BSP Binary Space Partitioning

BSP Binary Space Partitioning
Yves Kronenburg

Binary Space Partitioning - BSP
Gliederung Motivation Painters Algorithmus BSP Trees BSP Trees 2D BSP Trees 3D

Motivation Painters Algorithmus BSP Trees BSP Trees 2D BSP Trees 3D

Binary Space Partitioning - BSP Motivation
Motivation – Bilder

Objekte müssen schnell und korrekt aufgebaut werden!

z-Buffer Algorithmus Die Szene wird so transformiert, dass die Blickrichtung die positive z-Achse ist. 2. Das erste Objekt wird in den Frame Buffer geladen. Zusätzlich werden dessen z-Koordinaten in den z-Buffer geschrieben. Das nächste Objekt wird analysiert. Wenn die z-Koordinate des Objekts in einem Pixel kleiner ist, als die z-Koordinate des z-Buffers in diesem Pixel, so wird an dieser Stelle der Frame Buffer und z-Buffer mit den neuen Werten überschrieben. 4. Wiederhole 3. bis alle Objekte durchlaufen.

z-Buffer Algorithmus Nachteile: Zusätzlicher Speicher für den z-Buffer benötigt Für jedes Pixel eines Objektes muss ein Test der z-Koordinate stattfinden.

Binary Space Partitioning - BSP Painters Algorithmus

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Objekte werden nach Ihrer Entfernung sortiert, weit entferntestes Objekt steht dabei an erster Stelle Objekte werden komplett gezeichnet, bereits gesetzte Pixel werden einfach überschrieben

Objekte, die sich kreisförmig überlappen, lassen sich mit dem PA nicht zeichnen.

Dafür müssen Texturen zerschnitten werden

Welches Objekt zerschneiden? Wo zerschneiden wir das Objekt? Neusortierung für jeden Blickwinkel! Datenstruktur benötigt, die diese Informationen speichert und uns für jeden beliebigen Blickpunkt schnell ermöglicht, die Szene korrekt aufzubauen.

Binary Space Partitioning - BSP BSP Trees

l2 l1 l1 l3 l2 l4 l5 l4 l5 BSP Baum l3

Sei h eine Hyperebene. Dann beschreibt h+ den oberen Halbraum zu h und h- den unteren Halbraum. h+ h-

Sei h eine Hyperebene. Dann beschreibt h+ den oberen Halbraum zu h und h- den unteren Halbraum. Sei T der BSP Tree und sei S die Menge der Objekte die gezeichnet werden sollen. Wenn |S| ≤ 1, dann ist T ein Blatt mit der Information über das Objekt in S. Wenn |S| > 1, dann wird in die Wurzel v von T die Information über h gespeichert, sowie die Objekte aus S, die komplett in dieser Ebene liegen. Das linke Kind ist dann die Wurzel des BSP Trees T- mit den Objekten aus S, die in h- liegen, das rechte Kind die Wurzel des BSP Trees T+ mit den Objekten in h+.

Wie können wir aus einem BSP Tree mittels PA unsere Szene erstellen?

l2 l1 l1 l3 l2 l4 l5 l4 l5 BSP Baum l3

Algorithmus PaintersAlogrithm(T, pview) Sei v die Wurzel von T 2. If v ein Blatt 3. then Zeichne die Objekte aus v 4. else if pview ε hv+ 5. then PaintersAlogrithm(T -, pview) Zeichne die Objekte aus v PaintersAlogrithm(T +, pview) 8. else if pview ε hv- then PaintersAlogrithm(T +, pview) Zeichne die Objekte aus v PaintersAlogrithm(T -, pview) else (* pview ε hv *) PaintersAlogrithm(T +, pview) PaintersAlogrithm(T -, pview)

Binary Space Partitioning - BSP BSP Trees 2D
Sei S nun eine Menge sich nicht kreuzender Liniensegmente. Unsere Objekte sind alle trianguliert

