der „Goldene Schnitt“ entstehen. rechts oben Rot eingezeichnete Zickzacklinien markieren die Fibonacci Reihe. Es gibt in jeder Ferey-Folge zwei Werte, welche der Fibonacci Folge entsprechen. Zwei benachbarte Ferey-Folgen enthalten benachbarte Elemente der Fibonacci-Folge. Das heißt, die Fibonacci-Folge ist Bestandteil der Menge aller Farrey-Folgen. Im Bild rechts sind alle Brüche als Kreis markiert, bei denen Nenner und Zähler Mitglied der Fibonacci Folge sind, dabei sind die beiden Pfade welche symmetrisch zu 1/2 angeordnet sind, (rot eingezeichnet) die einzigen Vollständigen Fibonacci-Folgen, die in der Menge aller Farrey-Folgen enthalten sind. Sie haben die Grenzwerte:g, g2 Diese sind charakteristisch für den Pentadodekaeder und den Ikosaeder „Wunderbare Ordnung“ (g= ) Ikosaeder Der halbe Neigungswinkel von zwei benachbarten Flächen ist 1/g2 Dies ist einer der beiden Grenzwerte, die in der Menge aller Farrey-Folgen auftreten Pentadodekaeder Der halbe Neigungswinkel von zwei benachbarten Flächen ist 1/g. Dies ist einer der beiden Grenzwerte, die in der Menge aller Farrey-Folgen auftreten Der Tangens des Neigungswinkels zweiwer Ikosaederflächen ist Tan(1g2). D.h. die Diagonalen eines Rechtecks mit dem Seitenverhältnis 1 zu g2 haben denselben Winkel. Der Tangens des Neigungswinkels zweiwer Pentadodekaederflächen ist Tan(1/g). D.h. die Diagonalen eines Rechtecks mit dem Seitenverhältnis 1 zu g2 haben denselben Winkel.

33 Die Fareyfolge als Methode zur Annäherung von Irrationalen Zahlen
Da jede Zahl durch eine Summe von Fibonaccizahlen darstellbar ist, entsteht in jedem Zweig der Farey-Folge eine Ration des goldenen Schnitts. Es gibt zahlreiche Aproximationssätze über die Farey-Folge. Sie eignet sich grundsätzlich dazu, nicht nur den goldenen Schnitt, sondern beliebige irrationale Zahlen anzunähern. Der goldene Schnitt jedoch, ist die Irrationalste aller Irrationalen Zahlen. Als Beispiel soll der folgende Zweig der Farey-Folge dienen. 1/ /3 2/7 3/11 5/18 Die Summanden der Zähler sind allesamt Fibonaccizahlen Fi Die ersten Summanden der Nenner lauten 7,11,18,29,47,... Die Fibonaccireihe lautet: F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8,... 7= F1=1+ F2=1+ F3=2+ F4=3 Die Summanden der Nenner setzen sich also aus Vierergruppen von Fibonaccizahlen zusammen. Wie in folgender Ableitung gezeigt, konvertiert die Reihe der Brüche zwischen 2/7 und 3/11 gegen eine Ration des goldenen Schnitts. Um die Rechnung zu vereinfachen habe ich den Bruch gestürzt, so dass im Nenner nur eine Fibonaccizahl steht. Quotienten der Fibonaccireihe, welche aus weiter auseinanderliegenden Werten der Reihe gebildet werden, nähern sich jeweils Potenzen des goldenen Schnitts. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 Quotienten aus jedem 2. Glied der Reihe 1/2,1/3,1/2,3/8,8/21,13/34,34/8955/144,89/233..-> Quotienten aus jedem 3. Glied der Reihe 1/3,1/5,2/8,3/13,5/21,8/34,13/55,21/89,34/144..-> Quotienten aus jedem n. Glied der Reihe > Der exakter Wert liegt bei 1/(g2+3)=0, Die Näherung in der 12. Generation der Farey-Folge 89/301=0, Ist bis zur 5. Stelle genau. Da jede Zahl als Summe von Fibonaccizahlen darstellbar ist, nähern sich alle Zweige des Farey-Folge irgendeiner Ration des goldenen Schnitts. Dies liegt scheinbar an der Art und Weise, wie die Brüche gebildet werden. Der Algorithmus bestimmt das Ergebnis. Es handelt sich um eine bestimmte Art der Vorgehensweise, oder des Jonglierens mit Zahlen. Diese Art der Bewegung bringt gewissermaßen die irrationalen Zahlen hervor.

34 Die Farey-Folge bis zur 12. Generation 0/1 1/5 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 4/5
1/1 1/(g+3) 1/(g+4) 1/(g2+5) 1/(g2+3) 1/(g2+4) 1/(g+5) 1/(g2+2) Die größten Lücken liegen bei den einfachen Brüchen. Die größte Tiefe wird bei den Näherungsbrüchen der Fibonacci-Folge erreicht. Sie nähern die Werte g und g2 an. Beachtenswert ist auch die Selbstähnlichkeit der einzelnen Linienhaufen. Die Farey-Folge bis zur 12. Generation Harmonie der Selbstähnlichkeit g2=1/(g+2) 0,381... g 0,618...

