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Feedback Motion Planning
Navigation Autonomer Mobiler Systeme 2007/2008 Veranstalter: Prof. Dr. Bernd Krieg-Brückner Dr. Bernd Gersdorf Sebahattin Kücük und Tim Nulpa
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Motivation Unsicherheit ist angeboren in der physischen Welt
Die Schritte eines Plans sind abhängig von der Information, die während der Ausführung erfasst wird Das Konzept Rückkopplung (Feedback) kommt ins Spiel um Korrekturmaßnahmen während der Ausführung einzuführen Zuverlässiger: Rücksicht auf Modellierung von Unsicherheiten
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Unsicherheit zu modellieren
Explizit Bahnplanung zählt deutlich zu der Abweichung, welches durch Unsicherheit verursacht wird Rückkopplungsbasierte Algorithmen berücksichtigen diese Unsicherheiten Unsicherheitsmodellierung ist eine anspruchsvolle Aufgabe, Aber schwieriges Algorithmusdesign Anfällig Fehlern auszugeben
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Unsicherheit zu modellieren
Implizit Eine Bahn wird ohne Berücksichtigung von Unsicherheiten berechnet Ein Rückkopplungsplan nimmt während der Ausführung Korrekturmaßnahmen vor, um Abweichungen, die durch Unsicherheit verursacht werden, aufzuheben
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Diskreter Zustandsräume
Definierung eines Rückkopplungsplans Betrachte eine diskrete Bahnplanungsproblem, wo der Anfangszustand nicht gegeben ist Definiere den Zustandsverlauf als Definiere Aktionsverlauf als
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Diskreter Zustandsräume
Formulierung einer optimalen diskreten Rückkopplungsplan Sei X ein endlicher nicht leerer Zustandsraum Für jeden definiere den Aktionsraum U (x) ist eine Zustandsübergangsfunktion
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Diskreter Zustandsräume
Die geordnete Menge S = {1,2,,,,,,,,,,,∞} Kennzeichnet die Menge der Stufen Ein Element k Є S wird Stufe genannt ist die Zielmenge Definiere Kostenfunktion: wobei F = K + 1
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Diskreter Zustandsräume
Vorgehensweise bei Lösungen Angesichts der Anfangskonditionen kann ein Ablauf spezifiziert werden Ohne Anfangskondition könnte ein Ablauf für jeden Zustand spezifiziert werden Überhöhte Speicheranforderung z.B. A* Algorithmus Eine Ablaufführung für jeden Zustand ist überflüssig Es genügt nur den ersten Ablauf bei jedem Zustand zu führen
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Diskreter Zustandsräume
Feedback Plan Definiere Feedback Plan als eine Funktion π: X U dass jeden Zustand zu einem Ablauf abbildet Wenn das Ziel erreicht wird, wendet die Rückkopplung den Endablauf (termination action) an:
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Diskreter Zustandsräume
Eine Rückkopplung heißt erst gelöst, wenn das Ziel von jedem Zustand, von wo aus das Ziel erreichbar ist, erreicht wird
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Rückkopplungsplan Ausführbarkeit und Optimalität
Sei die Menge der Zustände, von wo aus das Ziel erreichbar ist Eine Rückkopplung π wird Ausführbare Rückkopplung genannt, wenn Eine Rückkopplungsplan ist optimal, wenn das totale Kosten L(π, x) von irgendeiner Anfangskondition am geringsten unter allen möglichen Plänen erreichbar ist
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Rückkopplungsplan auf einem 2D Gitter
Beispiel: Betrachte das 2D Gitter Problem Mögliche Bewegungen sind: hoch (↑), runter (↓), links (←), rechts (→) und beenden
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Rückkopplungsplan auf einem 2D Gitter
Lösung: Es gibt viele Lösungen Die dargestellte Lösung ist optimal bezüglich der Anzahl der Schritte zum Ziel Aber existieren auch einige alternative Rückkopplungs- Pläne, die optimale Lösung liefern
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Rückkopplungsplan als Navigationsfunktion
Methoden wie Dijkstra Algorithmus und Iteration (value Iteration) erzeugen Informationen, die benutzt werden können um Rückkopplung zu repräsentieren Um das zu erreichen wird ein Rückkopplung (Feedback plan) als Potentialfunktion über einen Zustandsraum ausgedrückt Potentialfunktion kann optimale Lösung für Rückkopplung liefern
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Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum
Betrachte die diskrete Potentialfunktion Eine Rückkopplung kann durch das benutzen des lokalen Operators die Potentialfunktion definieren
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Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum
Im Falle der optimalen Planung ist der lokale Operator definiert dann als: Wenn das Planungsproblem isotrop ist, dann: Für alle Isotrop: unabhängigkeit einer Eigenschaft von der Richtung
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Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum
Wir brauchen eine Potentialfunktion, das erfolgreich den Ziel erreicht Nehmen wir an, dass Kostenfunktion isotrop ist Sei der erreichte Zustand nach der Anwendung von (ausgegeben von lokalen Operator)
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Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum
Definition Eine Potentialfunktion , die die folgende drei Eigenschaften besitzt, nennt man auch Navigationsfunktion für alle 2. wenn kein von x aus erreichbar ist und der Zustand nach der Anwendung des lokalen Operators
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Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum
Definition eine optimale Navigationsfunktion ist eine Navigationsfunktion, das den Grundsatz der Optimalität erfüllt:
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Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum
so würde eine Korrektur von einer optimalen Navigationsfunktion aussehen wir können den Grundsatz der Optimalität mit der isotropen Kosten nachprüfen