Algorithmus 2dBsp(S) Input. Eine Menge S mit Segmenten {s1,…,sn} Output. Ein BSP Tree für die Menge S 1. If |S| ≤ 1 2. then erzeuge einen Baum T aus lediglich einem Blatt, in dem die Segmente aus S explizit gespeichert sind. 3. return T 4. else (* Benutze l(s1) als Trennlinie *) 5. S+ { s l(s1) + : s ε S} ; T+ 2dBsp(S+) 6. S- { s l(s1) - : s ε S} ; T- 2dBsp(S-) 7. Erzeuge einen BSP Baum T mit Wurzel v, linkem Unterbaum T-, rechtem Unterbaum T+ und mit S(v) = { s ε S : s l(s1)}. 8. return T

5 Fragmente s1 s1 s3 3 Fragmente s2

Algorithmus 2dRandomBsp(S) Erzeuge aus der Menge S eine zufällige Permutation S‘ = s1,…, sn 2. T 2dBsp(S‘) 3. return T

Abschätzung der Fragmente Sei si das nächste Segment welches vom Algorithmus als neue Trennlinie benutzt wird.

5 Fragmente s1 s1 s3 3 Fragmente s2

Abschätzung der Fragmente Sei si das nächste Segment welches vom Algorithmus als neue Trennlinie benutzt wird. Es gibt Segmente, die andere Segmente vor dem Zerschneiden „schützen“ können. Wir definieren eine Distanzfunktion wie folgt: Anzahl der schützenden Segmente zwischen si und sj Falls l(si) sj schneiden kann sonst

dist = 2 dist = 0 si dist = 1 dist = 0 dist = dist = 1

Abschätzung der Fragmente Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Segment si ein Segment sj schneidet, hängt also von seinem Distanzwert ab. p ( l(si) schneidet sj ) Hieraus ergibt sich ein Erwartungswert von: E ( Anzahl der Schnitte durch si )

Abschätzung der Fragmente Für alle Segmente n folgt (bei linearer Betrachtung), dass 2 n ln n Schnitte erzeugt wurden. Daraus ergibt sich, dass die erwartete Anzahl an Fragmenten n + 2 n ln n ist.

Laufzeitanalyse Die Laufzeit hängt direkt von der Anzahl der Fragmente ab.

Laufzeitanalyse Zeile 1-4 maximal n mal, da durch S begrenzt. Algorithmus 2dBsp(S) Zeile 5 oder 6 wird für jedes Fragment einmal Aufgerufen Input. Eine Menge S mit Segmenten {s1,…,sn} Output. Ein BSP Tree für die Menge S 1. If |S| ≤ 1 2. then erzeuge einen Baum T aus lediglich einem Blatt, in dem die Segmente aus S explizit gespeichert sind. 3. return T 4. else (* Benutze l(s1) als Trennlinie *) 5. S+ { s l(s1) + : s ε S} ; T+ 2dBsp(S+) 6. S- { s l(s1) - : s ε S} ; T- 2dBsp(S-) 7. Erzeuge einen BSP Baum T mit Wurzel v, linkem Unterbaum T-, rechtem Unterbaum T+ und mit S(v) = { s ε S : s l(s1)}. 8. return T

Laufzeitanalyse 2dBsp(S) läuft in O(n² log n)

Algorithmus 3dBsp(S) Input. Eine Menge S ={t1,…,tn} mit Dreicken aus Output. Ein BSP Tree für die Menge S 1. If |S| ≤ 1 2. then erzeuge einen Baum T aus lediglich einem Blatt, in dem S explizit gespeichert ist. 3. return T 4. else (* Benutze h(t1) als Trennebene *) 5. S+ { t h(t1) + : t ε S} ; T+ 3dBsp(S+) 6. S- { t h(t1) - : t ε S} ; T- 3dBsp(S-) 7. Erzeuge einen BSP Baum T mit Wurzel v, linkem Unterbaum T-, rechtem Unterbaum T+ und mit S(v) = { t ε S : t h(t1)}. 8. return T

Quellenverzeichnis Bild: Microsoft Flight Simulators X Bild: Sims 3
„Computational Geometry – Algorithms and Applications“ von Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars Springer Verlag, Berlin, 3. Auflage (Mai 2008), Kapitel 12 (S ) Bild: Microsoft Flight Simulators X Bild: Sims 3 Bild: Quake 2

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