35 Dante, The Divine Comedy. Ill. Gustave Doré. London: Cassell. p. 310
Die Struktur der Brüche bilden Hyperbelförmige Äste Dante, The Divine Comedy. Ill. Gustave Doré. London: Cassell. p. 310

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37 Die Rose und das Rosenkreuz
Die größte symbolische Bedeutung hat die einfache fünfblättrige "Ur-Rose", denn eines der ältesten Symbole ist das Fünfeck bzw. das ihm zugrunde liegende Pentagramm. Diesem Zeichen wurde eine geisterabweisende Wirkung zugeschrieben, zugleich ist es Sinnbild von Verschwiegenheit und Symbol von Geheimbünden gewesen. Die Rose wurde zu einem gängigen Ornament an Beichtstühlen, und der Ausdruck sub rosa drückt die absolute Vertraulichkeit aus, die dort herrschen sollte. Verschwiegenheit sollte auch symbolisiert werden, wenn man früher bei Gastmahlen einen Rosenzweig über den Tisch hängte, um deutlich zu machen, daß das unter Freunden Gesagte nicht ausgeplaudert würde. "Und eben um der Verschwiegenheit sind an etlichen Orten einige Ordensleute Rosenkreutzer genennet worden, weil sie angeloben müssen, daß sie alles geheim und verschwiegen, auch ihre Gesetze steiff und fest halten wollen". (Zedlersches Lexikon, 1742) Der senkrechte Balken besteht aus Zwei übereinander liegenden goldenen Rechtecken Der Querbalken entstammt einem Achteck Mit der Vier und ihrem Verweis auf die Zehn ( =10) wird der Bereich einer qualitativen Zahlenlehre, die allein auf der Bedeutung der Zahlen als solchen beruhte, verlassen. Die Zahlensymbolik ist jetzt auf Analogien aus der Natur oder der biblischen Offenbarung angewiesen. Dieser Bruch in der symbolischen Reihe zeigt sich besonders an der Fünf; später wird er sich an der Acht wiederholen.

38 Emblem der Rosenkreuzer. Die Originalzeichnung aus dem Foliant:
Das Rosenkreuz Emblem der Rosenkreuzer. Die Originalzeichnung aus dem Foliant: Die geheimen Figuren der Rosenkreuzer aus dem 16-ten und 17-ten Jahrhundert. Die Innenmaße Die Maße 75 zu 100 verhält sich wie 3 zu 4, das erste Pythagoräische Dreieck, als Kreuzsymbol unten zu sehen. Die Diagonale ist exakt 5 lang. Die linke Hand der Christusfigur markiert die Kreuzmitte, die Trennlinie zwischen den beiden senkrecht liegenden goldenen Rechtecken Die Zeichnung hat folgende Maße: Senkrechter Balken: 31 bis 32 mm breit, 102 mm hoch Waagerechter Balken 31 bis 32 mm hoch, 75 mm breit Ich verwende für meine Interpretation: 31mm Balkenbreite, waagerechte Balkenlängen 75mm senkrechte Balkenlänge 100mm Der senkrechte Balken Die Rechtecksproportionen für den senkrechten Balken: 31/100=0,31 Das ist angenähert 0,3090=g/2 Es handelt sich um zwei übereinander liegende goldene Rechtecke. 150 mm 100 mm 5 4 3 123 mm Der Waagerechte Balken Die Rechtecksproportionen für den waagerechten Balken: 31/75=0,413 Das ist angenähert 0, Wurzen aus 2 minus 1 Ein in ein Achteck einbeschriebenes Rechteck mit der Seitenlänge 31mm . 75 mm 31mm Jesus altgriechisch: I h s o u V 888 31 mm Die Gesamtmaße 150 zu 123 mm entsprechen nahezu der Proportion 4 zu 5. Mit der Innenproportion erhalten wir die klassische Proportion des musikalischen Dreiklangs 3:4 die Quarte und 4:5 die große Sext außen. Das ergibt den Quart-Sext-Akkord, wie wir ihn bereits bei den platonischen Körpern, dem Pentadodekaeder und Ikosaeder fanden. Die Quersumme der beiden Außenmaße 123 und 150 ergibt 12, die Anzahl der Rosetten.

39 Die Christusgestalt in der Mystik, ist mit der Zahl 5 verbunden
hwhy Jehovah wird zu hwJhy Jehoschua Das Schin, J der Buchstabe, der das Feuer des Lebens bedeutet, tritt in die Mitte. Jehoschua, ist JESUS auf Hebräisch. Jesus ist der 5-Buchstabige Name der Gottessohns, der von sich sagt. „Ich bin der Weg, die Wahrheit und das Leben“. Johannes 14, 6 Handcolorierter Kupferstich aus Heinrich Kunraths Amphitheatrum 1595

40 Auf dem waagerechten Streifen des Pentagramms ist Adam und Eva in hebräischer Schrift zu lesen.