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Navigationsfunktionen in diskreten Zustandsraum
Beispiel Betrachte das vorherige Beispiel mit einem isotropischen Kostenmodell Es wird eine Aktion (Ablauf) ausgewählt, dass den Potentialwert reduziert und uns zum Ziel (Feedback Plan) bringt
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Gitterbasierte Navigationsfunktion für Bahnplanung
Optimale Bahnplanung bringt Roboter näher zu Hindernissen Eine Gitterbasierte Version, der Maximum Clearance Karte benutzt, kann konstruiert werden um Abstand von Hindernissen zu haben Eine Navigationsfunktion, welches den Roboter auf der Karte führt, kann definiert werden
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Maximum Clearance Algorithmus
Vorausgesetzt, dass es nur ein Zielzustand gibt Initialisiere für jeden bestimme und füge alle nicht besuchten Nachbarn von x in Wenn dann beenden. Andernfalls lass i: = i + 1 und gehe zu Schritt 3. Wavefront Propagation
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Wavefront Propagation ( Wellen-Ausbreitung)
4 11 10 9 8 7 5 4 10 9 8 7 6 5 3 8 3 2 11 10 9 4 3 2 1 11 10 9 12 1 13 12 11 10 2
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Maximum Clearance Algorithmus
Markiere jeden Zustand, wo sich zwei gegenüberliegende wavefronts als Gitterzustand (Skeleton) treffen S kennzeichnet die menge aller Gitterzustände (Skeleton) Verbinde mit dem Gitter (Skeleton) mit einem Suchalgorithmus und füge den resultierenden Pfad in S
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Maximum Clearance Algorithmus
Berechne eine NF über S Berechne eine NF indem man S als Zielregion betrachtet Für jeden setze für die restlichen Zustände setze wo der nächste Punkt zu x ist
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Maximum clearance Algorithmus
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Weitere Algorithmen für die implizite Bahnplanung
Schaffen eines jeweils gültigen Konfigurationsraumes Ändern der jeweiligen Route nur bei erkannten Hindernissen
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Algorithmen Es gibt viele Algorithmen die sich zur Bahnplanung eignen
Unterschied ist hauptsächlich der Aufwand Aufwand minimieren durch: Vereinfachte Darstellung der Welt Vereinfachen von Objekten ...
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Algorithmen Sichtbarkeitsgraph Vektorfelder Potentialfelder
Musterbasierte Ansätze Polar Bug Algorithmus
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Sichtbarkeitsgraph Auf der Basis von Sichtlinien im 2D-Raum
Nicht gerichteter Graph Die Kanten sind alle Verbindungen die nicht das innere eines Hindernisses schneiden
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Sichtbarkeitslinien Beispiel
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Sichtbarkeitslinien Suche auf dem Graphen mit klassischen Algorithmen
Nearest Neighbour Dijkstra Bei vielen Hindernissen wird der Graph sehr Groß Hoher Aufwand Hoher Speicherbedarf
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Vektorfelder über Zellkomplexen
Ein Raum wird per Zelldekomposition unterteilt Über jede Zelle wird ein Vektorfeld gelegt
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Zelldekomposition Exakte Zellzerlegung Approximierte Zellzerlegung
Der freie Raum wird exakt dargestellt Hoher Aufwand Approximierte Zellzerlegung Näherungsweise Darstellung des Raumes Geringerer Rechenaufwand
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Zelldekomposition Beispiel
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Vektorfelder Ordnen jedem Punkt im Raum einen Vektor zu
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Vektorfelder über Zellkomplexen
Das Vekotfeld zeigt zu einer Ausgangskante Über die Ausgangskante kommt man zu einem neuen Feld im Zellenkomplex
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Vektorfelder über Zellkomplexen Beispiel
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Musterbasierte Methoden
Über die freien Bereiche eines Raumes werden simple Muster gelegt Zum Beispiel Kreise
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Musterbasierte Methoden
Auf jedem Muster ist ein Vektor definiert der zu einem nächsten führt
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Erweitern des Grundproblems
Reaktive Bahnplanung Bewegeliche Dinge im Weg Kinematische Einschränkungen Bewegunsradius des Roboters Geometrische Einschränkungen Ausmaße des Roboters
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Aufwand minimieren Viele Möglichkeiten z.B. vereinfachte Darstellung des sich bewegenden Objektes
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Polar Bug Algorithmus Funktioniert auf der Basis von Laserscannerdaten
Wird bereits erfolgreich getestet Speziell für die Navigation in sich ständig ändernden Umgebungen Angewendet bei Projekten wie Care-O- Bot
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Kollisionsvermeidung
Unterste Sicherheitsebende sollte immer ein Modul zur Kollisionserkennung sein Stoppt das aktive Fahrzeug im Notfall Wichtig bei kurzfristig auftretenden Hindernissen Zum Beispiel wenn eine Person davor springt
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Polar Bug Algorithmus Beispiel
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Fazit Es gibt viele Algorithmen, die die Roboter Bewegungen berechnen
Viele Algorithmen gehen davon aus, dass der berechnete Weg ohne jede Abweichung befahren werden kann Aber meistens zeigt der Roboter kleine Abweichungen von den eigentlichen Weg und dies führt auf einen Hindernisfreien Raum zu Kollisionen Durch Feedback Motion Planning wird dieses Problem beheben
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Danke für die Aufmerksamkeit !!!
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